第3課時兩平面垂直的性質【課時目標】1．理解平面與平面垂直的性質定理．2．能應用面面垂直的性質定理證明空間中線、面的垂直關系．3．理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的內在聯系．1．平面與平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內________于它們________的直線垂直于另一個平面．用符號表示為：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．2．兩個重要結論：(1)如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在________________________________________________________________________．圖形表示為：符號表示為：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么__________(a與α的位置關系)．一、填空題1．平面α⊥平面β，a?α，b?β，且b∥α，a⊥b，則a和β的位置關系是________．2．已知三條不重合的直線m、n、l，兩個不重合的平面α，β，有下列命題：①若m∥n，n?α，則m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，則α∥β；③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，則n⊥α．其中正確的命題是________(填序號)．3．若平面α與平面β不垂直，那么平面α內能與平面β垂直的直線有________條．4．設α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么下列說法正確的序號為________．①a與b可能垂直，但不可能平行；②a與b可能垂直，也可能平行；③a與b不可能垂直，但可能平行；④a與b不可能垂直，也不可能平行．5．如圖，兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設M、N分別是BD和AE的中點，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE異面．其中結論正確的是________(填序號)．6．如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為eq\f(π,4)和eq\f(π,6)．過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′、B′，則AB∶A′B′＝________．7．若α⊥β，α∩β＝l，點P∈α，PD/∈l，則下列命題中正確的為________．(只填序號)①過P垂直于l的平面垂直于β；②過P垂直于l的直線垂直于β；③過P垂直于α的直線平行于β；④過P垂直于β的直線在α內．8．α、β、γ是兩兩垂直的三個平面，它們交于點O，空間一點P到α、β、γ的距離分別是2cm、3cm、6cm9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1二、解答題10．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥AB．11．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB．能力提升12．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E為PA的中點．求證：平面EDB⊥平面ABCD．13．如圖所示，在多面體P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝4eq\r(5)．(1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求P點到平面ABCD的距離．1．運用兩個平面垂直的性質定理時，一般需要作輔助線，其基本作法是過其中一個平面內一點在此平面內作交線的垂線，這樣，就把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直．2．無論從判定還是從性質來看，線線垂直、線面垂直和面面垂直都是密切相關的，面對復雜的空間圖形，要善于發現它們之間的內在聯系，找出解決問題的切入點，垂直關系的轉化為：第3課時兩平面垂直的性質答案知識梳理1．垂直交線a⊥β2．(1)第一個平面內a?α(2)a∥α作業設計1．a⊥β2．②④3．0解析若存在1條，則α⊥β，與已知矛盾．4．③5．①②③6．2∶1解析如圖：由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝eq\f(π,6)，BB′⊥面α，∠BAB′＝eq\f(π,4)，設AB＝a，則BA′＝eq\f(\r(3),2)a，BB′＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝eq\f(1,2)a，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(2,1)．7．①③④解析由性質定理知②錯誤．8．7解析P到O的距離恰好為以2cm,3cm,9．直線AB上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交線AB上．10．證明在平面PAB內，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC?平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．11．證明(1)連結PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．證明設AC∩BD＝O，連結EO，則EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD為交線，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO?平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．13．(1)證明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4eq\r(5)，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD?面ABCD，