高等幾何第一頁，共21頁。上課啦！Theclassisbegin!第二頁，共21頁。高等幾何主講教師：周興和(數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院委書記、教授)教材：周興和編《高等幾何》,科學(xué)出版社(校優(yōu)秀教材一等獎(jiǎng),江蘇省高校精品教材)(“十一五”國家級(jí)規(guī)劃教材)參考書：見教材中所列：“參考書目”(江蘇省一類精品課程)2006級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)第三頁，共21頁。如何與我聯(lián)系？仙林校區(qū)S3五樓529，數(shù)科院書記室85891032400號(hào)二樓，數(shù)科院書記室83598391隨園校區(qū)答疑時(shí)間每周一晚上16:00－18:00S3–529室課程主頁:

數(shù)科院網(wǎng)站/精品課程/高等幾何(密碼:0602)第四頁，共21頁。課程概論一、高等幾何的內(nèi)容高等幾何數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)主干課程之一前三高數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)高等幾何后三高實(shí)變函數(shù)近世代數(shù)點(diǎn)集拓?fù)涓叩葞缀紊溆皫缀螏缀位A(chǔ)……本課程主要介紹平面射影幾何知識(shí)(教材前四章)綜合大學(xué)：空間解幾＋仿射幾何、射影幾何,一個(gè)學(xué)期第五頁，共21頁。課程概論一、高等幾何的內(nèi)容什么是射影幾何？直觀描述歐氏幾何仿射幾何射影幾何十九世紀(jì)名言一切幾何學(xué)都是射影幾何鳥瞰下列幾何學(xué)第六頁，共21頁。歐氏幾何(初等幾何)研究圖形在“搬動(dòng)”之下保持不變的性質(zhì)和數(shù)量搬動(dòng)正交變換對(duì)圖形作有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射的結(jié)果歐氏幾何研究圖形的正交變換不變性的科學(xué)(統(tǒng)稱不變性，如距離、角度、面積、體積等)第七頁，共21頁。仿射幾何平行射影仿射變換仿射幾何研究圖形的仿射變換不變性的科學(xué)透視仿射變換有限次平行射影的結(jié)果仿射不變性比如——平行性、兩平行線段的比等等第八頁，共21頁。射影幾何中心射影射影變換射影幾何研究圖形的射影變換不變性的科學(xué)透視變換有限次中心射影的結(jié)果射影不變性比如——幾條直線共點(diǎn)、幾個(gè)點(diǎn)共線等等射影變換將徹底改變我們原有的幾何空間觀念！第九頁，共21頁。課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的方法綜合法給定公理系統(tǒng)(一套相互獨(dú)立、無矛盾、完備的命題系統(tǒng))，演繹出全部內(nèi)容解析法形、數(shù)結(jié)合，利用代數(shù)、分析的方法研究問題本課程以解析法為主，兼用綜合法第十頁，共21頁。課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的與方法三、開課目的學(xué)習(xí)射影幾何，拓展幾何空間概念，引入幾何變換知識(shí)，接受變換群思想訓(xùn)練理性思維、抽象思維、邏輯推理能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)審美意識(shí)，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)新穎性，趣味性，技巧性，反饋于初等幾何和其他學(xué)科，提高觀點(diǎn)，加深理解，舉一反三第十一頁，共21頁。課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的與方法三、開課目的四、計(jì)劃及注意點(diǎn)

周學(xué)時(shí)5，一個(gè)學(xué)期，第一～四章；(第五章：自學(xué)閱讀材料)

把好入門關(guān)，牢固掌握基本概念，反復(fù)思考，認(rèn)真體會(huì)。線性代數(shù)＋齊次性本課程代數(shù)角度幾何角度三維線性空間的商空間上的幾何學(xué)虧格為零不可定向的閉曲面上的幾何學(xué)其他課程無可替代的數(shù)學(xué)思想與方法

必須充分預(yù)習(xí)，帶著問題聽課；有選擇地做筆記。第十二頁，共21頁。課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的與方法三、開課目的四、計(jì)劃及注意點(diǎn)課程學(xué)習(xí)成績計(jì)算辦法第十三頁，共21頁。特別約定1、本課程的課堂內(nèi)，一律關(guān)閉。

2、必須提前10分鐘到達(dá)教室，不得在課堂內(nèi)吃東西。

以上約定適用于師生雙方，請(qǐng)相互監(jiān)督。第十四頁，共21頁。特別征集本教材中的科學(xué)錯(cuò)誤、印刷錯(cuò)誤回報(bào)方式印象調(diào)整加分特別鼓勵(lì)課堂隨時(shí)提問、課后答疑提問第十五頁，共21頁。第0章幾何變換概論特為一年級(jí)而增加的準(zhǔn)備知識(shí),教材上沒有,可適當(dāng)做筆記一、對(duì)應(yīng)與變換1.集合之間的對(duì)應(yīng)(關(guān)系、映射)

定義.設(shè)A,B為兩個(gè)集合,f

是一種將A中的元素與B中的元素配對(duì)的法則.則稱f

為集合A與B之間的一個(gè)關(guān)系,記作設(shè)在f

下A中的元素a配對(duì)為B中的元素b.則稱b為a在f下的一個(gè)像,稱a為b在f下的一個(gè)原像,或者說a是b在逆關(guān)系f-1

下的像,即有注：關(guān)于關(guān)系的嚴(yán)格和詳細(xì)論述,請(qǐng)參閱任一本《集合論》.第十六頁，共21頁。一、對(duì)應(yīng)與變換1.集合之間的對(duì)應(yīng)(關(guān)系、映射)

定義.設(shè)f

為集合A到B的一個(gè)關(guān)系.如果對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素,f都惟一地指定集合B中的一個(gè)元素與之配對(duì),則稱f

為從集合A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)(或映射).在f

下A中的元素a對(duì)應(yīng)于B中的元素b的事實(shí)常記為或者注：對(duì)應(yīng)也稱為函數(shù).第0章幾何變換概論第十七頁，共21頁。一、對(duì)應(yīng)與變換1.集合之間的對(duì)應(yīng)(關(guān)系、映射)

定義.設(shè)f

為集合A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng).如果對(duì)于集合A中的元素a≠b,都有f(a)≠f(b),則稱f

為單射(injection),也稱f

為從A到B內(nèi)的對(duì)應(yīng).

定義.設(shè)f

為集合A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng).如果集合B中的每一個(gè)元素都是A中某個(gè)元素的像,則稱f

為滿射(surjection),也稱f

為從A到B上的對(duì)應(yīng).第0章幾何變換概論第十八頁，共21頁。一、對(duì)應(yīng)與變換1.集合之間的對(duì)應(yīng)(關(guān)系、映射)

定義.設(shè)f

為集合A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng).如果f既是單射又是滿射,則稱f

為一個(gè)雙射(bijection),也稱f

為一個(gè)一一對(duì)應(yīng).

注：在幾何學(xué)中,我們一般需要使用雙射.在以下的討論中,我們約定所論的對(duì)應(yīng)都是雙射.

定理.一個(gè)雙射f

的逆對(duì)應(yīng)f

-1也是一個(gè)雙射.第0章幾何變換概論第十九頁，共21頁。一、對(duì)應(yīng)與變換2.對(duì)應(yīng)的乘積(復(fù)合)

定義.設(shè)f

為集合A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng),g

為集合B到C的一個(gè)對(duì)應(yīng).則由此可確定集合A到C的一個(gè)對(duì)應(yīng)h,稱h

為f與g的乘積.記作g?f,即第0章幾何變換概論

注：設(shè)a∈A,