1.2.1極限與函數的連續1.2.3偏導數與全微分1.2.2導數與微分1.2微分學1.2.4導數與微分應用1.2.1極限與函數的連續

1.函數定義:定義域值域設函數為特殊的映射:其中定義域：使表達式有意義的實數全體或由實際意義確定。函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性

復合函數初等函數有限個常數及基本初等函數經有限次四則運算與復合而成的一個表達式的函數.例如.函數2極限

極限定義的等價形式

(以為例)(即為無窮小)極限存在準則及極限運算法則無窮小無窮小的性質;無窮小的比較;常用等價無窮小:

兩個重要極限～～～～～～～～～重點：求極限的基本方法洛必達法則例1.求下列極限：提示:無窮小有界令～3.連續與間斷函數連續的定義函數間斷點第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個不存在）可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點重要結論：初等函數在定義區間內連續例2.

設函數在x=0連續,則a=

,b=

.提示:有無窮窮間斷斷點及可去去間斷斷點解:為無窮窮間斷斷點,所以為可去去間斷斷點,極限存存在例3.設函數數試確定常常數a及b.1.2.2導數和和微分分導數定義:當時,為右導導數當時,為左導導數微分:關系:可導可微導數幾幾何意意義:切線斜斜率1.有關概概念例4.設在處連續續,且求解:2.導數和和微分分的求求法正確使使用導導數及及微分分公式式和法法則（要求求記住住！））P10隱函數數求導導法參數方方程求求導法法高階導導數的的求法法(逐次求求一階階導數數）例5.求由方方程在x=0處的導導數解:方程兩兩邊對對x求導得因x=0時y=0,故確定的的隱函函數例6.求解:關鍵:搞清復合合函數結結構由外向內內逐層求求導1.2.3偏導數與與全微分分1.多元顯函函數求偏偏導和高高階偏導導2.復合函數數求偏導導注意正確確使用求求導符號號3.隱函數求求偏導將其余變變量固定定，對該該變量求求導。4.全微分5.重要關系系:函數可導函數可微偏導數連續函數連續例7.求解法1:解法2:在點(1,2)處的偏導導數.解：設則例8.設拉格朗日中值定理1.2.4導數與微微分的應應用1.微分中值值定理及及其相互互關系羅爾定理理柯西中值值定理函數單調調性的判判定及極極值求法法若定理1.設函數則在I內單調遞增(遞減).在開區間間I內可導,2.研究函數數的性態態:極值第一一判別法法且在空心心鄰域內有導數數,(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,極值第二二判別法法二階導數數,且則在點取極大值;則在點取極小值.例9.確定函數數的單調區區間.解:令得故的單調增區間為的單調減區間為例10.求函數的極值.解:1)求導數2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第第一判別別法判別別.例11.把一根直直徑為d的圓木鋸鋸成矩形形梁,問矩形截截面的高h和b應如何選選擇才能能使梁的的抗彎截截面模量量最大?解:由力學分分析知矩矩形梁的的抗彎截截面模量量為令得從而有即由實際意意義可知知,所求最值值存在,駐點只一一個,故所求結果就是是最好的的選擇.定理2.(凹凸判定定法)(1)在

I內則在I內圖形是凹的;(2)在

I內則在

I內圖形是凸的.設函數在區間I上有二階階導數凹弧凸弧弧的分界界點為拐拐點例12.求曲線的凹凸區區間及拐拐點.解:1)求2)求拐點可可疑點坐坐標令得對應3)列表判別別故該曲線線在及上向上凹凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點點.凹凹凸的連續性性及導函函數例13.填空題(1)設函數其導數圖形形如圖所所示,單調減區區間為;極小值點點為;極大值點點為.提示:的正負作f(