中考數學考點分級狂刷——一元二次方程——12增長率問題第一級夯實基礎1.（3分）“流浪地球”一上映就獲得追捧，第一天票房約8億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達29.12億元，若把增長率記作x，則方程可以記為（）A.8（1+x）=29.12B.8（1+x）2=29.12C.8+8（1+x）+8（1+x）2=29.12D.8+8（1+x）2=29.122.（3分）由于疫情得到緩和，餐飲行業逐漸回暖，某地一家餐廳重新開張，開業第一天收入約為5000元，之后兩天的收入按相同的增長率增長，第3天收入約為6050元，若設每天的增長率為x，則x滿足的方程是（）A.5000（1+x）=6050B.5000（1+2x）=6050C.5000（1-x）2=6050D.5000（1+x）2=60503.（3分）近幾年，手機支付用戶規模增長迅速，據統計2019年手機支付用戶約為4.69億人，連續兩年增長后，據統計2021年手機支付用戶達到約5.83億人，如果設這兩年手機支付用戶的年均增長率為x，則根據題意可以列出方程為（）A.4.69（1+x）=5.83B.4.69（1+2x）=5.83C.4.69（1+x）2=5.83D.4.69（1-x）2=5.834.（3分）某果園2019年水果產量為100噸，2021年水果產量為144噸，求該果園水果產量的年平均增長率．設該果園水果產量的年平均增長率為x，則根據題意可列方程為（）A.100（1+x）2=144B.100（1-x）2=144C.144（1-x）2=100D.144（1+x）2=100

5.（3分）某鋼鐵廠一月份生產鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進操作技術，使得第一季度共生產鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？若設二、三月份平均每月的增長率為x，則可得方程（）A.560（1+x）2=1850B.560+560（1+x）2=1850C.560（1+x）+560（1+x）2=1850D.560+560（1+x）+560（1+x）2=18506.（3分）近年來我市大力發展旅游產業，已知旅游總收入從2019年的150億元上升到2021年的216億元，設這兩年旅游總收入的年平均增長率為x，則可列方程___．7.（3分）某廠今年一月份新產品研發資金為100萬元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年前三個月份新產品的研發資金總和為400萬元，可列方程___．8.（3分）某公司4月份的利潤為160萬元，要使6月份的利潤達到250萬元，則平均每月增長的百分率是___．9.（3分）某市2019年房價為每平方米20000元，經過兩年連續漲價后，2021年房價為每平方米28800元，則該市這兩年房價平均增長率為___．10.（8分）汽車產業的發展，有效促進我國現代化建設．某汽車銷售公司2019年盈利1500萬元，到2021年盈利2160萬元，且從2019年到2021年，每年盈利的年增長率相同．

（1）求平均年增長率？

（2）若該公司盈利的年增長率繼續保持不變，預計2020年盈利多少萬元？

11.（8分）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%．

（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額；

（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8、9月份營業額的月增長率．12.（8分）李師傅去年開了一家商店，今年2月份開始盈利，3月份盈利2000元，5月份的盈利達到2420元，且從3月份到5月份每月盈利的平均增長率都相同．

（1）求從3月份到5月份每月盈利的平均增長率；

（2）按照（1）中的平均增長率，預計6月份這家商店的盈利將達到多少元？

第二級強化提高13.（8分）淮北市某中學七年級一位同學不幸得了重病，牽動了全校師生的心，該校開展了“獻愛心”捐款活動．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；

（2）按照（1）中收到捐款的增長速度，第四天該校能收到多少捐款？14.（8分）雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；

（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？15.（8分）近日，長沙市教育局出臺《長沙市中小學教師志愿輔導工作實施意見》，鼓勵教師參與志愿輔導，某區率先示范，推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下免費輔導，據統計，第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次．

（1）如果第二批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；

（2）按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？

16.（8分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣”．某校為響應我市全民閱讀活動，利用節假日面向社會開放學校圖書館．據統計，第一個月進館128人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館608人次，若進館人次的月平均增長率相同．

（1）求進館人次的月平均增長率；

（2）因條件限制，學校圖書館每月接納能力不超過500人次，在進館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個月的進館人次，并說明理由．17.（8分）隨著粵港澳大灣區建設的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰略性新興產業，計劃到2020年底，全省5G基站數量將達到6萬座，到2022年底，全省5G基站數量將達到17.34萬座．

（1）按照計劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率；

（2）若2023年保持前兩年5G基站數量的年平均增長率不變，到2023年底，全省5G基站數量能否超過25萬座？

18.（8分）現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高度發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同．

（1）求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率；

（2）如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業務員？19.（8分）某工廠使用舊設備生產，每月生產收入是90萬元，每月另需支付設備維護費5萬元，從今年1月份起使用新設備，生產收入提高且無設備維護費，使用當月生產收入達100萬元，1至3月份生產收入以相同的百分率逐月增長，累計達364萬元，3月份后，每月生產收入穩定在3月份的水平．

（1）求使用新設備后，2月、3月生產收入的月增長率；

（2）購進新設備需一次性支付640萬元，使用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤？（累計利潤是指累計生產收入減去就設備維護費或新設備購進費）

20.（8分）2019年初，某市開始實施“舊物循環計劃”，為舊物品二次利用提供了公益平臺，到2019年底，全年回收舊物3萬件，隨著宣傳力度的加大，2021年全年回收舊物已經達6.75萬件，若每年回收舊物的增長率相同．

（1）求每年回收舊物的增長率；

（2）按著這樣的增長速度，請預測2022年全年回收舊物能超過10萬件嗎？21.（8分）為進一步發展基礎教育，2019年某縣投入教育經費6000萬元，2021年投入教育經費8640萬元，假設該縣這兩年投入教育經費的年平均增長率相同．

（1）求這兩年該縣投入教育經費的年平均增長率；

（2）若該縣教育經費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預算2022年該縣投入教育經費多少萬元．22.（8分）某養殖戶每年的養殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬元，可變成本逐年增長，已知該養殖戶第1年的可變成本為2.6萬元，設可變成本平均每年增長的百分率為x．

（1）用含x的代數式表示第3年的可變成本為___萬元；

（2）如果該養殖戶第3年的養殖成本為7.146萬元，求可變成本平均每年增長的百分率x．

23.（8分）為打造“文化九中，書香校園”，阜陽九中積極開展“圖書漂流”活動，旨在讓全體師生共建共享，校團委學生處在對上學期學生借閱登記簿進行統計時發現，在4月份有1000名學生借閱了名著類書籍，5月份人數比4月份增加10%，6月份全校借閱名著類書籍人數比5月份增加340人．

（1）求6月份全校借閱名著類書籍的學生人數；

（2）列方程求從4月份到6月份全校借閱名著類書籍的學生人數的平均增長率．

中考數學考點分級狂刷——一元二次方程——12增長率問題參考答案與試題解析第一級夯實基礎1.（3分）“流浪地球”一上映就獲得追捧，第一天票房約8億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達29.12億元，若把增長率記作x，則方程可以記為（）A.8（1+x）=29.12B.8（1+x）2=29.12C.8+8（1+x）+8（1+x）2=29.12D.8+8（1+x）2=29.12【解答】設平均每天票房的增長率為x，

根據題意得：8+8（1+x）+8（1+x）2=29.12．

故選：C．

2.（3分）由于疫情得到緩和，餐飲行業逐漸回暖，某地一家餐廳重新開張，開業第一天收入約為5000元，之后兩天的收入按相同的增長率增長，第3天收入約為6050元，若設每天的增長率為x，則x滿足的方程是（）A.5000（1+x）=6050B.5000（1+2x）=6050C.5000（1-x）2=6050D.5000（1+x）2=6050【解答】設每天的增長率為x，

依題意，得：5000（1+x）2=6050．

故選：D．

3.（3分）近幾年，手機支付用戶規模增長迅速，據統計2019年手機支付用戶約為4.69億人，連續兩年增長后，據統計2021年手機支付用戶達到約5.83億人，如果設這兩年手機支付用戶的年均增長率為x，則根據題意可以列出方程為（）A.4.69（1+x）=5.83B.4.69（1+2x）=5.83C.4.69（1+x）2=5.83D.4.69（1-x）2=5.83【解答】設這兩年手機支付用戶的年平均增長率為x，依題意，得

4.69（1+x）2=5.83．

故選：C．

【點評】：本題考查的是由實際問題抽象出一元二次方程-平均增長率問題．解決這類問題所用的等量關系一般是：增長前的量×（1+平均增長率）增長的次數=增長后的量．4.（3分）某果園2019年水果產量為100噸，2021年水果產量為144噸，求該果園水果產量的年平均增長率．設該果園水果產量的年平均增長率為x，則根據題意可列方程為（）A.100（1+x）2=144B.100（1-x）2=144C.144（1-x）2=100D.144（1+x）2=100【正確答案】：A【解答】2020年的產量為100（1+x），

2021年的產量為100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，

即所列的方程為100（1+x）2=144，

故選：A．

【點評】：考查列一元二次方程；得到2014年產量的等量關系是解決本題的關鍵．5.（3分）某鋼鐵廠一月份生產鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進操作技術，使得第一季度共生產鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？若設二、三月份平均每月的增長率為x，則可得方程（）A.560（1+x）2=1850B.560+560（1+x）2=1850C.560（1+x）+560（1+x）2=1850D.560+560（1+x）+560（1+x）2=1850【正確答案】：D【解析】：增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），根據二、三月份平均每月的增長為x，則二月份的產量是560（1+x）噸，三月份的產量是560（1+x）（1+x）=560（1+x）2，再根據第一季度共生產鋼鐵1850噸列方程即可．

【解答】依題意得二月份的產量是560（1+x），

三月份的產量是560（1+x）（1+x）=560（1+x）2，

∴560+560（1+x）+560（1+x）2=1850．

故選：D．

6.（3分）近年來我市大力發展旅游產業，已知旅游總收入從2019年的150億元上升到2021年的216億元，設這兩年旅游總收入的年平均增長率為x，則可列方程___．【正確答案】：150（1+x）2=216【解答】設這兩年旅游總收入的年平均增長率為x，

根據題意得：150（1+x）2=216．

故答案為：150（1+x）2=216．

7.（3分）某廠今年一月份新產品研發資金為100萬元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年前三個月份新產品的研發資金總和為400萬元，可列方程___．【正確答案】：100+100（1+x）+100（1+x）2=400【解析】：本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率）；可用此公式表示出二月份和三月份的研發資金總和，然后根據第一季度的研發資金總和為400萬元來列出方程．

【解答】二月份的研發資金總和為：100（1+x）萬元；

三月份的研發資金總和為：100（1+x）2萬元；

由題意，可列方程：100+100（1+x）+100（1+x）2=400．

故答案為：100+100（1+x）+100（1+x）2=400．

8.（3分）某公司4月份的利潤為160萬元，要使6月份的利潤達到250萬元，則平均每月增長的百分率是___．【正確答案】：25%【解析】：設平均每月增長的百分率是x，根據4月份的利潤為160萬元，要使6月份的利潤達到250萬元，可列方程求解．

【解答】設平均每月增長的百分率是x，

160（1+x）2=250

x=25%或x=-225%（舍去）．

平均每月增長的百分率是25%．

故答案為：25%．

【點評】：本題考查的是一個增長率問題，關鍵知道4月份的利潤為160萬元，6月份的利潤達到250萬元，從而求出每個月的增長率．

9.（3分）某市2019年房價為每平方米20000元，經過兩年連續漲價后，2021年房價為每平方米28800元，則該市這兩年房價平均增長率為___．【正確答案】：20%【解答】設該市這兩年房價平均增長率為x，

依題意，得：20000（1+x）2=28800，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）．

故答案為：20%．

10.（8分）汽車產業的發展，有效促進我國現代化建設．某汽車銷售公司2019年盈利1500萬元，到2021年盈利2160萬元，且從2019年到2021年，每年盈利的年增長率相同．

（1）求平均年增長率？

（2）若該公司盈利的年增長率繼續保持不變，預計2020年盈利多少萬元？【解答】設平均年增長率為x，

根據題意得：1500（1+x）2=2160，

整理得：（1+x）2=1.44，

開方得：1+x=±1.2，

解得：x=0.2=20%或x=-2.2（舍去），

則平均年增長率為20%；

（2）根據題意得：2160×（1+20%）=2592（萬元），

則2020年盈利2592萬元．

11.（8分）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%．

（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額；

（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8、9月份營業額的月增長率．【解答】（1）450+450×12%=504（萬元）．

答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額為504萬元．

（2）設該商店去年8、9月份營業額的月增長率為x，

依題意，得：350（1+x）2=504，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）．

答：該商店去年8、9月份營業額的月增長率為20%．

12.（8分）李師傅去年開了一家商店，今年2月份開始盈利，3月份盈利2000元，5月份的盈利達到2420元，且從3月份到5月份每月盈利的平均增長率都相同．

（1）求從3月份到5月份每月盈利的平均增長率；

（2）按照（1）中的平均增長率，預計6月份這家商店的盈利將達到多少元？【解答】（1）設該商店從3月份到5月份每月盈利的平均增長率為x，

根據題意得：2000（1+x）2=2420，

解得：x1=0.1=10%，x2=-2.2（舍去）．

答：該商店的每月盈利的平均增長率為10%．

（2）2420×（1+10%）=2662（元）．

答：6月份盈利為2662元．

【點評】：本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據數量關系，列式計算．

第二級強化提高13.（8分）淮北市某中學七年級一位同學不幸得了重病，牽動了全校師生的心，該校開展了“獻愛心”捐款活動．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；

（2）按照（1）中收到捐款的增長速度，第四天該校能收到多少捐款？【解答】（1）捐款增長率為x，根據題意得：

10000（1+x）2=12100，

解得：x1=0.1，x2=-2.1（舍去）．

則x=0.1=10%．

答：捐款的增長率為10%．

（2）根據題意得：12100×（1+10%）=13310（元），

答：第四天該校能收到的捐款是13310元．

14.（8分）雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；

（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？【解答】（1）設捐款增長率為x，根據題意列方程得，

10000×（1+x）2=12100，

解得x1=0.1，x2=-2.1（不合題意，舍去）；

答：捐款增長率為10%．

（2）12100×（1+10%）=13310元．

答：第四天該單位能收到13310元捐款．

【點評】：本題考查了一元二次方程的應用，列方程的依據是：第一天收到捐款錢數×（1+每次降價的百分率）2=第三天收到捐款錢數．

15.（8分）近日，長沙市教育局出臺《長沙市中小學教師志愿輔導工作實施意見》，鼓勵教師參與志愿輔導，某區率先示范，推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下免費輔導，據統計，第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次．

（1）如果第二批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；

（2）按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？【解答】（1）設增長率為x，根據題意，得

2（1+x）2=2.42，

解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．

答：增長率為10%．

（2）2.42（1+0.1）=2.662（萬人）．

答：第四批公益課受益學生將達到2.662萬人次．

【點評】：本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．16.（8分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣”．某校為響應我市全民閱讀活動，利用節假日面向社會開放學校圖書館．據統計，第一個月進館128人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館608人次，若進館人次的月平均增長率相同．

（1）求進館人次的月平均增長率；

（2）因條件限制，學校圖書館每月接納能力不超過500人次，在進館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個月的進館人次，并說明理由．【解答】（1）設進館人次的月平均增長率為x，則由題意得：

128+128（1+x）+128（1+x）2=608

化簡得：4x2+12x-7=0

∴（2x-1）（2x+7）=0，

∴x=0.5=50%或x=-3.5（舍）

答：進館人次的月平均增長率為50%．

（2）∵進館人次的月平均增長率為50%，

∴第四個月的進館人次為：128（1+50%）3=128×278=432＜500

答：校圖書館能接納第四個月的進館人次．17.（8分）隨著粵港澳大灣區建設的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰略性新興產業，計劃到2020年底，全省5G基站數量將達到6萬座，到2022年底，全省5G基站數量將達到17.34萬座．

（1）按照計劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率；

（2）若2023年保持前兩年5G基站數量的年平均增長率不變，到2023年底，全省5G基站數量能否超過25萬座？【解答】（1）設2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率為x，

依題意，得：6×（1+x）2=17.34，

解得：x1=0.7=70%，x2=-2.7（不合題意，舍去）．

答：2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率為70%．

（2）17.34×（1+70%）=29.478（萬座），

∵29.478＞25，

∴到2023年底，全省5G基站數量能超過25萬座．

18.（8分）現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高度發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同．

（1）求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率；

（2）如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業務員？【解答】（1）設該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為x，根據題意得10（1+x）2=12.1，

解得x1=0.1，x2=-2.1（不合題意舍去）．

答：該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為10%；

（2）今年6月份的快遞投遞任務是12.1×（1+10%）=13.31（萬件）．

∵平均每人每月最多可投遞0.6萬件，

∴21名快遞投遞業務員能完成的快遞投遞任務是：0.6×21=12.6＜13.31，

∴該公司現有的21名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務

∴需要增加業務員（13.31-12.6）÷0.6=11160≈2（人）．

答：不能完成今年6月份的快遞投遞任務，至少需要增加2名業務員．19.（8分）某工廠使用舊設備生產，每月生產收入是90萬元，每月另需支付設備維護費5萬元，從今年1月份起使用新設備，生產收入提高且無設備維護費，使用當月生產收入達100萬元，1至3月份生產收入以相同的百分率逐月增長，累計達364萬元，3月份后，每月生產收入穩定在3月份的水平．

（1）求使用新設備后，2月、3月生產收入的月增長率；

（2）購進新設備需一次性支付640萬元，使用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤？（累計利潤是指累計生產收入減去就設備維護費或新設備購進費）【解答】（1）設每月的增長率為x，由題意得：

100+100（1+x）+100（1+x）2=364，

解得x=0.2，或x=-3.2（不合題意舍去）

答：每月的增長率是20%．

（2）設使用新設備y個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤，依題意有

364+100（1+20%）2（y-3）-640≥（90-5）y，

解得y≥12．

故使用新設備12個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤．

20.（8分）2019年初，某市開始實施“舊物循環計劃”，為舊物品二次利用提供了公益平臺，到2019年底，全年回收舊物3萬件，隨著宣傳力度的加大，2021年全年回收舊物已經達6.75萬件，若每年回收舊物的增長率相同．

（1）求每年回收舊物的增長率；

（2）按著這樣的增長速度，請預測2022年全年回收舊物能超過10萬件嗎？【解答】（1）設年平均增長率為x，

根據題意得3（1+x）2=6.75．

解得x1=0.5，x2=-2.5（舍去），

答：平均增長率為50%．

（2）6.75×（1+50%）=10.125萬件＞10萬件．

∴2022年全年回收舊物能超過10萬件．

21.（8分）為進一步發展基礎教育，2019年某縣投入教育經費6000萬元