整數幾何知識定位. 數學學科中2門最古老的分支為平面幾何與整數問題，這2門分支的有機結合指平面幾何中的某些基本量（邊長、角度、周長、面積等）為整數的幾何問題，或幾何問題中的計數問題等。這些問題歷來是初中數學競賽的熱點問題之一。解決這類問題用到的幾何知識并不是很難，往往要結合代數的相關知識、思想方法和整數的有關性質綜合考慮，用到的數學思想方法有枚舉法、篩選法、排序法、奇偶分析法、質數分析法、不等式放縮法等。知識梳理知識梳理1：解答整數幾何問題的步驟：首先，根據問題給出的幾何條件，進行計算或推理，從而，得到一些數量之間的關系式—-等量關系、不等關系、函數關系等。其次，根據幾何量是整數的特點，依據整數的性質來處理（如利用數的整除性、整數的表示方法、完全平方數的性質、確定整數的范圍后再逐一驗證等）。知識梳理2：比較法比較法利用的是：若a-b=0，則a=b（作差法）；或若-=1，則a=b（作商法）。b這也是證明恒等式的重要思路之一。知識梳理3：分析法與綜合法根據推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法.分析法是從要求證的結論出發，尋求在什么情況下結論是正確的，這樣一步一步逆向推導，尋求結論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結論正確，即所謂“執果索因”.而綜合法正好相反，它是“由因導果”，即從已知條件出發順向推理，得到所求結論.知識梳理4：其他解題方法及技巧除了上述方法，設k、換元等方法也可以在恒等式證明中發揮效力.例題精講■ 【試題來源】【題目】凸四邊形ABCD邊長都是正整數，任意三邊的和是第四邊的整數倍，證明四邊形ABCD四條邊中總有兩條邊的長度相等。【答案】證明：設四邊地的四邊長分別為3/,白，比周長為E,且b+c+d=a+c十d二jjr,tha+b4d二pa+b+c=?j4d.（所有字母均為正整數）于是；s=a.+b+c+d=a二（pJ1）匕=（掬+1）c二（『J1）d.若結論不成立，則四邊均不相等，■方設3cb＜黃、—等 玲, ■一忌篤國K[先與=#+b+c+去+匚+彳+鼻="5?Tbo4 -3 20與已知矛盾，所以四條邊巾息有兩條邊的長度相等【解析】通過限制條件限制整數范圍，最終推出矛盾【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】3【試題來源】【題目】已知直角三角形的兩條直角邊邊長分別為l,m，斜邊為n，且1、m、n均為整數,l為質數，證明2(m+1+1)是完全平方數。【答案】證明：因為是直角三角形J-Im2=21—in"=(ri— I-m)「I為質數I=h..m=足Imni=[)不符合條件l-=nIm凡一m=1廬-]n￡--2~+1+1)=2(1+— 1~1)=(I+:式稗1/11)是完全平方數【解析】利用好質數的性質，轉化條件后進行運算【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】已知△ABC中，ZB是銳角.從頂點A向BC邊或其延長線作垂線，垂足為D;從頂點2BD 2BEC向AB邊或其延長線作垂線，垂足為E.當ft和不■均為正整數時，4ABC是什么三角BCAB形?并證明你的結論.【答案】答：△ABC是等邊三角地,等腰直角三角形,頂角為12T的等腰三角形.證明：設鬻=等=門，m,n均為正整數貝J汗舊=],黑.g=如加勺＜1DC- /iZJ UC...mn=1,43"(1：當irtii-1時,skB—13/_B=60°j此時m=m=1.AD垂直平分BC,CE垂亙平分aE,：△月B(7是等邊三角形.(2)當r?w.=2時,g出\Z_B=45。,此時m=1,Ti=2,或m=?,n=1-.點E與點A重合,或點D與點C重合.ZBAC=90口,或￡BCA=90口.'.HABCTJZL等腰直角三角形.(3)mn=3時,cosB=g」：￡B=30。，此時m=1,Ti=3,或m=3,n=1.「/D垂直平分BC,或CE垂直平分AB.AACB=30。」或LBA.C=30°』「.△ABC是頂角為1?(T的等腰三角形.【解析】首先設熠…坐=凡，叫n均為正整數，則可得B("AB皿門=1.空2.毀=<1，繼而可得mn=1,2,%然后分別分析求解即可求ABB(.得答案.【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】如圖，在RtAABC中，/BCA=90°,CD是高,已知在RtAABC的三邊長都是整數且BD=113，求在RtABCD與在RtAACD的周長之比.BD A【答案】設=□,CA=b,AB=e,~RSBAC,'‘'ff=黑，即取產=BD-BA>LJJ1JjC..■a1—11%?因1為完全平方數，且n是質數,./為ii的倍數，令仁=11M體為正整數二則印=ii%」于是由勾股定理得fj=7自_/=］］小心二］pj又因為匕為整數，.下■11，是完全平方數,令七"■II2=m-j則(七+m)(fc-m)=ll2j：｛kI07)>(fc-m)>0且11為質數，：\ =解得［大=%,于是也=,b=11x61x60Ik-m=1 1m=60又-.-RtABCDam^CAD,.,它們周長的比等于它們的相似比.即n1l2x6-l111)=11x61x60=60'【解析】根據題意易證△比；。~△G/9，利用相似三角形的性質及勾股定理列式,解方程組即可解答.【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】周長為6,面積為整數的直角三角形是否存在?若存在，請證明共幾個.若不存在，請給出證明.【答案】這樣的三角舟只有一個.如果直角三角形的面積是個整數.1.那么它兩直角邊的乘積就是2的陪數（兩直角邊之秋除以2是它的面積）設直角邊分別為工匕那么工+?一 +/A=6（/表示/）得出y=&￡7^佃）2,兩個直角邊都小于M兩邊之和大于第三邊）那么兩直角邊之積只能是小于9的偶數8、6、42驗證一下,如果乘積是2工Ky=2向（a）與（b）聯立方程1得工=5丁符合「y-5W7也符合條件所以面積等于1時三角形存在.因為周長一定時等邊三角形面積最大，為西：小于2所以兩直角邊之積小于4,所以其它乘積的可能值不用驗證了.所以這樣的三角形只有一個.【解析】通過三角形各邊的限制條件，縮小范圍，再逐一討論【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】已知四邊形ABCD的面積為32,AB、CD、AC的長都是整數，且它們的和為16.(1)這樣的四邊形有幾個？(2)求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值.【答案】D平溝X.BEc(1)現圖，二己陽-二，CE-b,AC-K干-殳也后匚的邊日二上的高為h「△ACC印丈立上的高大上工，川3四-力的b"X A?z>c=一〔上述十h山)K-(a+o):2 2當且僅當h「h廠1時等號成立.即在匹邊形ABCI口，=M_LAB：AC_LCDE，等號成±.由已知得6441(a+b),又「a+b=16T,得64<1(16-1)=64-(1-8)2<64,于是1=*a+b=8,且這時AC1AB,AC1CD,因此這樣的四邊形由如下4個：a=1,b=7!1=8;a=2,b=651=8;a=3,b=551=8;a二b=4,1=8;(2)由于ABf,CD=8-a,貝帕匚2=82—2,陽2=g2+(g,a)2,故這樣的四辿形的邊長的平方和為：2a2+2(8-a)2+128=4(a-4)2+192,■二b二4時,平方和最小，且為192.故答案為：4,192.【解析】提示1：(1)根據題意畫出圖形，再根據S四邊形細5二士△AEC+SAADC列出關于a、b、1的不等式，求出當四邊也ABCD面積最大時未知數的值即可;(2)根據四邊形面積最大時也圮。及△ACD均為直角三角形，利用勾股定理即可求出四邊用邊長的平方和的最小值.提示2：本題考查的是等積變換，解答此題的關鍵是把四邊形的面積轉化為三角形的面積，再利用三角形的面積及勾股定理求解.【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】在三邊長是連續自然數、周長不超過100的三角形中，銳角三角形的個數【答案】設滿足條件的三角形的三邊長分別是口-1,上北十L*則((n- +n+ 1)<100I(jj—1)+n>n4-1 1計算得出2<n<33.門=3時，爐十臚工爐，三角形是鈍角三角形，h=1時，3"+L-=52,三角彩是直角三第形,"之5時,+tJ— 41)--ir—Ait-n(n-4)>0>二角形是銳角二角形，故滿足條件的銳角三角形的個數是29.因此，本題正確答案是T9.,，一“一一,,,,二 37- -1 31-I1,,, ,二【解析】可設滿足條件的三角形的三邊長分別是,n, ，先根據已知和三角形三邊關系列出不等式組，求得n的取值范圍,再根據勾股定理得出銳角三角形的個數.【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】3【試題來源】【題目】一個直角三角形的邊長都是整數，它的面積和周長的數值相等.試確定這個直角三角形三邊的長.【答案】假設符合條杵的直角三角形存在，它的三邊長為小人d其中七為斜邊.則a2+b2=gZ，a+b+c=-t匕、q均用正整數，；-a聲h:不妨設a>b*則有日坨+J七七十匕2二—i兩邊平方.并整理得， ^匕一r '+2ab~01消去ah,得—_a_b+2=0r即［aT)<b7)=$.又「總二L乂￡=2>.4,.'.?a-4=S.h-4=l,解得:a=12.h=h.則已二13;②汽一4二L卜一4二/,解彳導：汽二*,-i=b.^l|c=IU;綜一歷無，符合條件的直角三弟形的邊長分別杲5、_2、13;6、8-.10.【解析】提示1：設符合條件的直角三角形的三邊長為a、b、c,其中C為斜邊，貝12+b2K2,a+b+c=于是將存在性問題的討論轉化為求方程組的解.提示2：本題主要考查了一元二次方程的整數根及有理根、勾股定理的逆定理的應用.在解題過程中，當勾股定理不能直接運用時，常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運用創造必要的條件，有時又需要由線段的數量關系去判斷線段的位置關系，這就需要熟悉一些常用的勾股數組.【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=kBC(k為大于1的自然數)，點D,E分別在邊10AB,AC上,且DB=BC=CE,CD與BE交于點O求使OC/BC為有理數的最小的正整數k。【答案】由超設NMC=Z3加/砌，故另一方面FOC=BC^AR^_——ROD=DE~AD^AB-DB=F^T.所明器=念r ?①*②得器=岳與？是有理數，且(A,2A?1)=1.于是#與2#?1都是完全平方數.當k=4,9,16時，察-1=7,1731;當k=25時,2*7=49.故便器為有理數的最小正整數*=25.【解析】根據題中的基本相似圖形列出比例關系，然后根據OC/BC為有理數這一限制條件對各個數據進行討論，篩選出最終結果。【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】3【試題來源】【題目】如圖所示，。【題目】如圖所示，。0的直徑的長是關于1的二次方程X2+2(k—2)x+k=0(k是整數)的最大整數根。P是。0外一點，過點P作。0的切線PA和割線PBC,其中A為切點，點B、C是直線PBC與。0的交點。若PA、PB、PC的長都是正整數，且PB的長不是合數，求PA求PA2+PB2+PC2的值。【答案】設方程/+2{左_幻1十七=0的兩個根為力，X2,#1近明.由根與系數的關系得力十溫=4—2乜①#［及=2②由題設及①知，X］_,工2都是整數.從①，②梢去±3得2*［項+宣［+矽=4,但打十1)(2矽十1)=9.由上式知，X2成4,且當k二0時,及二明故最大的整數根為4.于是的直徑為4,所以近4.因為B(?=PC?-PB為正整數，所以FC?=L2,3或4.連接乂氏AG因為ZPAB-ZPCA,所以R4B-△2□形—=—.PBPA故RM=PE{PB十 ③⑴當8C三1時,由③得，p不二P斛+ 于是PBIrY< 1產,矛盾！⑵當8c二2時,由③得，p萬二PBZ+2PB^于是P爐“1產，矛盾!⑶當=3時，由③得，pa2-PS2+3P5^ (PA-PB)(PA+PB)=±3PB,由于PR不是合數，結合PA—PFvJU+P艮故只可能R4—PB=1PA十PB=3PB'R4—PB=3

pa故只可能R4—PB=1PA十PB=3PB'R4—PB=3

pa十pb=pb'■PA-PR=PBR4+FB=3PA=2此時R4?十P鎮十Pd=2L12⑷當=由③得，P不二PB?十4PBi,于是｛PB十由十4PB二PK<(PB+2汽矛盾.綜上所述P?+"+PCZ=21-【解析】韋達定理是本題求解的關鍵，基本多項式變形的分解式是解題的轉折點.但是也有第2種解法，因為勺或/的次數是一次，可以直接求出一個未知數，用分式整式分離法討論之.【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】求證：只存在唯一一個三角形，它的三邊長為三個連續的正整數，并且它的三個內角中有一個內角為另一個內角的2倍.CbA匕D【答案】證明I如圖，在/iABC中，設/A二2且三邊長分別為a.，b!c延長CA到點D,使AD二ABr,則。0二b+c,由4=2/日知/甌=4.11工人a4^BCACnnab從而，△ABCs&bdc,故一二一，即——=-DCBCb+ca于是，&。=b(b+c)?當a>c>b時，設a二門+1,c=n,b二門-1,代入①式，解得，n=5.此時，a=6fb=5fc=4?當cA社>b時，設c=n+l,a-n,b二門一1,解得，n=此時，a=25b=l5c=35不能構成三角形:同理，當色〉b〉c時，可得，n2_3n_l=O,無解.綜上所述，滿足條件的三角形只有一個，其三邊長為4.5,6.【解析】提示1：首先保證該三角形的三個內角中有一個內角為另一個內角的2倍，構造相似三角形，得到a，b，c之間的一個關系式，再根據邊長為三個連續的正整數，進行分析求解.提示2：此題綜合運用了相似三角形的判定和性質以及三角形的三邊關系.【知識點】整數幾何【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】若直角三角形的三個頂點皆取自于某個正十二邊形的頂點，則這種直角三角形的個數為()A、36 B、60 C、96 D.120【答案】正12邊形，有12個頂點，有6條直徑咕稱軸，此時有10個非直徑端點的點，這10個點可以與相應的直徑構成1。個直角三角形，則一共有：10x6=60個直角三角用。故選B【知識點】整數幾何14【適用場合】隨堂課后練習【難度系數】3【試題來源】【題目】如圖，邊長為26的正△ABC內接于圓，弦DE//BC,分別交AB、AC于F、G。如果AF的長x和DF的長y都是正整數，則y的值為（）A.6 B.8 C.12 D.16【答案】由相交弦定理得出26-⑼一丁（g+y）,即￡（26—0一同￡+力o由工（26—旬—尸6+產）,解得宜（26—旬—尸（了+力o由y為正整數，且式26-必―耳笈+引必須為完全平方數，驗算可得打工【知識點】整數幾何【適用場合】隨堂課后例題【難度系數】3【試題來源】【題目】現在a