第六講定點運算器及浮點數運算演示文稿第一頁，共六十二頁。優選第六講定點運算器及浮點數運算第二頁，共六十二頁。S0S1S2S3X0Y0

參數S0,S1,S2,S3

分別控制輸入Ai

和Bi

,產生Y和X的函數。其中：Yi是受S0,S1控制的Ai和Bi的組合函數；Xi是受S2

,S3控制的Ai和Bi組合函數。

函數關系如表所示。Xi＝S2S3＋S2S3(Ai＋Bi)＋S2S3(Ai＋Bi)＋S2S3Ai

Yi＝S0S1Ai＋S0S1AiBi＋S0S1AiBi?

核心部分是由兩個半加器組成的全加器。?

由M控制第二級半加器選擇邏輯運算或算術運算（所需的低位進位Cn

）。一位ALU基本邏輯電路第三頁，共六十二頁。S0S1

Yi

S2S3

Xi

0

0

0

1

1

0

1

1Ai

AiBi

AiBi

00

0

0

1

1

0

1

11

Ai＋Bi

Ai＋Bi

Ai

進一步化簡:Xi=S3AiBi+S2AiBiYi=Ai+S0Bi+S1BiAi+S0Bi+S1BiS3AiBi+S2AiBiXiYi==Yi

Fi＝Yi⊕Xi⊕Cn+iCn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i第四頁，共六十二頁。綜上所述，ALU的一位邏輯表達式為：Xi=S3AiBi+S2AiBiYi=Ai+S0Bi+S1Bi

Fi＝Yi⊕Xi⊕Cn+iCn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i第五頁，共六十二頁。4位之間采用先行進位（并行進位）公式。根據Cn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i，每一位的進位公式可遞推如下：

?

第0位向第1位的進位公式為:

Cn＋1＝Y0＋X0Cn

(其中Cn是向第0位（末位）的進位)

?

第1位向第2位的進位公式為:

Cn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

?

第2位向第3位的進位公式為:

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2Cn?

第3位的進位輸出（即整個4位運算進位輸出）公式為:

Cn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn4位ALU的進位關系及邏輯電路第六頁，共六十二頁。Cn＋1＝Y0＋X0CnCn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2CnCn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn

Cn+4是最后進位輸出。邏輯表達式表明,這是一個先行進位邏輯。換句話說,第0位的進位輸入Cn可以直接傳送到最高位上去,因而可以實現高速運算。下圖為用上述原始推導公式實現的4位算術/邏輯運算單元(ALU)

——74181ALU從進位關系上看第七頁，共六十二頁。

正邏輯表示的74181第八頁，共六十二頁。

第3位的進位輸出（即整個4位運算進位輸出）公式為:

Cn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn設G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3

P＝X0X1X2X3

則

Cn＋4＝G＋PCn

其中G稱為進位發生輸出,P稱為進位傳送輸出。在電路中多加這兩個進位輸出的目的,是為了便于實現多片（組）ALU之間的先行進位。P和G的含義第九頁，共六十二頁。負邏輯表示的74181X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3第十頁，共六十二頁。

2.算術邏輯運算的實現上圖中控制端Ｍ用來控制ALU進行算術運算還是進行邏輯運算:Ｍ＝0時：

Ｍ對進位信號沒有任何影響。此時Fi

不僅與本位的被操作數Yi和操作數Xi

有關,而且與向本位的進位值Cn+i

有關,因此Ｍ＝0時,進行算術操作。

Ｍ＝1時：

封鎖了各位的進位輸出,即Cn+i

＝0,因此各位的運算結果Fi

僅與Yi

和Xi

有關,故Ｍ＝1時,進行邏輯操作。第十一頁，共六十二頁。下圖為工作于負邏輯和正邏輯操作方式的74181ALU方框圖。兩種操作是等效的。?對正邏輯操作數來說：

算術運算稱高電平操作；邏輯運算稱正邏輯操作

(即高電平為“1”,低電平為“0”)。?對于負邏輯操作數來說:

正好相反。第十二頁，共六十二頁。AA+BA+B減1A加AB（A+B）加ABA減B減1AB減1A加ABA加B（A+B）加ABAB減1A加A*（A+B）加A（A+B）加AA減1AA+BAB邏輯0ABBABABA+BABBAB邏輯1A+BA+BA

A減1AB減1

AB減1

減1A加（A+B）AB加（A+B）A減B減1A+BA加（A+B）A加BAB加（A+B）A+BA加A*AB加AAB加AA

AAB

A+B

邏輯1

A+BB

ABA+B

ABAB

BA+B

邏輯0AB

ABALLLLLLLHLLHLLLHHLHLLLHLHLHHLLHHHHLLLHLLHHLHLHLHHHHLLHHLHHHHLHHHH算術運算M=LCn=H邏輯M=H算術運算M=LCn=L邏輯M=H正邏輯輸入與輸出負邏輯輸入與輸出工作方式選擇輸入S3S2S1S0

第十三頁，共六十二頁。(1)H＝高電平,L＝低電平；(2)*表示每一位均移到下一個更高位,即A*＝2A。(3)

算術運算操作是用補碼表示法來表示的，其中：

“加”是指算術加，運算時要考慮進位；符號“＋”是指“邏輯加”。(4)

減法是用補碼方法進行的，其中數的反碼是內部產生的,而結果輸出“A減B減1”，因此做減法時需在最末位產生一個強迫進位(加1),以便產生“A減B”的結果。(5)

“A＝B”輸出端可指示兩個數是否相等；第十四頁，共六十二頁。3.并行加法器的進位邏輯74181ALU為4位并行加法器，組成16位的并行加法器——怎么辦？

4片(組)74181連接——怎樣連？

?組與組之間串行連接

?組與組之間并行連接第十五頁，共六十二頁。組間串行進位C4＝G0＋P0C0C8＝G1＋P1C4C12＝G2＋P2C8C16＝G3＋P3C12進位關系Cn＋1＝Y0＋X0CnCn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2CnCn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn組內組間X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3C4C8C4C00011G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3

P＝X0X1X2X3第十六頁，共六十二頁。(2)組間并行進位——兩級先行進位的ALU由串行進位關系C8=G1＋P1C4=G1+P1(G0＋P0C0)=G1+G0P1+P0P1C0得：C4＝G0＋P0C0C8＝G1＋P1C4C12＝G2＋P2C8C16＝G3＋P3C12C4=G0＋P0C0C12=G2＋P2C8=G2+P2(G1+G0P1+P0P1Cn)=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2C0C16=G3+P3C12=G3+G2P3+G1P1P2+G0P1P2P3+P0P1P2P3C0

=G*＋P*C0其中:P*＝P0P1P2P3G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3根據上述公式實現邏輯電路:第十七頁，共六十二頁。

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

C12C8C4

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

0

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

第十八頁，共六十二頁。4.先行進位部件（CLA）——7418274182是一個并行進位部件，其內部結構圖如下：其中G*稱為成組進位發生輸出，P*稱為成組進位傳送輸出。第十九頁，共六十二頁。Cn+ｘ=G0+P0CnCn+ｙ=G1+P1Cn+ｘ=G1+G0P1+P0P1CnCn+ｚ=G2+P2Cn+ｙ=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2CnCn＋4=G3+P3Cn+ｚ=G3+G2P3+G1P1P2+G0P1P2P3+P0P1P2P3Cn

=G*＋P*Cn其中:P*＝P0P1P2P3

G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3先行進位部件74182CLA所提供的進位邏輯關系如下：第二十頁，共六十二頁。74181ALU設置了P和G兩個本組先行進位輸出端。如果將四片74181的P,G輸出端送入到74182先行進位部件（CLA）,又可實現第二級的先行進位,即組與組之間的先行進位。例：16位字長ALU的構成G*P*第二十一頁，共六十二頁。?C3、C7、C11是由74182同時形成的；?其不同點是74182還提供大組間的進位函數G*

和大組傳遞條件P*，以便在位數更長時組成下一級先行進位鏈。由圖可知：第二十二頁，共六十二頁。

用若干個74181ALU位片,與配套的74182先行進位部件CLA在一起,可構成一個全字長的ALU。例：全字長的ALU的構成用兩個16位全先行進位部件級聯組成的32位ALU邏輯方框圖。第二十三頁，共六十二頁。十進制加法器

十進制加法器可由BCD碼(二－十進制碼)來設計,它可以在二進制加法器的基礎上加上適當的“校正”邏輯來實現。70111+6+0110131101

（=D）

+011010011（=13）30011+5+010181000（=8）X+Y+C<10不調整X+Y+C>10調整第二十四頁，共六十二頁。故：

1.和為10～15時，加6校正；

2.和數有進位時，加6校正。和數(4位)有進位調整2800101000+9＋000010013700110001（=31）

＋0000011000110111(=37)第二十五頁，共六十二頁。1.一位BCD碼行波式進位加法器一般結構：011101010111100110111101111第二十六頁，共六十二頁。2.n位BCD碼行波式進位加法器一般結構：第二十七頁，共六十二頁。浮點運算方法和浮點運算器浮點加、減法運算浮點乘、除法運算第二十八頁，共六十二頁。

尾數：用定點小數表示，給出有效數字的位數，決定了浮點數的表示精度；階碼：用整數形式表示，指明小數點在數據中的位置，決定了浮點數的表示范圍。機器浮點數格式：

浮點數的表示方法階符階碼數符尾數EsE1E2……EmMsM1M2……Mn第二十九頁，共六十二頁。IEEE標準：尾數用原碼；階碼用“移碼”；基為2。浮點數的標準格式

按照IEEE754的標準，32位浮點數和64位浮點數的標準格式為：313023220SEM32位SEM63625251064位?為便于軟件移植，使用IEEE標準第三十頁，共六十二頁。設有兩個浮點數ｘ和ｙ,它們分別為:

浮點加、減法運算

其中Ex和Ey分別為數ｘ和ｙ的階碼，

Mx和My為數ｘ和ｙ的尾數。兩浮點數進行加法和減法的運算規則是:

ｘ±ｙ＝(Mx2Ex－Ey±My)2EyEx<=Ey

ｘ＝2Ex·Mｘｙ＝2Ey·Mｙ第三十一頁，共六十二頁。完成浮點加減運算的操作過程大體分為四步：(1)0操作數的檢查；(2)比較階碼大小并完成對階；(3)尾數進行加或減運算；(4)結果規格化。(5)舍入處理。(6)溢出處理。第三十二頁，共六十二頁。

使二數階碼相同（即小數點位置對齊），這個過程叫作對階。

?

先求兩數階碼Ex和Ey之差，即△E=Ex－Ey

若△E=0，表示

Ex=Ey

若△E>0,Ex>Ey

若△E<0,Ex<Ey通過尾數的移動來改變Ex或Ey，使其相等.

?對階原則階碼小的數向階碼大的數對齊；小階的尾數右移，每右移一位,其階碼加1(右規)。(2)對階(1)0操作數檢查

第三十三頁，共六十二頁。例:x=201×0.1101,y=211×(-0.1010),求x+y=?解：為便于直觀了解，兩數均以補碼表示，階碼、尾數均采用雙符號位。

[x]補=0001,00.1101[y]補=0011,11.0110[△E]補=[Ex]補－[Ey]補=0001+1101=1110

△E=-2,表示Ex比Ey小2,

因此將x的尾數右移兩位.

右移一位,

得[x]補=0010,00.0110

再右移一位,

得[x]補=0011,00.0011

至此,△E=0,對階完畢.第三十四頁，共六十二頁。

尾數求和方法與定點加減法運算完全一樣。對階完畢可得:[x]補=0011,00.0011[y]補=0011,11.0110

對尾數求和:00.0011+11.011011.1001即得:[x+y]補=0011,11.1001(3)尾數求和運算第三十五頁，共六十二頁。(4)結果規格化

求和之后得到的數可能不是規格化了的數,為了增加有效數字的位數,提高運算精度,必須將求和的結果規格化.①規格化的定義:

(二進制)對正數:S=00.1×××…×對負數:S=11.0×××…×采用雙符號位的補碼：采用原碼：

正數:S=0.1×××…×

負數：S=1.1×××…×第三十六頁，共六十二頁。

若不是規格化的數,需要尾數向左移位,以實現規格化的過程,我們稱其為向左規格化。②向左規格化

前例中,0011,11.1001不是規格化數,因而需要左規,即左移一位,階碼減1,得:[x+y]補=0010,11.0010③向右規格化

浮點加減運算時,尾數求和的結果也可能得到：

01.×××…×或10.×××…×,

即兩符號位不等，即結果的絕對值大于1。向左破壞了規格化。此時,將尾數運算的結果右移一位,階碼加1,稱為向右規格化。第三十七頁，共六十二頁。例：兩浮點數x=0.1101210,y=(0.1011)201,求x+y。解：[x]補=0010，00.1101[y]補=0001，00.1011

對階：

[△E]補=[Ex]補－[Ey]補=0010+1111=0001y向x對齊，將y的尾數右移一位，階碼加1。

[y]補=0010，00.0101

求和：

00.1101+00.010101.0010[x+y]補=0010，01.0010右歸：運算結果兩符號位不同，其絕對值大于1，右歸。

[x+y]補=0011，00.1001第三十八頁，共六十二頁。

在對階或向右規格化時,尾數要向右移位,這樣,被右移的尾數的低位部分會被丟掉,從而造成一定誤差,因此要進行舍入處理。

?

簡單的舍入方法有兩種：①“0舍1入”法即如果右移時被丟掉數位的最高位為0則舍去，反之則將尾數的末位加“1”。②“恒置1”法即只要數位被移掉，就在尾數的末位恒置“1”。從概率上來說,丟掉的0和1各為1/2。(5)舍入處理

?IEEE754標準中，舍入處理提供了四種可選方法：第三十九頁，共六十二頁。(6)溢出處理

與定點加減法一樣，浮點加減運算最后一步也需判溢出。在浮點規格化中已指出，當尾數之和(差)出現01．××…×或10．××…×時，并不表示溢出，只有將此數右規后，再根據階碼來判斷浮點運算結果是否溢出。第四十頁，共六十二頁。

若機器數為補碼，尾數為規格化形式，并假設階符取2位，階碼取7位、數符取2位，尾數取n位，則它們能表示的補碼在數軸上的表示范圍如圖所示。正負第四十一頁，共六十二頁。

圖中A，B，a，b分別對應最小負數、最大正數、最大負數和最小正數。它們所對應的真值分別是：

A最小負數2+127(-1)B最大正數2+127(1-2-n)a最大負數2-128(-2-1-2-n)b最小正數2-128

2-1正負第四十二頁，共六十二頁。圖中a,b之間的陰影部分，對應階碼小于128的情況，叫做浮點數的下溢。下溢時．浮點數值趨于零，故機器不做溢出處理，僅把它作為機器零。圖中的A、B兩側陰影部分，對應階碼大于127的情況，叫做浮點數的上溢。此刻，浮點數真正溢出，機器需停止運算，作溢出中斷處理。一般說浮點溢出，均是指上溢。

可見，浮點機的溢出與否可由階碼的符號決定：

階碼[j]補=01,為上溢，機器停止運算，做中斷處理；階碼[j]補=10,為下溢，按機器零處理。第四十三頁，共六十二頁。例：若某次加法操作的結果為[X+Y]補=11.010,00.0000110111則應對其進行向左規格化操作：尾數為：00.1101110000，階碼減4：

11.010+11.100[-4]補

10.110例：若某次加法操作的結果為[X+Y]補=00.111,10.1011100111則應對其進行向右規格化操作：尾數為：11.0101110011，階碼加1：01.000

階碼超出了它所能表示的最大正數（+7），表明本次浮點運算產生了溢出。

階碼超出了它所能表示的最小負數（-8），表明本次浮點運算產生了溢出。第四十四頁，共六十二頁。

在加、減運算過程中要檢查是否產生了溢出：若階碼正常，加減運算正常結束；若階碼溢出，則要進行相應的處理。階碼上溢——

超過了階碼可能表示的最大值的正指數值,一般將其認為是＋∞和－∞。階碼下溢——

超過了階碼可能表示的最小值的負指數值,一般將其認為是0。?

浮點數的溢出是以其階碼溢出表現出來的?

對尾數的溢出也需要處理(上溢—右歸，下溢—舍入）。小結：第四十五頁，共六十二頁。第四十六頁，共六十二頁。例

設ｘ=20100.11011011,ｙ=2100(-0.10101100),求ｘ+ｙ。解：階碼采用雙符號位,尾數采用單符號位,則它們的浮點表示分別為[x]浮=00010,

0.11011011

[y]浮=00100,

1.01010100(1)求階差并對階△E=Ex-

Ey=[Ex]補+[-Ey]補=00010+11100=11110[x]浮＝00100,0.00110110(11)其中(11)表示Mｘ右移2位后移出的最低兩位數。即△E為-2,x的階碼小,應使Mx右移兩位,Ex加2,第四十七頁，共六十二頁。(2)尾數求和(4)舍入處理采用0舍1入法處理,則有:1.00010101+11.000101100.00110110(11)+1.01010100

1.10001010(11)(3)規格化處理尾數運算結果的符號位與最高數值位為同值，應執行左規處理，結果為1.00010101(10)，階碼為00011。(5)判斷溢出階碼符號位為00，不溢出，故得最終結果為

x+y=2011×(-0.11101010)第四十八頁，共六十二頁。例兩浮點數x=201×0.1101，y=211×(-0.1010)。假設尾數在計算機中以補碼表示，可存儲4位尾數，2位保護位，階碼以原碼表示，求x+y。解：將x,y轉換成浮點數據格式

[x]浮

=0001,00.1101 [y]浮

=0011,11.0110步驟1：對階，階差為11-01=10，即2，因此將x的尾數右移兩位，得

[x]浮

=0011,00.001101步驟2：對尾數求和，得: [x+y]浮

=0011,11.100101步驟3：由于符號位和第一位數相等，不是規格化數，向左規格化，得

[x+y]浮

=0010,11.001010步驟4：截去。

[x+y]浮

=0010,11.0010步驟5:數據無溢出，因此結果為

x+y=210×(-0.1110)第四十九頁，共六十二頁。浮點運算電路浮點加法器原理框圖MESMES小ALU大ALU控制右移左移或右移舍入部件階碼差加1或減1MES111000第五十頁，共六十二頁。

浮點乘、除法運算1.浮點乘法、除法運算規則

設有兩個浮點數ｘ和ｙ：ｘ＝2Ex·Mx

ｙ＝2Ey·My浮點乘法運算的規則是：ｘｙ＝2(Ex+Ey)·(Mx

My)

即：乘積的尾數是相乘兩數的尾數之積;

乘積的階碼是相乘兩數的階碼之和。浮點除法運算的規則是:

ｘ÷ｙ＝2(Ex－Ey)·(Mx÷My)

即：商的尾數是相除兩數的尾數之商;

商的階碼是相除兩數的階碼之差。第五十一頁，共六十二頁。2.浮點乘、除法運算步驟浮點數的乘除運算大體分為四步：(1)0操作數檢查；(2)階碼加/減操作；(3)尾數乘/除操作；(4)結果規格化及舍入處理。第五十二頁，共六十二頁。(2)浮點數的階碼運算

?

對階碼的運算有＋1、－1、兩階碼求和、兩階碼求差四種,

運算時還必須檢查結果是否溢出。

?在計算機中,階碼通常用補碼或移碼形式表示。①移碼的運算規則和判定溢出的方法移碼的定義為[x]移=2n+ｘ-2n

≤x<2n[x]移+[y]移=2n+ｘ+2n+ｙ=2n+[ｘ+ｙ]移按此定義,則有=2n+(2n+(ｘ+ｙ))[ｘ+ｙ]移=-2n+[x]移+[y]移第五十三頁，共六十二頁。

考慮到移碼和補碼的關系：

對同一個數值,其數值位完全相同,而符號位正好完全相反。

[y]補的定義為

[y]補=2n+1+ｙ則求階碼和用如下方式完成：

=2n+1+(2n+(ｘ+ｙ))[x]移+[y]補=2n+ｘ+2n+1+ｙ即：[ｘ+ｙ]移=[x]移+[y]補

(mod2n+1)同理：[ｘ-ｙ]移=[x]移+[-y]補

(mod2n+1)②混合使用移碼和補碼第五十四頁，共六十二頁。

使用雙符號位的階碼加法器,并規定移碼的第二個符號位,即最高符號位恒用0參加加減運算,則溢出條件是結果的最高符號位為1：

?當低位符號位為0時,（10）表明結果上溢,

?當低位符號位為1時,（11）表明結果下溢。

?當最高符號位為0時,表明沒有溢出:

低位符號位為1,（01）表明結果為正;

為0,（00）表明結果為負。③階碼運算結果溢出處理第五十五頁，共六十二頁。例：

ｘ=+011,ｙ=+110,求[x+y]移和[x-y]移,并判斷是否溢出。解：階碼取3位（不含符號位），其對應的真值范圍是-8~+7[x]移=01011,[y]補=00110,[-y]補=11010[x+y]移=[x]移+[y]補=[x-y]移=[x]移+[-y]補=01011+0011010001結果上溢。結果正確,為-3。01011+1101000101第五十六頁，共六十二頁。(3)尾數處理

浮點加減法對結果的規格化及舍入處理也適用于浮點乘除法。第一種方法是：無條件地丟掉正常尾數最低位之后的全部數值。這種辦法被稱為截斷處理