中考數學二輪專題復習：規律探索題1.如圖，在，，．在內作正方形，使點，分別在兩直角邊，上，點，在斜邊上，用同樣的方法，在內作正方形；在內作正方形……，若，則正方形邊長為______．2.如圖，如圖1將矩形ABCD剪2刀得3個角，其和為360°；如圖2，剪3刀得4個角，其和為540°；如圖3，剪4刀得5個角，其和為720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）個角，其和為________．3.甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽賽前訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行．半天訓練結束時，發現甲共當裁判9局，乙、丙分別進行了14局、12局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共進行了_______局比賽，其中最后一局比賽的裁判是_______．4.如圖1是個軸對稱圖形，且每個角都是直角，長度如圖所示，小王按照如圖2所示的方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互不留空隙，那么小王用2020個這樣的圖形（圖1）拼出來的圖形的總長度是_____．（結果用m，n表示）5.如圖所示，在我國宋朝數學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角，請你根據楊輝三角的規律補全表中第四行空缺的數字是________．6.如圖，某學校準各新建一個讀書長廊，井用若干塊帶有花紋和沒有花紋的兩種規格、大小相同的正方形地磚搭配在一起，按圖中所示的規律拼成圖案鋪滿長廊，已知每個小正方形地磚的邊長均為0.5米．（1）按圖示規律，第3圖案的長度l3=；第3個圖案中沒有花紋的正方形地磚數為．（2）若某個圖案中帶有花紋的地磚為n塊，則沒有花紋的地磚為塊．（用含n的代數式表示）（3）若學校讀書長廊的長度為Ln=100.5米，求沒有花紋的正方形地磚有多少塊？7.觀察下列等式：第1個等式：5-1=8×3；第2個等式：9-5=8×7；第3個等式：132-92=8×11；第4個等式：172-132=8×15；……；按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第n個等式___________（用含n的等式表示），并證明．（3）依據上述規律，計算：8×3+8×7+8×11+…+8×399．8.如圖，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看出，終點表示數﹣2，已知點A是數軸上的點，請參照圖示，完成下列問題：（1）如果點A表示數﹣3，將點A向右移動7個單位長度，那么終點表示的數是______；（2）如果點A表示數3，將點A向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是______；（3）如果點A表示數a，將點A向左移動m（m＞0）個單位長度，再向右移動n（n＞0）個單位長度，那么終點表示數是多少（用含a、m、n的式子表示）？9.如圖，直線l對應的函數表達式為，在直線l上，順次取點，，，，……，，構成的形如“7”的圖形的陰影部分面積分別為；；；……猜想并填空：

（1）______；（2）______（用含n的式子表示）；（3）______（用含n的式子表示，要化簡）．10.觀察下列圖形，它是把一個三角形分別連接其三邊中點，構成4個小三角形，挖去中間的一個小三角形（如圖1）；對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法，將這種做法繼續下去（如圖2，圖3…）.觀察規律解答以下各題：……（1）填寫下表:圖形序號挖去三角形的個數圖11圖21+3圖31+3+9圖4（2）根據這個規律，求圖n中挖去三角形的個數fn(用含n的代數式表示)；（3）若圖n+1中挖去三角形的個數為fn+1，求fn+1-fn11.某校數學小組開展了趣味剪紙活動。【觀察】如圖，圖①是一塊邊長為，周長記為的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第塊紙板的周長為（1）【了解】_______________________；_______________________．（2）【實踐】如果一個正三角形紙板面積為6，通過兩次這種方法裁剪，得到最小的正三角形的面積為？12.觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；…按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：___________；（2）寫出你猜想的第n（n取正整數）個等式：________（用含n的等式表示），并驗證等式的正確性．13.用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片，按如圖方式拼成長方形：第①個圖形中有2張正方形紙片；第②個圖形中有張正方形紙片；第③個圖形中有張正方形紙片；第④個圖形中有張正方形紙片；

請你觀察上述圖形與算式，完成下列問題：（1）第⑤個圖形中有_____張正方形紙片（直接寫出結果）；根據上面的發現我們可以猜想：______（用含n的代數式表示）；（2）根據你的發現計算：．14.觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……，按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式：______（用含n的等式表示，并證明）．15.觀察由※組成的圖案和算式，解答問題：①1＋3＝4＝2；②1＋3＋5＝9＝3；③1＋3＋5＋7＝16＝4；④1＋3＋5＋7＋9＝25＝5；……（1）請猜想1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝____________；（2）寫出第n個算式；（3）請用上述規律計算：49＋51＋53＋…＋107＋109的值．16.如圖，將邊長分別為1、2、3、5、…的若干正方形按一定的規律拼成不同的矩形，依次記作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④……矩形n，那么按此規律．…（1）組成矩形n的正方形的個數為_________個；（2）矩形⑥的周長為_________．17.將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓；第3個圖形有16個小圓，……按此規律依次遞增（1）第4個圖形有個小圓，第5個圖形有個小圓；（2）第n個圖形有個小圓（用含n的代數式表示）；（3）用310個小圓擺成第n個圖形，問：n是多少？18.從2開始，連續偶數相加，它們的和（記為S）的情況如表：偶數的個數nS12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6（1）若n=7時．則S的值為（2）根據表中的規律猜想：用n的式子表示S的公式為：S=2+4+6+8+???+2n=（3）根據（2）中的規律計算：（要有過程）．19.【觀察思考】畫一個大的正五邊形，接著畫出內嵌的5個黑色小的正五邊形，（圖1中有1個白色正五邊形，有5個黑色正五邊形，總共6個正五邊形）；接下來每個黑色小五邊形內再內嵌的5個更小的正五邊形，（圖2中有5個白色正五邊形，有25個黑色正五邊形，總共30個正五邊形）繼續下去，不斷重復此過程……，據此解答下面的問題．

（1）【規律總結】圖3中黑色五邊形個數；白色五邊形的個數；

（2）根據這個規律，求圖n中黑色五邊形個數；白色五邊形的個數（用含n的代數式表示）（3）【問題解決】當黑色和白色五邊形共3750個時，求圖n?20.如圖，正方形ABCD內部有若干個點，則用這些點以及正方形ABCD的頂點A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重疊）：（1）填寫下表：正方形ABCD內點的個數1234．．．n分割成三角形的個數46__________．．．_____（2）原正方形能否被分割成2021個三角形？若能，求此時正方形ABCD內部有多少個點？若不能，請說明理由．

2022年中考數學二輪專題復習：規律探索題參考答案1.如圖，在，，．在內作正方形，使點，分別在兩直角邊，上，點，在斜邊上，用同樣的方法，在內作正方形；在內作正方形……，若，則正方形邊長為______．【答案】解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，∴∠B=∠C=45°，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，同理可以求出正方形的邊長為，正方形的邊長為，∴正方形的邊長為，∴正方形的邊長為，故答案為：．2.如圖，如圖1將矩形ABCD剪2刀得3個角，其和為360°；如圖2，剪3刀得4個角，其和為540°；如圖3，剪4刀得5個角，其和為720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）個角，其和為________．【答案】四邊形是矩形，，設剪刀得個角的和為，則所得多邊形的角的個數為個，由多邊形的內角和公式得：，解得，故答案為：．3.甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽賽前訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行．半天訓練結束時，發現甲共當裁判9局，乙、丙分別進行了14局、12局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共進行了_______局比賽，其中最后一局比賽的裁判是_______．【答案】解：∵甲當了9局裁判，∴乙、丙之間打了9局，又∵乙、丙分別共打了14局、12局，∴乙與甲打了局，丙與甲打了局，∴甲、乙、丙三人共打了局，又∵甲當了9局裁判，而從1到17共9個奇數，8個偶數，∴甲當裁判的局為奇數局，∴最后一局比賽的裁判是：甲，故答案為：17，甲．4.如圖1是個軸對稱圖形，且每個角都是直角，長度如圖所示，小王按照如圖2所示的方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互不留空隙，那么小王用2020個這樣的圖形（圖1）拼出來的圖形的總長度是_____．（結果用m，n表示）【答案】由題意，用1個這樣的圖形拼出來的圖形的總長度為，用2個這樣的圖形拼出來的圖形的總長度為，用3個這樣的圖形拼出來的圖形的總長度為，用4個這樣的圖形拼出來的圖形的總長度為，歸納類推得：用N個這樣的圖形拼出來的圖形的總長度為（其中，為正整數），則用2020個這樣的圖形拼出來的圖形的總長度為，故答案為：．5.如圖所示，在我國宋朝數學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角，請你根據楊輝三角的規律補全表中第四行空缺的數字是________．【答案】46.如圖，某學校準各新建一個讀書長廊，井用若干塊帶有花紋和沒有花紋的兩種規格、大小相同的正方形地磚搭配在一起，按圖中所示的規律拼成圖案鋪滿長廊，已知每個小正方形地磚的邊長均為0.5米．（1）按圖示規律，第3圖案的長度l3=；第3個圖案中沒有花紋的正方形地磚數為．（2）若某個圖案中帶有花紋的地磚為n塊，則沒有花紋的地磚為塊．（用含n的代數式表示）（3）若學校讀書長廊的長度為Ln=100.5米，求沒有花紋的正方形地磚有多少塊？【答案】（1）解：觀察可得，第3圖案的長度l3=0.5×7=3.5（米）第3個圖案沒有花紋的正方形地磚數為18塊．（2）解：觀察可得：第1個圖案中有花紋的地面磚有1塊，沒有花紋的地面磚有8塊；第2個圖案中有花紋的地面磚有2塊，沒有花紋的地面磚有13塊??根據規律，∴圖案有花紋的地面磚為n塊，則是第n個圖案∴第n個圖案中沒有花紋地面磚有5n+3塊．（3）解：由（1）得，第n個圖案邊長為L=（2n+1）×0.5把L=100.5代入，得：100.5=（2n+1）×0.5解得：n=100把n=100代入5n+3，得5×100+3=503（塊）．7.觀察下列等式：第1個等式：5-1=8×3；第2個等式：9-5=8×7；第3個等式：132-92=8×11；第4個等式：172-132=8×15；……；按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第n個等式___________（用含n的等式表示），并證明．（3）依據上述規律，計算：8×3+8×7+8×11+…+8×399．【答案】（）解：由題意可知：相間兩個奇數的乘方差，等于這個兩數的平均數的8倍，

第5個等式為：，

故答案為：；（2）第n個等式為：

驗證：，

；（3）解：……

……

8.如圖，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看出，終點表示數﹣2，已知點A是數軸上的點，請參照圖示，完成下列問題：（1）如果點A表示數﹣3，將點A向右移動7個單位長度，那么終點表示的數是______；（2）如果點A表示數3，將點A向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是______；（3）如果點A表示數a，將點A向左移動m（m＞0）個單位長度，再向右移動n（n＞0）個單位長度，那么終點表示數是多少（用含a、m、n的式子表示）？【答案】（（1）∵點A表示數﹣3，∴點A向右移動7個單位長度，終點B表示的數是﹣3+7＝4，故答案是：4；（2）∵點A表示數3，∴將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是3﹣7+5＝1；故答案是：1；（3）∵A點表示的數為a，∴將A點向左移動m個單位長度，再向右移動n個單位長度，那么終點表示數是（a﹣m+n）．9.如圖，直線l對應的函數表達式為，在直線l上，順次取點，，，，……，，構成的形如“7”的圖形的陰影部分面積分別為；；；……猜想并填空：

（1）______；（2）______（用含n的式子表示）；（3）______（用含n的式子表示，要化簡）．【答案】（1）解：由題意可知、，∴，故答案為：；（或12）（2）由題意可知：，，，，……，故答案為：；或（3）故答案為：10.觀察下列圖形，它是把一個三角形分別連接其三邊中點，構成4個小三角形，挖去中間的一個小三角形（如圖1）；對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法，將這種做法繼續下去（如圖2，圖3…）.觀察規律解答以下各題：……（1）填寫下表:圖形序號挖去三角形的個數圖11圖21+3圖31+3+9圖4（2）根據這個規律，求圖n中挖去三角形的個數fn(用含n的代數式表示)；（3）若圖n+1中挖去三角形的個數為fn+1，求fn+1-fn【答案】（1）圖1挖去中間的1個小三角形，

圖2挖去中間的（1+3）個小三角形，

圖3挖去中間的（1+3+32）個小三角形，

則圖4挖去中間的（1+3+32+33）個小三角形，即圖4挖去中間的40個小三角形，（2）由（1）知，圖n中挖去三角形的個數fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1；

（3）∵fn+1=3n+3n-1+…+32+3+1，

fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1

∴fn+1?fn=3n．11.某校數學小組開展了趣味剪紙活動。【觀察】如圖，圖①是一塊邊長為，周長記為的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第塊紙板的周長為（1）【了解】_______________________；_______________________．（2）【實踐】如果一個正三角形紙板面積為6，通過兩次這種方法裁剪，得到最小的正三角形的面積為？【答案】（1）解：∵P1＝a＋a＋a＝3a，P2＝a＋a＋＝，P3＝a＋a＋＝，P4＝…∴，，…則；故答案為：；．（2）解：∵通過兩次這種方法裁剪后，最小的正三角形的邊長為原來三角形邊長的，又∵最小三角形與原三角形相似，∴相似比為，∵相似三角形的面積比為相似比的平方，∴最小三角形的面積為：．12.觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；…按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：___________；（2）寫出你猜想的第n（n取正整數）個等式：________（用含n的等式表示），并驗證等式的正確性．【答案】（1）解：由題意可得，第6個等式為：；（2）解：猜想的第n（n取正整數）個等式為：．證明：左邊．右邊，∵左邊=右邊，∴原等式成立．∴第n（n取正整數）個等式為：．13.用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片，按如圖方式拼成長方形：第①個圖形中有2張正方形紙片；第②個圖形中有張正方形紙片；第③個圖形中有張正方形紙片；第④個圖形中有張正方形紙片；

請你觀察上述圖形與算式，完成下列問題：（1）第⑤個圖形中有_____張正方形紙片（直接寫出結果）；根據上面的發現我們可以猜想：______（用含n的代數式表示）；（2）根據你的發現計算：．【答案】（1）解：∵第①個圖形中有2張正方形紙片；第②個圖形中有張正方形紙片；第③個圖形中有張正方形紙片；第④個圖形中有張正方形紙片；∴第⑤個圖形中有張正方形紙片；∴第n個圖形中有張正方形紙片；∴，故答案為：30，（2）===21600+16290=37890．14.觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……，按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式：______（用含n的等式表示，并證明）．【答案】（1）解：由已知等式可知：等式左邊括號外分數的分子為等式的序號，分母為序號加2，括號內分數的分母為序號加1；等式右邊分數的分母為序號加1；∴第5個等式：；（2）解：由（1）猜想第個等式為；證明：∵左邊右邊，∴等式成立．15.觀察由※組成的圖案和算式，解答問題：①1＋3＝4＝2；②1＋3＋5＝9＝3；③1＋3＋5＋7＝16＝4；④1＋3＋5＋7＋9＝25＝5；……（1）請猜想1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝____________；（2）寫出第n個算式；（3）請用上述規律計算：49＋51＋53＋…＋107＋109的值．【答案】（1）解：根據題中規律客可知，中間數是20，1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝；（2）解：根據題中規律可知，中間數是，；（）3解：根據規律可知．16.如圖，將邊長分別為1、2、3、5、…的若干正方形按一定的規律拼成不同的矩形，依次記作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④……矩形n，那么按此規律．…（1）組成矩形n的正方形的個數為_________個；（2）矩形⑥的周長為_________．【答案】（1）解：由圖可知：矩形①包含正方形個數：個，矩形②包含正方形個數：個，矩形③包含正方形個數：個，矩形④包含正方形個數：個，∴矩形n包含正方形個數：個，（2）解：由圖可知：矩形①的長寬分別為：2、1，矩形②的長寬分別為：3、2，矩形③的長寬分別為：5、3，矩形④的長寬分別為：8、5，∴矩形⑤的長寬分別為：13、8，矩形⑥的長寬分別為：21、13，故其周長為：．17.將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓；第3個圖形有16個小圓，……按此規律依次遞增（1）第4個圖形有個小圓，第5個圖形有個小圓；（2）第n個圖形有個小圓（用含n的代數式表示）；（3）用310個小圓擺成第n個圖形，問：n是多少？【答案】（1）解：第4個圖形有小圓24個；第5個圖形有小圓4+（2+4+6+8+10）=34個；故答案為：24，34；（2）解：由題意可知第1個圖形有小圓4+2=6個；第2個圖形有小圓4+（2+4）=10個；第3個圖形有小圓4+（2+4+6）=16個；第4個圖形有小圓4+（2+4+6+8）=24個；第5個圖形有小圓4+（2+4+6+8+10）=34個；第6個圖形有小圓4+（2+4+6+8+10+12）=46．．．．．．．∴第n個圖形有小圓4+（2+4+6+8+…+2n）=n（n+1）+4=(n2+n+4)個，故答案：n2+n+4．（3）由題意，得n2+n+4=310，解得：n1=17，n2=-18（不符合題意，舍去），答：用310個小圓擺成第17個圖形．18.從2開始，連續偶數相加，它們的和（記為S）的情況如表：偶數的個數nS12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6（1）若n=7時．則S的值為（2）根據表中的規律猜想：用n的式子表示S的公式為：S=2+4+6+8+???+2n=（3）根據（2）中的規律計算：（要有過程）．【答案】（1）解：設加數的個數為n時，它們的和為Sn（n為正整數），

觀察，發現規律：S1=2=1×2，S2=2+4=2×3，S3=2+4+6=3×4，S4=2+4+6+8=4×5，…，

∴Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）．當n=7時，．

故答案為：56．（2）．

故答案為：．（3）