一、曲線的凹凸性與拐點第三章導數的應用第四節曲線的凹凸性與拐點函數圖形的描繪二、函數圖形的描繪一、曲線的凹凸性與拐點第三章導數的應用第四節曲線的凹凸性1如圖所示，凡呈凸形的弧段，當自變量x由x1增大到x2時，其上的切線斜率是遞減的(如圖(a)左，(b)左)，凡呈凹形的弧段，當x由x1增大到x2時，其上的切線斜率是遞增的(如圖(a)右，(b)右)，我們將以這個明顯的幾何特征來規定曲線的凹凸性.x1x3x4x2OyABCDx一、曲線的凹凸性與拐點xyOABDCx1x3x4x2(a)(b)如圖所示，凡呈凸形的弧段，當自2定義1設函數

y=f(x)在某區間

I

內可導，①如果

f(x)在

I內是遞增的，則稱曲線

y=f(x)在區間

I內是凹的，I區間稱為凹區間；②如果

f(x)在

I內是遞減的，

則稱曲線y=f(x)在區間

I

內是凸的，I區間稱為凸區間.定義2設函數

y=f(x)在區間

I

內連續，則

y=f(x)在區間

I

內的凹凸分界點，

叫做曲線

y=f(x)的拐點.定義1設函數y=f(x)在某區間I內可導，3

定理1設函數

y=f(x)在區間

I

內的二階導數

f(x)>0，則曲線

y=f(x)在區間

I

內是凹的；若

f(x)<0，則在此區間

I內曲線

y=f(x)是凸的.定理1設函數y=f(x)在區間I內的二4定理2(拐點的必要條件)且點(x0,

f(x0))為曲線

y=f(x)的拐點，則

f(x0)=0.若函數

y=f(x)在

x0處二階導數

f(x0)存在，

注意

f(x0

)=0是點(x0，

f(x0

))為拐點必要條件，而非充分條件.例如y=x4

，則y=12x2，當x=0時，

y(0)=0，但(0,0)不是曲線y=x4的拐點，因為點(0,0)兩側二階導數不變號.定理2(拐點的必要條件)且點(x0,f(x0)5定理3

若

f(x0)=0，且在

x0兩側

f(x)變號，則點(x0,

f(x0

))是曲線

y=f(x)的拐點.定理3若f(x0)=0，且在x0兩側f6

例1討論曲線f(x)=x3-6x2

+9x+1的凹凸區間與拐點．解定義域為(,).因為f(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令f(x)=0，可得x=2.當

x(,2)時，f(x)<0，此區間是凸區間．當

x(2,+)時，f(x)>0，此區間是凹區間．例1討論曲線f(x)=x3-6x2+7當

x=2時，f(x)=0，因f(x)在x=2的兩側變號，而f

(2)=3，所以

(2,3)是該曲線的拐點.本題也可以下表給出解答：x(,2)2(2,+)f(x)0+f(x)拐點(2,3)其中，分別表示曲線凸和凹.當x=2時，f(x)=0，因f(8例2討論曲線

y=ln(1+

x2)的凹凸區間與拐點.解定義域為(,).因為令y

=0得x=-1，x=1.例2討論曲線y=ln(1+x2)的凹凸區間與9當x(,-1)時，

y

<0，此區間是凸區間；當x(1,1)時，

y

>0，此區間是凹區間；當x(1,+)時，

y

<0，此區間是凸區間.因為f(-1)=f(1)=0，f

(x)在點x=-1.x=1的兩側變號，且f(-1)=f(1)=ln2，所以點(-1,ln2)和(1,ln2)為拐點.當x(,-1)時，y<0，此區間10例3設

f(x)=x4,證明其圖形沒有拐點.證

因為對一切x均有因此曲線

f(x)=x4沒有拐點.例3設f(x)=x4,證明其圖形沒有拐點.11二、函數圖形的描繪1.曲線的水平漸近線和垂直漸近線

定義3

若曲線

y=f(x)上的動點

M(x,y)

沿著曲線無限遠離坐標原點時，

它與某直線l的距離趨向于零，

則稱

l為該曲線的漸近線.lM(x,y)y=f(x)yxO二、函數圖形的描繪1.曲線的水平漸近線和垂直漸近線定義12(1)垂直漸近線則稱直線x=x0

為曲線y=f(x)的垂直漸近線.例如，因為所以直線x=0+即y軸為y=lnx曲線的垂直漸近線.yxOy=lnx對于曲線y=lnx來說，(1)垂直漸近線則稱直線x131yxO1yxO14例如，對于曲線來說，(2)水平漸近線則稱直線y=b為曲線y=f(x)的水平漸近線.yxO所以直線y=0

是曲線的水平漸近線.y=0例如，對于曲線來說，(2)15所以直線都是該曲線的水平漸近線.yxO因為又如，曲線y=arctanx，y=arctanx所以直線162.函數圖形的描繪描繪函數的圖形，其一般步驟是：(1)確定函數的定義域，并討論其對稱性和周期性；(2)討論函數的單調性，極值點和極值；(3)討論函數圖形的凹凸區間和拐點；(4)討論函數圖形的水平漸近線和垂直漸近線；(5)根據需要補充函數圖形上若干點(如與坐標軸的交點等等)；(6)描圖.2.函數圖形的描繪描繪函數的圖形，其一般步驟是：(1)確定17解該函數的定義域為

(-

,

)，且為奇函數，求其一、二階導數，得y

=3

-3x2和y

=-6x，例4描繪函數y=f(x)=3x–

x3的圖形.得駐點

x=1，令y=0，因為y|x=-

1

=6>0，y|x=1=-6<0，所以y(-1)=-2為極小值，y(1)=2為極大值；令y

=0，得x=0，因為x<0時，y

>0，x>0時，y

<0，所以x<0時曲線y=f(x)是凹的，當x>0時，曲線y=f(x)是凸的，且(0,0)為拐點.解該函數的定義域為(-,)，且為奇函數，求其一18將上述討論列為下表：xy(x)y(x)(,1)+0+++1(1,0)0+0(0,1)+10(1,+)y極小值f(-1)=-2拐點(0,0)極大值f(1)=2凹而減凹而增凸而增凸而減將上述討論列為下表：xy(x)y(x)(,1)19曲線y=3x–

x3無水平漸近線和垂直漸近線.綜合上述結論，即可描出所給函數的圖形.yxO1-1y=3x–x3令y

=0，可知曲線y=3x–x3與x軸交在曲線y=3x–x3無水平漸近線和垂直漸近線.20例5描繪函數

的圖形.解該函數的定義域為

(-

,

-1)∪(1,)且為偶函數，即圖形對稱于y軸.求該函數的一階導數和二階導數，得不難發現，該函數在定義域內無駐點，也沒有極值點.例5描繪函數21將上述結果歸結下表：xyyy-+凸而減凹而減無意義因為所以無水平漸近線，垂直漸近線為x=1和x=-1.將上述結果歸結下表：xyyy-+凸而減凹而減無意義22本題也可以利用圖形關于y軸對稱,僅在(1,)上討論，然后描出(-,-1)上的圖形.

yxO1-1y=ln(x2–1)根據以上信息，即可描出該函數的圖形.本題也可以利用圖形關于y軸對稱,僅在(1,23例6描繪函數

的圖形.解該函數的定義域為

(-

,

).該函數為偶函數，因此,只要作出它在(0,)內的圖形，即可根據其對稱性得到它的全部圖形．求其一、二階導數，得令y=0.令y=0，得駐點x=0，當x時y0，所以y=0為該函數圖形的水平漸近線.例6描繪函數的圖形.解該24討論y，y的正負情況，確定函數的增減區間和極值，凹凸區間和拐點，將上述結果歸結下表：xyy0y極大值f(0)=10+0凸而減凹而減討論y，y的正負情況，25根據以上討論，即可描繪所給函數的圖形.yOx根據以上討論，即可描繪所給函數的圖形.yOx26一、曲線的凹凸性與拐點第三章導數的應用第四節曲線的凹凸性與拐點函數圖形的描繪二、函數圖形的描繪一、曲線的凹凸性與拐點第三章導數的應用第四節曲線的凹凸性27如圖所示，凡呈凸形的弧段，當自變量x由x1增大到x2時，其上的切線斜率是遞減的(如圖(a)左，(b)左)，凡呈凹形的弧段，當x由x1增大到x2時，其上的切線斜率是遞增的(如圖(a)右，(b)右)，我們將以這個明顯的幾何特征來規定曲線的凹凸性.x1x3x4x2OyABCDx一、曲線的凹凸性與拐點xyOABDCx1x3x4x2(a)(b)如圖所示，凡呈凸形的弧段，當自28定義1設函數

y=f(x)在某區間

I

內可導，①如果

f(x)在

I內是遞增的，則稱曲線

y=f(x)在區間

I內是凹的，I區間稱為凹區間；②如果

f(x)在

I內是遞減的，

則稱曲線y=f(x)在區間

I

內是凸的，I區間稱為凸區間.定義2設函數

y=f(x)在區間

I

內連續，則

y=f(x)在區間

I

內的凹凸分界點，

叫做曲線

y=f(x)的拐點.定義1設函數y=f(x)在某區間I內可導，29

定理1設函數

y=f(x)在區間

I

內的二階導數

f(x)>0，則曲線

y=f(x)在區間

I

內是凹的；若

f(x)<0，則在此區間

I內曲線

y=f(x)是凸的.定理1設函數y=f(x)在區間I內的二30定理2(拐點的必要條件)且點(x0,

f(x0))為曲線

y=f(x)的拐點，則

f(x0)=0.若函數

y=f(x)在

x0處二階導數

f(x0)存在，

注意

f(x0

)=0是點(x0，

f(x0

))為拐點必要條件，而非充分條件.例如y=x4

，則y=12x2，當x=0時，

y(0)=0，但(0,0)不是曲線y=x4的拐點，因為點(0,0)兩側二階導數不變號.定理2(拐點的必要條件)且點(x0,f(x0)31定理3

若

f(x0)=0，且在

x0兩側

f(x)變號，則點(x0,

f(x0

))是曲線

y=f(x)的拐點.定理3若f(x0)=0，且在x0兩側f32

例1討論曲線f(x)=x3-6x2

+9x+1的凹凸區間與拐點．解定義域為(,).因為f(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令f(x)=0，可得x=2.當

x(,2)時，f(x)<0，此區間是凸區間．當

x(2,+)時，f(x)>0，此區間是凹區間．例1討論曲線f(x)=x3-6x2+33當

x=2時，f(x)=0，因f(x)在x=2的兩側變號，而f

(2)=3，所以

(2,3)是該曲線的拐點.本題也可以下表給出解答：x(,2)2(2,+)f(x)0+f(x)拐點(2,3)其中，分別表示曲線凸和凹.當x=2時，f(x)=0，因f(34例2討論曲線

y=ln(1+

x2)的凹凸區間與拐點.解定義域為(,).因為令y

=0得x=-1，x=1.例2討論曲線y=ln(1+x2)的凹凸區間與35當x(,-1)時，

y

<0，此區間是凸區間；當x(1,1)時，

y

>0，此區間是凹區間；當x(1,+)時，

y

<0，此區間是凸區間.因為f(-1)=f(1)=0，f

(x)在點x=-1.x=1的兩側變號，且f(-1)=f(1)=ln2，所以點(-1,ln2)和(1,ln2)為拐點.當x(,-1)時，y<0，此區間36例3設

f(x)=x4,證明其圖形沒有拐點.證

因為對一切x均有因此曲線

f(x)=x4沒有拐點.例3設f(x)=x4,證明其圖形沒有拐點.37二、函數圖形的描繪1.曲線的水平漸近線和垂直漸近線

定義3

若曲線

y=f(x)上的動點

M(x,y)

沿著曲線無限遠離坐標原點時，

它與某直線l的距離趨向于零，

則稱

l為該曲線的漸近線.lM(x,y)y=f(x)yxO二、函數圖形的描繪1.曲線的水平漸近線和垂直漸近線定義38(1)垂直漸近線則稱直線x=x0

為曲線y=f(x)的垂直漸近線.例如，因為所以直線x=0+即y軸為y=lnx曲線的垂直漸近線.yxOy=lnx對于曲線y=lnx來說，(1)垂直漸近線則稱直線x391yxO1yxO40例如，對于曲線來說，(2)水平漸近線則稱直線y=b為曲線y=f(x)的水平漸近線.yxO所以直線y=0

是曲線的水平漸近線.y=0例如，對于曲線來說，(2)41所以直線都是該曲線的水平漸近線.yxO因為又如，曲線y=arctanx，y=arctanx所以直線422.函數圖形的描繪描繪函數的圖形，其一般步驟是：(1)確定函數的定義域，并討論其對稱性和周期性；(2)討論函數的單調性，極值點和極值；(3)討論函數圖形的凹凸區間和拐點；(4)討論函數圖形的水平漸近線和垂直漸近線；(5)根據需要補充函數圖形上若干點(如與坐標軸的交點等等)；(6)描圖.2.函數圖形的描繪描繪函數的圖形，其一般步驟是：(1)確定43解該函數的定義域為

(-

,

)，且為奇函數，求其一、二階導數，得y

=3

-3x2和y

=-6x，例4描繪函數y=f(x)=3x–

x3的圖形.得駐點

x=1，令y=0，因為y|x=-

1

=6>0，y|x=1=-6<0，所以y(-1)=-2為極小值，y(1)=2為極大值；令y

=0，得x=0，因為x<0時，y

>0，x>0時，y

<0，所以x<0時曲線y=f(x)是凹的，當x>0時，曲線y=f(x)是凸的，且(0,0)為拐點.解該函數的定義域為(-,)，且為奇函數，求其一44將上述討論列為下表：xy(x)y(x)(,1)+0+++1(1,0)0+0(0,1)+10(1,+)y極小值f(-1)=-2拐點(0,0)極大值f(1)=2凹而減凹而增凸而增凸而減將上述討論列為下表：xy(x)y(x)(,1)45曲線y=3x–

x3無水平漸近線和垂直漸近線.綜合上述結論，即可描出所給函數的圖形.yxO1-1y=3x–x