.8/8計(jì)算機(jī)中數(shù)值的三種表示方法詳解原碼,反碼,補(bǔ)碼最近在學(xué)習(xí)軟件評(píng)測(cè)師的知識(shí),其中涉及到計(jì)算機(jī)的原碼,反碼和補(bǔ)碼等知識(shí).通過(guò)網(wǎng)上查閱資料,進(jìn)行了深入學(xué)習(xí),分享給大家。本文主要從以下幾點(diǎn)進(jìn)行介紹：如何計(jì)算原碼,反碼,補(bǔ)碼？為何要使用反碼和補(bǔ)碼？希望本文對(duì)大家學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)有所幫助一.機(jī)器數(shù)和真值在學(xué)習(xí)原碼,反碼和補(bǔ)碼之前,需要先了解機(jī)器數(shù)和真值的概念.1、機(jī)器數(shù)一個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制表示形式,叫做這個(gè)數(shù)的機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)是帶符號(hào)的,在計(jì)算機(jī)用一個(gè)數(shù)的最高位存放符號(hào),正數(shù)為0,負(fù)數(shù)為1.比如,十進(jìn)制中的數(shù)+3,計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)為8位,轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是00000011。如果是-3,就是10000011。那么,這里的00000011和10000011就是機(jī)器數(shù)。2、真值因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位,所以機(jī)器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號(hào)數(shù)10000011,其最高位1代表負(fù),其真正數(shù)值是-3而不是形式值131〔10000011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制等于131。所以,為區(qū)別起見,將帶符號(hào)位的機(jī)器數(shù)對(duì)應(yīng)的真正數(shù)值稱為機(jī)器數(shù)的真值。例：00000001的真值=+0000001=+1,10000001的真值=–0000001=–1二.原碼,反碼,補(bǔ)碼的基礎(chǔ)概念和計(jì)算方法.計(jì)算機(jī)中的符號(hào)數(shù)有三種表示方法,即原碼、反碼和補(bǔ)碼。三種表示方法均有符號(hào)位和數(shù)值位兩部分,符號(hào)位都是用0表示"正",用1表示"負(fù)",而數(shù)值位,三種表示方法各不相同。1.原碼原碼就是符號(hào)位加上真值的絕對(duì)值,即用第一位表示符號(hào),其余位表示值.比如如果是8位二進(jìn)制:[+1]原=00000001[-1]原=10000001第一位是符號(hào)位.因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位,所以8位二進(jìn)制數(shù)的取值范圍就是:[11111111,01111111]即[-127,127]原碼是人腦最容易理解和計(jì)算的表示方式.2.反碼反碼的表示方法是:正數(shù)的反碼是其本身負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上,符號(hào)位不變,其余各個(gè)位取反.[+1]=[00000001]原=[00000001]反[-1]=[10000001]原=[11111110]反可見如果一個(gè)反碼表示的是負(fù)數(shù),人腦無(wú)法直觀的看出來(lái)它的數(shù)值.通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計(jì)算.3.補(bǔ)碼補(bǔ)碼的表示方法是:正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上,符號(hào)位不變,其余各位取反,最后+1.<即在反碼的基礎(chǔ)上+1>[+1]=[00000001]原=[00000001]反=[00000001]補(bǔ)[-1]=[10000001]原=[11111110]反=[11111111]補(bǔ)對(duì)于負(fù)數(shù),補(bǔ)碼表示方式也是人腦無(wú)法直觀看出其數(shù)值的.通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼在計(jì)算其數(shù)值.簡(jiǎn)單總結(jié)以下,反碼和補(bǔ)碼的表示方式以及計(jì)算方法.對(duì)于正數(shù),三種編碼方式的結(jié)果都相同:正整數(shù)的原碼、反碼、補(bǔ)碼完全一樣,即符號(hào)位固定為0,數(shù)值位相同。[+1]=[00000001]原=[00000001]反=[00000001]補(bǔ)對(duì)于負(fù)數(shù),三種編碼方式則完全不同：負(fù)整數(shù)的符號(hào)位固定為1,由原碼變?yōu)檠a(bǔ)碼時(shí),規(guī)則如下：1、原碼符號(hào)位1不變,整數(shù)的每一位二進(jìn)制數(shù)位求反,得到反碼2、反碼符號(hào)位1不變,反碼數(shù)值位最低位加1,得到補(bǔ)碼[-1]=[10000001]原=[11111110]反=[11111111]補(bǔ)可見原碼,反碼和補(bǔ)碼是完全不同的.三.為何要使用原碼,反碼和補(bǔ)碼既然原碼才是被人腦直接識(shí)別并用于計(jì)算表示方式,為何還會(huì)有反碼和補(bǔ)碼呢?在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中,數(shù)值一律用補(bǔ)碼來(lái)表示和存儲(chǔ)。原因在于,使用補(bǔ)碼,可以將符號(hào)位和數(shù)值域統(tǒng)一處理；同時(shí),加法和減法也可以統(tǒng)一處理。此外,補(bǔ)碼與原碼相互轉(zhuǎn)換,其運(yùn)算過(guò)程是相同的,不需要額外的硬件電路。下面以一些例子進(jìn)行詳細(xì)介紹。人腦可以知道第一位是符號(hào)位,在計(jì)算的時(shí)候我們會(huì)根據(jù)符號(hào)位,選擇對(duì)真值區(qū)域的加減.<真值的概念在本文最開頭>.但是對(duì)于計(jì)算機(jī),加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎(chǔ)的運(yùn)算,要設(shè)計(jì)的盡量簡(jiǎn)單.計(jì)算機(jī)辨別"符號(hào)位"顯然會(huì)讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得十分復(fù)雜!于是人們想出了將符號(hào)位也參與運(yùn)算的方法.我們知道,根據(jù)運(yùn)算法則減去一個(gè)正數(shù)等于加上一個(gè)負(fù)數(shù),即:1-1=1+<-1>=0,所以機(jī)器可以只有加法而沒有減法,這樣計(jì)算機(jī)運(yùn)算的設(shè)計(jì)就更簡(jiǎn)單了.于是人們開始探索將符號(hào)位參與運(yùn)算,并且只保留加法的方法.首先來(lái)看原碼:計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式:1-1=01-1=1+<-1>=[00000001]原+[10000001]原=[10000010]原=-2如果用原碼表示,讓符號(hào)位也參與計(jì)算,顯然對(duì)于減法來(lái)說(shuō),結(jié)果是不正確的.這也就是為何計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個(gè)數(shù).為了解決原碼做減法的問題,出現(xiàn)了反碼:計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式:1-1=01-1=1+<-1>=[00000001]原+[10000001]原=[00000001]反+[11111110]反=[11111111]反=[10000000]原=-0發(fā)現(xiàn)用反碼計(jì)算減法,結(jié)果的真值部分是正確的.而唯一的問題其實(shí)就出現(xiàn)在"0"這個(gè)特殊的數(shù)值上.雖然人們理解上+0和-0是一樣的,但是0帶符號(hào)是沒有任何意義的.而且會(huì)有[00000000]原和[10000000]原兩個(gè)編碼表示0.于是補(bǔ)碼的出現(xiàn),解決了0的符號(hào)以及兩個(gè)編碼的問題:1-1=1+<-1>=[00000001]原+[10000001]原=[00000001]補(bǔ)+[11111111]補(bǔ)=[00000000]補(bǔ)=[00000000]原這樣0用[00000000]表示,而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了.而且可以用[10000000]表示-128:<-1>+<-127>=[10000001]原+[11111111]原=[11111111]補(bǔ)+[10000001]補(bǔ)=[10000000]補(bǔ)-1-127的結(jié)果應(yīng)該是-128,在用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果中,[10000000]補(bǔ)就是-128.但是注意因?yàn)閷?shí)際上是使用以前的-0的補(bǔ)碼來(lái)表示-128,所以-128并沒有原碼和反碼表示.<對(duì)-128的補(bǔ)碼表示[10000000]補(bǔ)算出來(lái)的原碼是[00000000]原,這是不正確的>使用補(bǔ)碼,不僅僅修復(fù)了0的符號(hào)以及存在兩個(gè)編碼的問題,而且還能夠多表示一個(gè)最低數(shù).這就是為什么8位二進(jìn)制,使用原碼或反碼表示的范圍為[-127,+127],而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128,127].因?yàn)闄C(jī)器使用補(bǔ)碼,所以對(duì)于編程中常用到的32位int類型,可以表示范圍是:[-231,231-1]因?yàn)榈谝晃槐硎镜氖欠?hào)位.而使用補(bǔ)碼表示時(shí)又可以多保存一個(gè)最小值.四原碼,反碼,補(bǔ)碼原理：模的概念計(jì)算機(jī)巧妙地把符號(hào)位參與運(yùn)算,并且將減法變成了加法,背后蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)原理呢?模的概念可以幫助理解補(bǔ)數(shù)和補(bǔ)碼。"模"是指一個(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)范圍。如時(shí)鐘等。計(jì)算機(jī)也可以看成一個(gè)計(jì)量機(jī)器,它也有一個(gè)計(jì)量范圍,即都存在一個(gè)"模"。例如：時(shí)鐘的計(jì)量范圍是0～11,模=12。表示n位的計(jì)算機(jī)計(jì)量范圍是0～2^<n>-1,模=2^<n>。"模"實(shí)質(zhì)上是計(jì)量器產(chǎn)生"溢出"的量,它的值在計(jì)量器上表示不出來(lái),計(jì)量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計(jì)量器,均可化減法為加法運(yùn)算。假設(shè)當(dāng)前時(shí)針指向6點(diǎn),而準(zhǔn)確時(shí)間是4點(diǎn),我希望將時(shí)間設(shè)置成4點(diǎn),需要怎么做呢?調(diào)整時(shí)間可有以下兩種撥法：一種是倒撥2小時(shí),即：6-4=2；另一種是順撥10小時(shí)：6+10=12+4=41.往回?fù)?個(gè)小時(shí):6-2=42.往前撥10個(gè)小時(shí):<6+10>mod12=43.往前撥10+12=22個(gè)小時(shí):<6+22>mod12=42,3方法中的mod是指取模操作,16mod12=4即用16除以12后的余數(shù)是4.所以鐘表往回?fù)?lt;減法>的結(jié)果可以用往前撥<加法>替代!現(xiàn)在的焦點(diǎn)就落在了如何用一個(gè)正數(shù),來(lái)替代一個(gè)負(fù)數(shù).上面的例子我們能感覺出來(lái)一些端倪,發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律.但是數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?不能靠感覺.首先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)中相關(guān)的概念:同余——兩個(gè)整數(shù)a,b,若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等,則稱a,b對(duì)于模m同余記作a≡b<modm>讀作a與b關(guān)于模m同余。舉例說(shuō)明:4mod12=416mod12=428mod12=4所以4,16,28關(guān)于模12同余.負(fù)數(shù)取模正數(shù)進(jìn)行mod運(yùn)算是很簡(jiǎn)單的.但是負(fù)數(shù)呢?下面是關(guān)于mod運(yùn)算的數(shù)學(xué)定義:上面是截圖,"取下界"符號(hào)找不到如何輸入<word中粘貼過(guò)來(lái)后亂碼>.下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號(hào):xmody=x-yLx/yJ上面公式的意思是:xmody等于x減去y乘上x與y的商的下界.以-3mod2舉例:-3mod2=-3-2xL-3/2J=-3-2xL-1.5J=-3-2x<-2>=-3+4=1所以:<-2>mod12=12-2=10<-4>mod12=12-4=8<-5>mod12=12-5=7再回到時(shí)鐘的問題上:回?fù)?小時(shí)=前撥10小時(shí)回?fù)?小時(shí)=前撥8小時(shí)回?fù)?小時(shí)=前撥7小時(shí)注意,這里發(fā)現(xiàn)的規(guī)律!結(jié)合上面學(xué)到的同余的概念.實(shí)際上:<-2>mod12=1010mod12=10-2與10是同余的.<-4>mod12=88mod12=8-4與8是同余的.距離成功越來(lái)越近了.要實(shí)現(xiàn)用正數(shù)替代負(fù)數(shù),只需要運(yùn)用同余數(shù)的兩個(gè)定理:反身性:a≡a<modm>這個(gè)定理是很顯而易見的.線性運(yùn)算定理:如果a≡b<modm>,c≡d<modm>那么:<1>a±c≡b±d<modm><2>a*c≡b*d<modm>所以:7≡7<mod12><-2>≡10<mod12>7-2≡7+10<mod12>現(xiàn)在我們?yōu)橐粋€(gè)負(fù)數(shù),找到了它的正數(shù)同余數(shù).但是并不是7-2=7+10,而是7-2≡7+10<mod12>,即計(jì)算結(jié)果的余數(shù)相等.接下來(lái)回到二進(jìn)制的問題上,看一下:2-1=1的問題.2-1=2+<-1>=[00000010]原+[10000001]原=[00000010]反+[11111110]反先到這一步,-1的反碼表示是11111110.如果這里將[11111110]認(rèn)為是原碼,則[11111110]原=-126,這里將符號(hào)位除去,即認(rèn)為是126.發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律:<-1>mod127=126126mod127=126即:<-1>≡126<mod127>2-1≡2+126<mod127>2-1與2+126的余數(shù)結(jié)果是相同的!而這個(gè)余數(shù),正式我們的期望的計(jì)算結(jié)果:2-1=1所以說(shuō)一個(gè)數(shù)的反碼,實(shí)際上是這個(gè)數(shù)對(duì)于一個(gè)膜的同余數(shù).而這個(gè)膜并不是我們的二進(jìn)制,而是所能表示的最大值!這就和鐘表一樣,轉(zhuǎn)了一圈后總能找到在可表示范圍內(nèi)的一個(gè)正確的數(shù)值!而2+126很顯然相當(dāng)于鐘表轉(zhuǎn)過(guò)了一輪,而因?yàn)榉?hào)位是參與計(jì)算的,正好和溢出的最高位形成正確的運(yùn)算結(jié)果.既然反碼可以將減法變成加法,那么現(xiàn)在計(jì)算機(jī)使用的補(bǔ)碼呢?為什么在反碼的基礎(chǔ)上加1,還能得到正確的結(jié)果?2-1=2+<-1>=[00000010]原+[100000