第二章

一元函數微分學一、導數定義第一種方式：第二種方式：導數的幾何意義：切線的斜率；內容提要二、求導法那么根本初等函數的導數；導數的四那么運算；反函數、復合函數求導；隱函數求導；高階導數,幾個簡單函數的n階導數：三、中值定理費馬引理,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.四、導數的運用洛必達法那么——求極限的重要方法.利用函數的一階導數研討函數的單調性及其極值.利用函數的二階導數研討函數的凹凸性及其拐點.最大值、最小值問題.漸近線問題：典型例題解例1題型1：導數的定義解例2延續：可導：解例3例4(Ⅰ98二3)〔A〕3〔B〕2〔C〕1〔D〕0分析解類題(Ⅰ92二3)例5解(Ⅰ99二3)〔A〕極限不存在 〔B〕極限存在但不延續〔C〕延續但不可導 〔D〕可導選(D).解例6所以解例7(1)(2)及時分別非零因子例8解所以，(A)(B)(C)都正確，應選(D).例9解(A)，(B)兩項中分母的極限為0，存在.【答案】應選(D)。反例：存在，題型2：利用導數求曲線的切線和法線方程解例1所以所求切線方程為解例2題型3：普通導函數的計算解例1先化簡，所以例2解用對數求導法,解例3(1)式兩邊再關于x求導：解例4例5解先用待定系數法分解，另:例6解法1由Leibniz公式：得解法2由麥克勞林公式,得例6題型4：可導、延續與極限的關系解例1〔A〕極限不存在 〔B〕極限存在但不延續〔C〕延續但不可導 〔D〕可導解例1〔A〕極限不存在 〔B〕極限存在但不延續〔C〕延續但不可導 〔D〕可導【答案】應選(C).題型4：可導、延續與極限的關系類題題型5：微分的概念與計算解例1兩邊對x求導，例2解題型6：利用導數確定單調區間與極值解例1選〔A〕.例2解根據導函數的圖形可知，一階導數為零的點有3個，而x=0那么是導數不存在的點.三個一階導數為零的點左右兩側導數符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側一階導數為正，右側一階導數為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應選(C).例3解(Ⅰ03二4)xyo(A)

一個極小值點和兩個極大值點.(B)

兩個極小值點和一個極大值點.(C)

兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.例4解選(C).例5解(Ⅱ96六8)兩邊關于x求導,得對(1)式再求導，得例6解于是所求線段的最短長度為題型7：求函數曲線的凹凸區間與拐點解例1解例2故應選(C).題型8：求函數曲線的漸近線解例1〔A〕1條 〔B〕2條 〔C〕3條 〔D〕4條選(B).〔A〕沒有漸近線〔B〕僅有程度漸近線〔C〕僅有鉛直漸近線 〔D〕既有程度漸近線又有鉛直漸近線選(D).解例2(Ⅰ91二3)例3解〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條故應選(D).例3解〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條【評注】例3〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條解例4〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條故應選(D).題型9：確定函數方程f(x)=0的根解例1〔A〕2 〔B〕4 〔C〕6 〔D〕8選(B).【評注】xyo證例2證例3的零點的個數。xyo只需一個交點；有兩個交點；題型10：確定方程的根例1證(1)分析：用微分方程法,原等式改寫為證(2)例1證且由題設及(1)知,例1(Ⅳ95七5)類題例2證[Ⅰ05(18)12](Ⅰ)略.所以例3解【證明】無妨設存在例4題型11：利用導數證明不等式證例1于是證法1【分析】根據所證不等式的方式,可思索用拉格朗日中值定理或轉化為函數不等式用單調性證明.例2[Ⅰ04(15)12]證法2例2〔C〕僅有鉛直漸近線(2)需求對價錢的彈性；高階導數,幾個簡單函數的n階導數：費馬引理,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.(D)至少有三個不可導點.對(1)式再求導，得(1)式兩邊再關于x求導：反函數、復合函數求導；題型12：導數在經濟上的運用(C)

兩個極小值點和兩個極大值點.題型6：利用導數確定單調區間與極值(2)需求對價錢的彈性；〔A〕3〔B〕2〔C〕1〔D〕0(2)需求對價錢的彈性；(D)至少有三個不可導點.利用函數的一階導數研討函數的單調性及其極值.反函數、復合函數求導；反函數、復合函數求導；〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條費馬引理,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.〔A〕極限不存在 〔B〕極限存在但不延續〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條(2)需求對價錢的彈性；〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條(2)需求對價錢的彈性；【答案】應選(C).題型12：導數在經濟上的運用三個一階導數為零的點左右兩側導數符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；題型4：可導、延續與極限的關系再用單調性進展證明即可.例2題型12：導數在經濟上的運用解例1需求彈性為例2解(1)利潤最大時的產量及最大利潤；(2)需求對價錢的彈性；(3)需求對價錢彈性的絕對值為1時的產量.〔1〕利潤函數為例2解(1)利潤最大時的產量及最大利潤；(2)需求對價錢的彈性；(3)需求對價錢彈性的絕對值為1時的產量.〔2〕〔3〕例3解根據延續復利公式，這批酒在窖藏t年末總收入R的現值為END解例3(Ⅰ05二4)(