第一章

時域離散信號和時域離散系統第一章

時域離散信號和時域離散系統概述時域離散信號時域離散系統線性常系數差分方程模擬信號的數字處理方法主要內容概述主要內容1.1概述信號通常是一個自變量或幾個自變量的函數.信號的自變量有多種形式，可以是時間、距離、溫度、電壓等.本課程僅把信號看作時間的函數.如果僅有一個自變量，則稱為一維信號；如果有兩個以上的自變量，則稱為多維信號.本課程僅研究一維數字信號處理的理論與技術.1.1概述信號通常是一個自變量或幾個自變量的函數.1.2時域離散信號對模擬信號x(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：

n取整數，非整數時無定義.對于不同的n值，x(nT)是一個有序的數字序列，稱時域離散信號。記為x(n).信號隨n的變化規律可以用公式、圖形、集合來表示.1.2時域離散信號對模擬信號x(t)進行等間隔采樣，采樣間1.2.1常用典型序列1.單位采樣序列d(n)特點：d(n)僅在n=0時取值為1，其它均為零。d(n)類似于d(t)，不同的是d(t)在t=0時取值無窮大，t≠0時取值為零，對時間t的積分為1。1.2.1常用典型序列1.單位采樣序列d(n)特點：d2.

單位階躍序列u(n)特點：2.單位階躍序列u(n)特點：3.矩形序列RN(n)

特點：3.矩形序列RN(n)特點：4.實指數序列如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列.如果|a|>1，x(n)的幅度隨n的增大而增大，稱x(n)為發散序列.4.實指數序列如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減5.正弦序列式中w稱為正弦序列的數字頻率(表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度數)，單位是弧度.若正弦序列是由模擬信號x(t)采樣得到，則數字頻率w與模擬角頻率W之間的關系：5.正弦序列式中w稱為正弦序列的數字頻率(表示相鄰兩個序列數字信號處理(課件)6.復指數序列設s=0，用極坐標和實部虛部表示如下：n取整數時，下面等式成立：復指數序列是周期序列.6.復指數序列設s=0，用極坐標和實部虛部表示如下：n取整若對所有n存在一個最小的正整數N，使得：則稱序列x(n)為周期性序列.【討論】x(n)是周期為N=8的周期序列.【例】若對所有n存在一個最小的正整數N，使得：則稱序列x(n)一般正弦序列的周期性式中k與N均取整數，且k的取值要保證N是最小的正整數.一般正弦序列的周期性式中k與N均取整數，且k的取值要保證N是1.2.2序列的運算1.乘法和加法序列之間的乘法和加法，是指它的同序號的序列值逐項對應相乘和相加，如圖所示.2.移位、翻轉及尺度變換1.2.2序列的運算1.乘法和加法序列之間的乘法和加法，數字信號處理(課件)數字信號處理(課件)1.3時域離散系統設時域離散系統的輸入為x(n)，經過規定的運算，輸出為y(n)表示。運算關系用T[·]表示，則

y(n)=T[x(n)]其框圖如圖所示.1.3時域離散系統設時域離散系統的輸入為x(n)，經過規滿足疊加原理的系統稱為線性系統.設x1(n)和x2(n)分別作為系統的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即

y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]那么線性系統一定滿足：1.3.1線性系統

y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n)式中，a和b均是常數.滿足疊加原理的系統稱為線性系統.1.3.1線性系統證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數)所代表的系統是非線性系統.

∵

y1(n)=T[x1(n)]=ax1(n)+b

y2(n)=T[x2(n)]=ax2(n)+b

y(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b

∴y(n)≠y1(n)+y2(n)

結論：該系統不是線性系統.【例題】證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數)所代表的系統是非如果系統對輸入信號的運算關系T[·]在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統對于輸入信號的響應與信號加于系統的時間無關，則這種系統稱為時不變系統.用公式表示如下：

y(n)=T[x(n)]

y(n-n0)=T[x(n-n0)]1.3.2時不變系統如果系統對輸入信號的運算關系T[·]在整個運算過程中不隨時間檢查y(n)=ax(n)+b代表的系統是否是時不變系統，式中a和b是常數.

∵y(n)=ax(n)+b

y(n-n0)=ax(n-n0)+b

∴

y(n-n0)=T[x(n-n0)]因此該系統是時不變系統.【例題1】檢查y(n)=ax(n)+b代表的系統是否是時不變系統，式中檢查y(n)=nx(n)所代表的系統是否是時不變系統.

∵y(n)=nx(n)

y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0)T[x(n-n0)]=nx(n-n0)∴y(n-n0)≠T[x(n-n0)]因此該系統不是時不變系統.【例題2】檢查y(n)=nx(n)所代表的系統是否是時不變系統.【例題1.3.3線性時不變系統輸入與輸出之間的關系設系統輸入x(n)=d(n)，系統初始狀態為零，則系統輸出為單位取樣響應h(n).用公式表示為：x(n)可以表示成單位采樣序列移位加權和：1.3.3線性時不變系統輸入與輸出之間的關系設系統輸入x系統的輸出y(n)為：線性時不變系統的輸出y(n)等于輸入序列x(n)和該系統的單位取樣響應h(n)的線性卷積.結論系統的輸出y(n)為：線性時不變系統的輸出y(n)等于輸入序線性卷積的主要性質設兩序列分別的長度是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1).線性卷積服從交換律、結合律和分配律.

x(n)*h(n)=h(n)*x(n)

x(n)*[h1(n)*h2(n)]=[x(n)*h1(n)]*h2(n)

x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)線性卷積的主要性質設兩序列分別的長度是N和M，線性卷積后的序一個序列與移位的單位取樣序列d(n-n0)進行線性卷積，等于將序列本身移位n0(n0是整常數).一個序列與單位取樣序列d(n)的線性卷積等于序列本身.即一個序列與移位的單位取樣序列d(n-n0)進行線性卷積，等于1.3.4系統的因果性和穩定性1.3.4系統的因果性和穩定性穩定系統是指系統有界輸入，有界輸出的系統.系統穩定的充分必要條件是系統的單位取樣響應絕對可和.即穩定系統是指系統有界輸入，有界輸出的系統.設線性時不變系統的h(n)=anu(n)，式中a是實常數，試分析該系統的因果穩定性.【例題】只有當|a|<1時：解：由于n<0時，h(n)=0，所以系統是因果系統.結論：|a|<1時系統穩定；|a|≥1時系統不穩定.設線性時不變系統的h(n)=anu(n)，式中a是實常數，試1.4線性常系數差分方程描述一個系統，可以不管系統的內部結構，只研究系統輸出和輸入之間的關系，這種方法稱為輸入-輸出描述法.對于模擬系統，用微分方程描述系統輸出輸入之間的關系.對于離散系統，用差分方程描述系統輸出輸入之間的關系.1.4線性常系數差分方程描述一個系統，可以不管系統的內部N階線性常系數差分方程用下式表示：式中x(n)和y(n)分別是系統的輸入和輸出，ai和bi均為常數.式中y(n-i)和x(n-i)項只有一次冪，也沒有相互交叉項，故稱為線性常系數差分方程.在上式中，y(n-i)項i的最大取值為N，最小取值為零，因此稱為N階的差分方程.N階線性常系數差分方程用下式表示：式中x(n)和y(n)分別已知系統的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列.求解差分方程的基本方法有以下三種：

*經典解法*遞推解法*變換域方法已知系統的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列.1.5模擬信號數字處理方法模擬信號經過采樣、量化、編碼形成數字信號.對該數字信號進行處理.將處理后的數字信號經過解碼、零階保持、平滑濾波轉換成模擬信號輸出.1.5模擬信號數字處理方法模擬信號經過采樣、量化、編碼形成采樣——按等間隔T對模擬信號進行采樣，得到一串采樣點上的樣本數據，這一串樣本數據可看作時域離散信號(序列).量化編碼——用M位二進制數表示并取代這一串樣本數據，即形成數字信號.1.5.1模擬信號轉換成數字信號采樣——按等間隔T對模擬信號進行采樣，得到一串采樣點上的樣本數字信號處理(課件)【采樣分析】【采樣分析】采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以Ws=(2p/T)為周期進行周期延拓而成.結論采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以Ws=(2p/T)為周期進數字信號處理(課件)理想低通G(jW)對應的單位沖激響應g(t)：理想低通的輸入和輸出之間的關系是：【采樣恢復分析】理想低通G(jW)對應的單位沖激響應g(t)：理想低通的數字信號處理(課件)數字信號處理(課件)對連續信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續信號的頻譜以采樣頻率為周期進行周期延拓形成.設連續信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為Wc，如果采樣頻率Ws≥2Wc，那么讓采樣信號通過一個增益為T，截止頻率為Ws/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復出原連續信號xa(t).結論(采樣定理)對連續信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續1.5.2將數字信號轉換成模擬信號用理想低通恢復的模擬信號是一種無失真恢復.由于內插函數是非因果的，因此理想低通是非因果不可實現的.實際中采用D/AC完成信號到模擬信號的轉換。包括三個部分：解碼、零階保持、平滑濾波.1.5.2將數字信號轉換成模擬信號用理想低通恢復的模擬信號第一章

時域離散信號和時域離散系統第一章

時域離散信號和時域離散系統概述時域離散信號時域離散系統線性常系數差分方程模擬信號的數字處理方法主要內容概述主要內容1.1概述信號通常是一個自變量或幾個自變量的函數.信號的自變量有多種形式，可以是時間、距離、溫度、電壓等.本課程僅把信號看作時間的函數.如果僅有一個自變量，則稱為一維信號；如果有兩個以上的自變量，則稱為多維信號.本課程僅研究一維數字信號處理的理論與技術.1.1概述信號通常是一個自變量或幾個自變量的函數.1.2時域離散信號對模擬信號x(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：

n取整數，非整數時無定義.對于不同的n值，x(nT)是一個有序的數字序列，稱時域離散信號。記為x(n).信號隨n的變化規律可以用公式、圖形、集合來表示.1.2時域離散信號對模擬信號x(t)進行等間隔采樣，采樣間1.2.1常用典型序列1.單位采樣序列d(n)特點：d(n)僅在n=0時取值為1，其它均為零。d(n)類似于d(t)，不同的是d(t)在t=0時取值無窮大，t≠0時取值為零，對時間t的積分為1。1.2.1常用典型序列1.單位采樣序列d(n)特點：d2.

單位階躍序列u(n)特點：2.單位階躍序列u(n)特點：3.矩形序列RN(n)

特點：3.矩形序列RN(n)特點：4.實指數序列如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列.如果|a|>1，x(n)的幅度隨n的增大而增大，稱x(n)為發散序列.4.實指數序列如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減5.正弦序列式中w稱為正弦序列的數字頻率(表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度數)，單位是弧度.若正弦序列是由模擬信號x(t)采樣得到，則數字頻率w與模擬角頻率W之間的關系：5.正弦序列式中w稱為正弦序列的數字頻率(表示相鄰兩個序列數字信號處理(課件)6.復指數序列設s=0，用極坐標和實部虛部表示如下：n取整數時，下面等式成立：復指數序列是周期序列.6.復指數序列設s=0，用極坐標和實部虛部表示如下：n取整若對所有n存在一個最小的正整數N，使得：則稱序列x(n)為周期性序列.【討論】x(n)是周期為N=8的周期序列.【例】若對所有n存在一個最小的正整數N，使得：則稱序列x(n)一般正弦序列的周期性式中k與N均取整數，且k的取值要保證N是最小的正整數.一般正弦序列的周期性式中k與N均取整數，且k的取值要保證N是1.2.2序列的運算1.乘法和加法序列之間的乘法和加法，是指它的同序號的序列值逐項對應相乘和相加，如圖所示.2.移位、翻轉及尺度變換1.2.2序列的運算1.乘法和加法序列之間的乘法和加法，數字信號處理(課件)數字信號處理(課件)1.3時域離散系統設時域離散系統的輸入為x(n)，經過規定的運算，輸出為y(n)表示。運算關系用T[·]表示，則

y(n)=T[x(n)]其框圖如圖所示.1.3時域離散系統設時域離散系統的輸入為x(n)，經過規滿足疊加原理的系統稱為線性系統.設x1(n)和x2(n)分別作為系統的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即

y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]那么線性系統一定滿足：1.3.1線性系統

y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n)式中，a和b均是常數.滿足疊加原理的系統稱為線性系統.1.3.1線性系統證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數)所代表的系統是非線性系統.

∵

y1(n)=T[x1(n)]=ax1(n)+b

y2(n)=T[x2(n)]=ax2(n)+b

y(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b

∴y(n)≠y1(n)+y2(n)

結論：該系統不是線性系統.【例題】證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數)所代表的系統是非如果系統對輸入信號的運算關系T[·]在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統對于輸入信號的響應與信號加于系統的時間無關，則這種系統稱為時不變系統.用公式表示如下：

y(n)=T[x(n)]

y(n-n0)=T[x(n-n0)]1.3.2時不變系統如果系統對輸入信號的運算關系T[·]在整個運算過程中不隨時間檢查y(n)=ax(n)+b代表的系統是否是時不變系統，式中a和b是常數.

∵y(n)=ax(n)+b

y(n-n0)=ax(n-n0)+b

∴

y(n-n0)=T[x(n-n0)]因此該系統是時不變系統.【例題1】檢查y(n)=ax(n)+b代表的系統是否是時不變系統，式中檢查y(n)=nx(n)所代表的系統是否是時不變系統.

∵y(n)=nx(n)

y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0)T[x(n-n0)]=nx(n-n0)∴y(n-n0)≠T[x(n-n0)]因此該系統不是時不變系統.【例題2】檢查y(n)=nx(n)所代表的系統是否是時不變系統.【例題1.3.3線性時不變系統輸入與輸出之間的關系設系統輸入x(n)=d(n)，系統初始狀態為零，則系統輸出為單位取樣響應h(n).用公式表示為：x(n)可以表示成單位采樣序列移位加權和：1.3.3線性時不變系統輸入與輸出之間的關系設系統輸入x系統的輸出y(n)為：線性時不變系統的輸出y(n)等于輸入序列x(n)和該系統的單位取樣響應h(n)的線性卷積.結論系統的輸出y(n)為：線性時不變系統的輸出y(n)等于輸入序線性卷積的主要性質設兩序列分別的長度是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1).線性卷積服從交換律、結合律和分配律.

x(n)*h(n)=h(n)*x(n)

x(n)*[h1(n)*h2(n)]=[x(n)*h1(n)]*h2(n)

x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)線性卷積的主要性質設兩序列分別的長度是N和M，線性卷積后的序一個序列與移位的單位取樣序列d(n-n0)進行線性卷積，等于將序列本身移位n0(n0是整常數).一個序列與單位取樣序列d(n)的線性卷積等于序列本身.即一個序列與移位的單位取樣序列d(n-n0)進行線性卷積，等于1.3.4系統的因果性和穩定性1.3.4系統的因果性和穩定性穩定系統是指系統有界輸入，有界輸出的系統.系統穩定的充分必要條件是系統的單位取樣響應絕對可和.即穩定系統是指系統有界輸入，有界輸出的系統.設線性時不變系統的h(n)=anu(n)，式中a是實常數，試分析該系統的因果穩定性.【例題】只有當|a|<1時：解：由于n<0時，h(n)=0，所以系統是因果系統.結論：|a|<1時系統穩定；|a|≥1時系統不穩定.設線性時不變系統的h(n)=anu(n)，式中a是實常數，試1.4線性常系數差分方程描述一個系統，可以不管系統的內部結構，只研究系統輸出和輸入之間的關系，這種方法稱為輸入-輸出描述法.對于模擬系統，用微分方程描述系統輸出輸入之間的關系.對于離散系統，用差分方程描述系統輸出輸入之間的關系.1.4線性常系數差分方程描述一個系統，可以不管系統的內部N階線性常系數差分方程用下式表示：式中x(n)和y(n)分別是系統的輸入和輸出，ai和bi均為常數.式中y(n-i)和x(n-i)項只有一次冪，也沒有相互交叉項，故稱為線性常系數差分方程.在上式中，y