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文檔簡介
《隨機過程》電子教案理工大學理學院劉守生制作第五節更新過程簡介1.定義
設計數過程
N
(t
)表示一臺機器上的某個零件在(0,
t]內更新的次數,
更新的時間間隔為獨立同分布的隨
量系列X1,
X
2
,,
分布函數記為F
(x),則稱{N
(t),
t
0}為更新過程，Sk
?
X1
X
2
X
k為第k次更新時刻。特別地,當X
i為Poisson
過程。~
E(
)時,N
(t)例
設更新過程
N
(t)的更新間隔時間
X
k
均服從幾何P{分X布k
：i}
p(1
p)i
1,
i
1,(0
p
1)求P{N
(t)
n}.k解:
P{S
j}
Ck
1
pk
(1
p)
j
kj
1[t
]j
kj
kk
1
kj
1kp
(1
p)CP{S
t}
[t]
[t]j1
j1pn1(1
p)jn1
Cn1pn(1
p)jn
Cnjn
jn12.更新函數稱M
(t)
EN
(t)為更新函數，即在(0,t]內更新零件的平均次數。m(t
)?
M
(t
)稱為更新密度或更新強度函數。P{N(t)
n}
P{Sn
t,
Sn1
t}
P{Sn
t}
P{Sn1
t}定理1
設N
(t)為更新過程,則證明:k
1M
(t)
P{Sk
t}n
0M
(t)
EN
(t)
nP{N
(t)
n}
nn
0k
1
nn
0
k
1
1P{N
(t)
n}
P{N
(t)
n}
k
1
P{N
(t)
n}
P{N
(t)
k}k
1n
k
P{Sk
t}k
13.基本更新定理t
EXklim
M
(t)
1t
定理24.更新過程的絕對(瞬時)分布P{N(t)
n}
P{Sn
t,
Sn1
t}
P{Sn
t}
P{Sn
1
t}
P{X1
X
2
Xn
t}
P{X1
X
2
Xn
1
t}
F
*(n)
(t)
F
*(n
1)
(t)這里F
*(n)(t)為F
(t)的n重卷積.5.剩余時間(
)的分布定義:
在時刻t時開始觀察,到下一次更新事件發生,這段時間稱為“剩余時間”,也叫“剩余”,記為Rt。反之，從t時開始算起,到上一次更新事件的時間間隔稱為“”,記為At
.It
?
At
Rt
稱為“
”。定理3
隨
量
lim
Rt的密度函數為t
f
(x)
1
F
(x)證明:略。EXk作業：P245
57第四章
平穩過程與隨機分析第一節平穩過程的基本概念及其數字特征一嚴(強)平穩過程定義1.
若隨機過程{X
(t),
t
T}對任意的n和ti
,ti
T
(i
1,2,,
n),它的n維分布函數滿足FX
(
x1
,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)
FX
(
x1,
x2
,,
xn
;
t1
,
t2
,,
tn
)或密度函數滿足f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn
)
f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)則稱{X(t),t
T
}為嚴(強)平穩過程.若對n
k時成立,則稱其為k級嚴(強)平穩過程.二寬(弱)平穩過程定義2.
設{X
(t),t
T}是二階矩過程，若它滿足下列條件：均值函數mX
(t)
mX
(常數)相關函數RX
(t
,t)
RX
(
)與t無關則稱{X
(t),t
T
}為寬(弱)平穩過程.當T是離散集時,則稱其為寬平穩時間序列.三兩種平穩過程的關系定理1.
1
嚴平穩過程若是二階矩
過程,
則必為寬平穩過程.2寬平穩過程一般不是嚴平穩過程,但對正態過程二者等價.X
X（1）方差函數
2
(t)
2
(也為常數)說明m
X
(t
)
m
X
為常數C
X
(t
,t
)
C
X
(
)與t無關12
2(2)
協方差函數CX
(t
,t)
RX
()
mX與t也無關(3)
寬平穩過程的等價條件是:特別在沒有特別說明的情況下，后面的平穩過程均指寬平穩過程。四平穩過程自相關函數的性質RX
(0)
0RX
(
)
RX
(
)RX
()
RX
(0)XR
(
)是非負定的.24定理2
設X
(t)為平穩過程,則RX
()具有以下性質:135a.e若X
(t)還是以T為周期的周期過程,即X
(t)
X
(t
T
),則RX
(
)
RX
(
T
).五聯合平穩過程若X
(t)不是周期過程,且當
時，X
(t)62
.X
X
與X
(t
)相互獨立，則
lim
R
(
)
m定義3. 設隨機過程{X
(t),
t
T}和{Y
(t),
t
T}是兩個嚴平穩過程,
若X
(t)和Y
(t)的任意有限維的聯合分布不隨時間的推移而改變,
則稱X
(t)和Y
(t)是嚴聯合平穩過程,也稱為聯合相依過程.定義
4. 設隨機過程
{
X
(t
),
t
T
}和{Y
(t
),
t
T
}是兩個寬平穩過程,若它們的互相關函數RXY
(t
,t)
RXY
(
)及RYX
(t
,t)
RYX
(
)都與t無關,則稱X
(t)和Y
(t)是寬聯合平穩過程.XYR
()
2
R(0)R
(0)X
YYXXYR
(
)
R
(
),對實過程有12定理3.
若X
(t
)和Y
(t
)是聯合平穩過程
,
則W
(t)
X
(t)
Y
(t)為平穩過程,且RW
(
)
RX
(
)
RXY
(
)
RYX
(
)
RY
(
)特別地,若X
(t)和Y
(t)正交時,有RW
(
)
RX
(
)
RY
(
)六互相關函數的性質定理4
若X
(t)和Y
(t)是聯合平穩過程,則它們的互相關函數具有以下性質:RXY
(
)
RYX
(
).例1
離散白噪聲
:
對于互不相關的隨機序
列n證明
:
EX
0{Xn
,
n
Z},
若EXn
0,
DXn
2
,則稱Xn為離散白噪聲(或白噪聲序列).m
00
m
0RX
(n
m,
n)
2試證X
n也為平穩過程。
Xn
為平穩過程。注：一般白噪聲的定義是均值為零，功率譜為非零常數的平穩過程。例2
滑動平均過程
(序列)k
0M
Mk
0證明:
EY
(n)
E
ak
X
(n
k
)
ak
0
0M設{X
(n),n
Z}為白噪聲序列,定義Y
(n)
ak
X
(n
k
),
n
Zk
0試證Y
(n)也為一平穩時間序列。當
0時i
0M
Mk
0RY
(n
,
n)
E[Y(n
)Y
(n)]
E[
ak
X
(n
k
)
ai
X
(n
i)]M
MM
Mi
iM
M
i
ia
a
aa
i
0i
022
ak
ai
E[
X
(n
k
)
X
(n
i)]k
0
i
0
ak
ai
RX
(n
k,
n
i)k
0
i
0當n
k
n
i時,RX
(n
k,n
i)
0取n
k
n
i,此時k
i
0,0
i,k
M
0
i
M
(當
M時)當0
M時M
RY
(n
,
n)
ai
ai
RX
(n
i,
n
i)i
0當
MY時,
R
(n
,
n)
0.綜上,有
M0i0
a
ai（）
i
M
02當
0時,RY
(n
,n)
RY
[n
,(n
)
]
RY
[n
,
(n
)
]
RY
[n,
n
(
)]
RY
[n
(
),
n]M(）a
ai
i0M
0
Mi02M
MM
0YR
(n
,
n)
i
0
aiai
20
M可見RY
(n
,n)與n無關.所以Y
(n)為一平穩時間序列。<<時間序列分析>>簡介p
qi
1
k
0設{X
(n),n
Z}為白噪聲序列,模型Y
(n)
iY
(n
i)
ak
X
(n
k
),稱為p階自回歸
q階滑動平均混合模型(Mixed Autoregressive
Moving
AverageModel),簡記為ARMA(p,q)模型。稱{X
(n)}為ARMA(p,q)序列,當p
0時，即為本題序列，稱Y
(n)為MA(q)(本題q
M
)序列,它表示此時的Y
(n)是由前q個時刻的隨機擾動
時間序列分析
的主要研究對象就是ARMA(p,q)模型,研究內容是:確定模型的階數參數估計；3）預報及分析。p和q;項的
平均所得到，故稱為滑動平均模型。當不含噪聲項時為p階自回歸模型,記為AR(p)模型,Y
(n)稱為AR(p)序列。例3
設X(t)
Asin(t
),
Y(t)
Bsin(t
)為兩個實隨機過程,其中A,B,,均為常數,
~
U
(0,2
).求1)
RXY
(
);
2)
RYX
(
).解：RXY
(t
,t)
E[Asin((t
))Bsin(t
)]120
Asin(t
)B
sin(t
)
2
d0
AB
24
{cos[2(t
)
]
cos(
)}d24
AB
cos(
)
2
AB
cos(
)作業：P31225
31
362(
)
AB
cos(
).
R
(
)
RXYYX隨機分析第二節—收斂的概念1幾乎處處收斂定義設隨機序列{X
n
}滿足P{e
|
lim
Xn
(e)
X
(e)}
1n
則稱{X
n
}幾乎處處收斂于X
,或以概率1收斂于X
,a.e
X
.n記作XnnX
.Pn則稱{X
}以概率收斂于X
,記作X2以概率收斂定義設隨機序列{X
n
}滿足
0,有
lim
P{e
|
Xn
(e)
X
(e)
}
0n則稱{X
}均方收斂于X3均方收斂定義設隨機序列{X
n
}滿足
X
2
0lim
E
Xnn
n則稱{Xn}以分布收斂于X
,d記作
X
n
X
.E
2n記作
X
或,X
,l.i.mXn
X
(limit
in
mean).4以分布收斂定義如{X
n
}對應的分布函數{Fn
(x)},在X的分布函數F
(x)的每個連續點x處,都有lim
Fn
(x)
F
(x)5四種收斂的關系a.ep
d1)Xn
X
Xn
X
Xn
XEp
dX
Xn
X
Xn
XE
a.eXn
2Xn
2
X與Xn
X隨機序列{Xn
}均方收斂的充要條件是lim
E
X
X
2
0n,
m
m
na.eE2pd隨機序列集一般不能互推.二均方極限定理1
均方收斂的(Cauchy)準則定理2
設X
n
,Yn都是隨機序列,U為隨
量,
cn為數列,且有l.i.mX
n
X
,
l.i.mYn
Y
,
lim
cn
ca,b為常數,則1)
lim
cn
c2)l.i.mU
U3)U
cUl.i.m(aX
n
bYn
)
aX
bYlim
EXn
E[l.i.mX
n
]
EXlim6)
E[
Xn
Ym
]
E[l.i.mX
n
l.i.mYm
]
E[
XY
]n,m特別地lim
E[X2
]
E[
l.i.mX
2
]
E[
X
2
]nn定理3
Loeve收斂準則limn,
mXn
均方收斂
E[
Xn
Xm
]
c
證明:“”由定理2(6)知結論正確.limn,
m
“”
E[
X
n
X
m
]
c
nlim2
]
cn,
m
當m
n時,則有
E[
X2
E
Xm
Xn
E[(
Xm
Xn
)(
Xm
Xn)]
E
X
2
E
X
2
E(
X
X
)
E(
X
X
)m
n
m
n
m
n
c
c
c
c
0
(n,
m
)由Cauchy收斂準則知X
n均方收斂.定理4
若k維正態隨機向量序列Xn均方收斂于
k維隨機向量X
,則X也是正態隨機向量.對于連續參數的二階矩隨機過程{X
(t),t
T},可以類似定義它的均方極限,并有類似的均方極限性質.(略)二均方連續定義若{X
(t),t
T}對某個t
T
,有lim
E
X
(t
h)
X
(t)
2
0h
0則稱X
(t)在t點均方連續,記作l.i.m
X
(t
h)
X
(t).h
0若對T中的所有點都連續,則稱X
(t)在T上均方連續.
E
X
(t
h)
X
(t)
2
E{[
X
(t
h)
X
(t)][
X
(t
h)
X
(t)]}
RX
(t
h,t
h)
RX
(t,t
h)
RX
(t
h,t)
RX
(t,t)可見,X
(t)在t處的連續性與相關函數RX
(t1,t2
)在t1
t2
t處的連續性密切相關,故有定理5
均方連續準則X
(t)在t點均方連續的充要條件是相關函數RX
(t1,t2
)在(t,t)處連續.推論
若相關函數RX
(t1,
t2
)在{(t,
t),
t
T
}上連續,則它在T
T上連續.可見X
(t)在T上連續
相關函數RX
(s,t)在T
T上連續
相關函數RX
(s,t)在T
T的對角線{(t,t),t
T}上連續.三均方導數定義對于隨機過程X
(t),若存在另一個過程X
(t),2
X
(t)
0hX
(t
h)
X
(t)lim
Eh
0滿足dt
h則稱X
(t
)在t點均方可微
,X
(t
)被稱為
X
(t
)在t點的均方導數,記作X
(t)
dX
(t)
l.i.m
X
(t
h)
X
(t)h
0h1h2h2
0h10若X
(t)對T中的每一點都均方可微,則稱X
(t)在T上均方可微.類似可定義高階導數.定理6
均方可微準則X
(t)在t點均方可微的充要條件是相關函數RX
(t1,t2)在(t,t)處廣義二次可微.注:1
R
(t
,
t
)在(t
,
t
)處廣義二次可微是指以下X
1
2
1
2極限存在:RX
(t1
h1,t2
h2)RX
(t1
h1,t2)RX(t1,t2
h2)RX
(t1,t2)limRX
(t1,t2
)在(t1,t2
)處的偏導數存在.2
RX
(t1,t2
)在(t1,t2
)處廣義二次可微,不能保證00
其它1
t
t
,s任意如
f
(s,
t)
在(s,t0
)處廣義二次可微,但在(s,t0
)處的偏導數f
卻不存在,事實上h1h2tlim
f
(s
h1,t0
h2)
f
(s
h1,t0)
f
(s,t0
h2)
f
(s,t0)h10
0010
1h1h2h2
0
limh10h2
0f
(s,
t)
min{s,
t}f
(s,
t)
s
t12以下函數在(t,t)處廣義二次可微呢？以f
(s,
t
)
s
t
為例h1
h2
0f
(t
h1,t
h2)
f
(t
h1,t)
f
(t,t
h2)
f
(t,t)h1
h2h1h2
h1
h2
h1
h2
h1
h2
2h1h2
h1h2
h1可見當h1
0,
h2
0時極限不存在
,
所以f
(s,t)
s
t
在(t,t)處不是廣義二次可微的.推論若相關函數RX
(t1,t2
)在{(t,t),t
T
}上廣義二次可微,則它在T
T上廣義二次可微.定理7
若相關函數RX
(t1,
t2
)在{(t,
t),t
T}上廣義二次可微,則有:1)2)dmX
(t)
dE[
X
(t)]
E[
X
(t)]dt
dtRX
(t1,
t2
)
E[
X
(t1)
X
(t2
)]t1
t1
E[X(t1)X
(t2
)]
RXX
(t1,t2
)3)1
22RX
(t1,t2
)1
2XX
(t
,t
)
E[X
(t
)X
(t
)]
Rt4)1
2
1
21
2X
1
2X
E[X
(t
)X
(t
)]
R
(t
,t
)t
tR
(t
,t
)更一般地,有:X
(n)n22n
R
(t
,t
)1
23)
R
(t
,t
)
X
1
2
X
Y(t,t
)(n)m21)
R
(
m)
(t1,t2
)
XY
1
2
nm
RX
X(n)m22)
R
(
m)
(t1,t2
)
X
1
2
nmR
(t
,t
)上述3式成立的條件是等式右邊存在。此外,均方導數還有許多類似于普通函數的性質,如均方導數唯一性;均方可微必均方連續;任ni
1一隨
量的均方導數為零等等.定理8
設X
(t)是正態過程,
若X
(t)存在,則X
(t)也是正態過程.三均方積分定義
對于隨機過程{X
(t
),
t
T
[a.b]}和確定性函數f
(t)(t
[a.b]),若積分和a積分,并記作s
f
(t)
X
(t)dt.sn
f
(ti)X
(ti)(ti
ti
1
)均方收斂于s,則稱s為f
(t)X
(t)在[a,b]上的均方b定理9
f
(t)
X
(t)在[a,
b]上的均方可積
b
ba
a1
2
X
1
2
1
2f
(t
)f
(t
)R
(t
,t
)dt
dt
存在特別f
(t
)
1時,X
(t
)均方可積
b
ba
aX
1
2
1
2R
(t
,t
)dt
dt
存在。定理10a若f
(t)X
(t)在[a,b]上的均方可積,則有bbaf
(t)E[
X
(t)]dtf
(t)
X
(t)dt]
1)E[b
a
baE[
X
(t)]dtX
(t)dt]
特別地,E[
b
ba
aba22RX
(t1,
t2
)dt1dtX
(t)dt特別地,E2
22f
(t
)
X
(t
)dt
]f
(t
)
X
(t
)dt2)E[b1
1
1
aba
b
ba
a1
2
X
1
2
1
2f
(t
)
f
(t
)R
(t
,
t
)dt
dt定理11X
(t)在[a,b]上的均方連續,則taY
(t)
X
(s)ds存在且可導,并有Y
(t)
X
(t),因而有baX
(t)dt
X
(b)
X
(a)推論
X
(t)在[a,
b]上的均方連續,則X
(t)在也是一正態過程.[a,b]上均方可積.定理12
若{X
(t),
t
T
[a.b]}是一均方連續的正態過程,則X
(t)的變限積分過程taY
(t)
X
(s)ds
t
[a.b]例試討論1）
X
(t)
At
B,
A,
B是二階矩隨
量.2）
X
(t)是Poisson過程.的均方連續性,均方可微性,均方可積性.解:
1)
RX
(s,
t)
E[(
As
B)(
At
B)]
stEA2
(s
t)E(
AB)
EB2關于s,t連續、二階可導、可積，
X
(t)均方連續,均方可微且在任意閉集[a,b]上均方可積.2)
R
(s,
t)
2st
min{s,t}X
X
(t)均方連續且在任意閉集[a,b]上均方可積但不均方可微.第三節
平穩過程的隨機分析平穩過程的均方連續性定理1
設{X
(t),
t
T}是一個平穩過程,則下列諸條件等價:X
(t
)在T上均方連續;X
(t
)在t
0
T處均方連續;RX
(
)在
0點連續;RX(
)在T上連續.二平穩過程的均方可導性定理2
設{X
(t),
t
T}是一個平穩過程,則下列諸條件等價:X
(t
)在T上均方可導;X
(t)在t
0
T處均方可導;RX
(
)在
0點有二階導數;RX
(
)在T上有連續的二階導數.定理3設RX
(
)是平穩過程
X
(t
)的相關函數，則X
(t
)為p次均方可微的充要條件是RX
(
)在
0處2
p次可微，且此時
RX
(
)處處2
p次連續可微，并有下式成立(
r
)(
q
)0
q,r
pXr
(
qr
)E{X
(t
)
X
)(t)}
(1)
R
(定理4
設X
(t
)是均方可微的平穩過程
,
則X
(t
)也是平穩過程.證明:EX
(t)
mX
0由定理2知,
R
X
(t
,
t)
(1)
RX
(
)與t無關,
X
(t)也是平穩過程.推論設X
(t)是均方可微的正態平穩過程,則X
(t)也是正態平穩過程.特別地,Xn
(
2
n
)X
(
n
)1)
R
(R
()
(
)0
n
p而R(
)為偶函數，所以R(
)是奇函數。RX
(0)
0于是有E[X
(t)X
(t)]
0XX
X定理5
設X
(t)是均方可微的實平穩過程，則X
(t)與其均方導數X
(t)在同一時刻是正交的，即E[
X
(t)
X
(t)]
0證明:
E{X
(t)
X
(t)}
R
(0)
R
(0）
Xb
b1)E{Y
}
2f
(s)
f
(t
)R
(s
t)dsdtaf
(t)X
(t)dt,則有記f(t)X
(t)的積分為Y
a
abaXf
(t
)dt2)EY
mY
XtaX
(s)ds,則m
(t)
m
(t
a)可見,若令Y
(t)即Y
(t)已不再是平穩過程.三平穩過程的均方積分定理6
設{X
(t),
t
T}是均方連續的平穩過程,[a,
b]
T
,
f
(t)是[a,
b]上的確定性連續函數,bX
R
()
(
Acos
)
AcosX
R(2n)
()
(
Acos
)(2n)
(1)n
AcosX
(
n
)例1
設平穩過程X
(t)的相關函數RX
(
)
A
cos
,
R
(
)
(1)(n)
R(2n)
(
)
Acos
R
(
)XX例2設實平穩過程X
(t)的相關函數
RX
(
)
Ae
(1
)其中A,為常數,且
0,求RX
(
)。試證X
(t)無限次均方可微,且R
(
n
)
(
)
RX
(
).X證明:
RX
()
Acos有任意階導數,
X
(t)無限次均方可微.(1
0
0
0
0)
2
0A
elimA
A2eX(
))(1
)
1R
(RX
()
A2(
1)e
RX
()
RX
()
A2(1
)e
作業：
P310 6,
10(2),
(4)平穩過程的各態歷經性定義1
對于隨機過程{X
(t),
t
},
記第四節—定義1問題的提出若樣本軌道都具有能夠“遍歷”(經歷一遍)狀態空間所有狀態的特性,則意味著這個過程具有各態歷經性(即遍歷性),
也叫
德性(Ergodicity).2定義TT
T
X
(t)dt2T
X
(t)
?
l.i.m
1
TTT
2T
X
(t
)
X
(t)dtX
(t
)
X
(t)
?
l.i.m
1則稱隨 量
X
(t)
和
X
(t
)
X
(t)
分別為過程X
(t)的時間均值和時間相關函數.定義2
設{X
(t),
t
}為平穩過程,
若a.eX
(t)
mXa.e若則稱該平穩過程X
(t)的均值具有各態歷經性.則稱該平穩過程X
(t)的相關函數具有各態歷經性.若X
(t)的均值和相關函數都具有各態歷經性,則稱X
(t)具有各態歷經性.分布XX
(t
)
X
(t)
R
(
)分布0122d
0a
cos(t
)X解：1)
m
(t
)
dX12a
cos(202s
)
cos(t
)R
(s,t)
4202
a{cos[（s
t）2]
cos[（s
t）]}d2
a
cos[(s
t)]，
只與
s
t有關。2
X
(t)是平穩過程。例1
已知X
(t)
a
cos(t
),
a
0,
const
~
U
(0,2
),問X
(t)是否具有遍歷性.TT
2T1
TX
(t
)
X
(t)dt又
X
(t
)
X
(t)
l.i.mT
2T
l.i.m
1
T a
cos(t
)a
cos(t
)dtTTT22T
l.i.m
a21
[cos(2t
2)
cos
]dtT
2
2
a
cos
X
(t
)X
(t)
RX
(
)處處成立。
X
(t)為遍歷過程。TTX
(t
)
l.i.m2
T
1
a
cos(
t
)
dt[sin(T
)
sin(T
)]
0
a
T
l.i.m2TT
X
(t)
mX
處處成立。2)a.eTT
2T又
X
(t)
l.i.m
1
T X
(t)dt例2
已知X
(t)
Y
,Y為方差不為零的隨
量,問X
(t)是否為平穩過程?
又是否具有遍歷性?
解：
m
X
(t
)
EY
?
22RX
(s,
t)
E[YY
]
EY
DY
與t無關，
X
(t)是平穩過程。T
l.i.m
1
T Ydt
YT
2T
DY
0,Y沒有為常數，即Y
故X
(t)不具遍歷性。二遍歷性的充要條件定理1
設{X
(t),
t
}是均方連續的平穩過程,則它的均值具有遍歷性的充要條件是lim12T
2TX
XT
2T2T(1
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