第一章向量與坐標§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3數量乘向量§1.4向量的線性關系與分解§1.5標架與坐標§1.6向量在軸上的射影§1.7兩向量的數量積§1.8兩向量的向量積§1.9三向量的混合積§1.10三向量的雙重向量積第一章向量與坐標§1.1向量的概念§1.2向§1.4向量的線性關系與向量的分解

定義1.4.1由與實數所組成的向量

叫做的線性組合.(也稱向量可以用向量線性表示,或可以分解成的線性組合.)§1.4向量的線性關系與向量的分解定義1.4.1由

定理1.4.1如果向量,則與共線的充分必要條件是可以用向量線性表示,或者說是的線性組合,即

并且系數被惟一確定.這時稱為用線性組合來表示共線向量的基底.定理1.4.1如果向量,則與共線的充必要性若與共線,當同向時,取;當反向時,取,則有下證惟一.如果,則,即,但,則.即證明:充分性若,則由數乘的定義可知與共線.必要性若與共線,當同向時,取下證

定理1.4.2如果向量不共線,則向量與共面的充分必要條件是可以用向量線性表示,即并且系數被唯一確定.這時叫做平面上向量的基底.定理1.4.2如果向量不共線,則向量證明:因為不共線,所以.共線,則有(或).只要取(或),則有.若與都不共線,把歸結到共同始點,并設過點作,分別交所在直線于兩點.必要性若與共面,若與(或)證明:因為不共線,所以.共線充分性若,當時,例如,則有與共線,所以共面.當時,則,即平行確定之平面.而,所以共面.由于與共線,與共線,則由定理1.4.1有充分性若,當時,例如下證惟一.如果,則.若,則有由定理1.4.1可知共線,矛盾.同理有.下證惟一.如果

定理1.4.3如果向量不共面,那么空間任意向量可以由向量線性表示,或說空間任意向量可以分解成向量的線性組合，即并且其中系數被唯一確定.這時叫做空間向量的基底.定理1.4.3如果向量不共面,那么空間任證明:因為不共面,則由定義1.1.5知,且它們彼此不共線.如果和之中的兩個向量共面,例如,則由定理1.4.2有,則結論成立.如果和中任意兩個都不共面.將歸結為到共同始點,并設,證明:因為不共面,則由定義1.1.5知相交于三點,如圖.,過的終點作三平面分別與平面平行,且分別和直線所以有再由定理1.4.1,有則有相交于三點,如圖.下證被唯一確定.若則.如果,則則由定理1.4.2可知共面,故.同理可得下證被唯一確定.若

例1已知,,分別是兩邊上的點,且有,.設與交于,如圖.試把向量分解成的線性組合.例1已知,,分解:因為而解:因為而因為不共線,由定理1.4.2,有即因為不共線,由定理1.4.2,有即

例2

證明四面體對邊中點的連線交于一點,且互相平分.解:設四面體一組對邊的中點的連線為,它的中點為,其余兩組對邊中點分別為,下只需證三點重合就可以了.例2證明四面體對邊中點的連線交于一點,且互相平分.取不共面的三向量,下證重合.又為中點,則有連接,由于為的中點,則有取不共面的三向量,而,所以同理可得所以,重合.而,所以同理可得所以,

定義1.4.2對于個向量,如果存在不全為零的個數使得那么個向量叫做線性相關,不是線性相關的向量叫做線性無關.即線性無關就指:只有當時,上式成立.推論一個向量線性相關定義1.4.2對于個向量

定理1.4.4在時,向量線性相關的充要條件是其中有一個向量是其余向量的線性組合.證明:必要性設線性相關,則存在不全為0的,使得因為不全為0,不妨設,則定理1.4.4在時,向量線性

充分性設中有一個向量是其設這個向量為,即因為,所以線性相關.則余向量的線性組合.設這個向量為,即因為,所以線

定理1.4.5如果一組向量中的一部分向量線性相關那么這一組向量就線性相關.證明:設有一組向量,其中一部分,如線性相關,即存在不全為0的,使得則定理1.4.5如果一組向量中的一部分向量線性相關那么這其中不全為0,所以線性相關.定理1.4.6兩向量共線它們線性相關.證明:充分性設線性相關,則存在不全為0的,使得.不妨設,推論一組向量如果含有零向量,那么這組向量必線性相關.其中不全為0,所以則.如果,由定理1.4.1知,共線.若,則共線.必要性設共線,若,則任取,有,即線性相關.若,由定理1.4.1,存在,使,即,所以線性相關.則.如果,由定理1.4.1知,共

定理1.4.7三個向量共面它們線性相關.證明:必要性設共面,由定理1.4.2,存在,使得,即.以線性相關.充分性設線性相關,則存在不全為0不全為0,不妨設,則有.由定理1.4.2知共面.所的,使得.由于定理1.4.7三個向量共面它們線性相關.

定理1.4.8空間任何四個向量總線性相關.證明:設空間任意四向量,若共面,由定理1.4.7知線性相關,理1.4.5知線性相關.若不共面,由定理1.4.3可設,1.4.4知線性相關.推論空間四個以上向量總是線性相關.再由定再由定理定理1.4.8空間任何四個向量總線性相關.證

例3設,試證三點共線的充要條件是存在不全為0的實數使得且證明:必要性設共線,則共線,由定理1.4.6知線性相關,即存在不全為0的,使得例3設,試證三點即.可得令,即有不全為0,使且.令,即有不妨設,代入整理得充分性設有不全為0的,使即.可知不全為0,共線,即共線.所以由且不妨設,代入整理得充分性設有

例4設為兩不共線向量,證明共線的充要條件是

證明:由定理1.4.6,共線存在不全為0的數,使得例4設為兩不共線向量,證明證即又不共線,即線性無關而不全為0即又不共線,即線性無關而不全為0第一章向量與坐標§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3數量乘向量§1.4向量的線性關系與分解§1.5標架與坐標§1.6向量在軸上的射影§1.7兩向量的數量積§1.8兩向量的向量積§1.9三向量的混合積§1.10三向量的雙重向量積第一章向量與坐標§1.1向量的概念§1.2向§1.4向量的線性關系與向量的分解

定義1.4.1由與實數所組成的向量

叫做的線性組合.(也稱向量可以用向量線性表示,或可以分解成的線性組合.)§1.4向量的線性關系與向量的分解定義1.4.1由

定理1.4.1如果向量,則與共線的充分必要條件是可以用向量線性表示,或者說是的線性組合,即

并且系數被惟一確定.這時稱為用線性組合來表示共線向量的基底.定理1.4.1如果向量,則與共線的充必要性若與共線,當同向時,取;當反向時,取,則有下證惟一.如果,則,即,但,則.即證明:充分性若,則由數乘的定義可知與共線.必要性若與共線,當同向時,取下證

定理1.4.2如果向量不共線,則向量與共面的充分必要條件是可以用向量線性表示,即并且系數被唯一確定.這時叫做平面上向量的基底.定理1.4.2如果向量不共線,則向量證明:因為不共線,所以.共線,則有(或).只要取(或),則有.若與都不共線,把歸結到共同始點,并設過點作,分別交所在直線于兩點.必要性若與共面,若與(或)證明:因為不共線,所以.共線充分性若,當時,例如,則有與共線,所以共面.當時,則,即平行確定之平面.而,所以共面.由于與共線,與共線,則由定理1.4.1有充分性若,當時,例如下證惟一.如果,則.若,則有由定理1.4.1可知共線,矛盾.同理有.下證惟一.如果

定理1.4.3如果向量不共面,那么空間任意向量可以由向量線性表示,或說空間任意向量可以分解成向量的線性組合，即并且其中系數被唯一確定.這時叫做空間向量的基底.定理1.4.3如果向量不共面,那么空間任證明:因為不共面,則由定義1.1.5知,且它們彼此不共線.如果和之中的兩個向量共面,例如,則由定理1.4.2有,則結論成立.如果和中任意兩個都不共面.將歸結為到共同始點,并設,證明:因為不共面,則由定義1.1.5知相交于三點,如圖.,過的終點作三平面分別與平面平行,且分別和直線所以有再由定理1.4.1,有則有相交于三點,如圖.下證被唯一確定.若則.如果,則則由定理1.4.2可知共面,故.同理可得下證被唯一確定.若

例1已知,,分別是兩邊上的點,且有,.設與交于,如圖.試把向量分解成的線性組合.例1已知,,分解:因為而解:因為而因為不共線,由定理1.4.2,有即因為不共線,由定理1.4.2,有即

例2

證明四面體對邊中點的連線交于一點,且互相平分.解:設四面體一組對邊的中點的連線為,它的中點為,其余兩組對邊中點分別為,下只需證三點重合就可以了.例2證明四面體對邊中點的連線交于一點,且互相平分.取不共面的三向量,下證重合.又為中點,則有連接,由于為的中點,則有取不共面的三向量,而,所以同理可得所以,重合.而,所以同理可得所以,

定義1.4.2對于個向量,如果存在不全為零的個數使得那么個向量叫做線性相關,不是線性相關的向量叫做線性無關.即線性無關就指:只有當時,上式成立.推論一個向量線性相關定義1.4.2對于個向量

定理1.4.4在時,向量線性相關的充要條件是其中有一個向量是其余向量的線性組合.證明:必要性設線性相關,則存在不全為0的,使得因為不全為0,不妨設,則定理1.4.4在時,向量線性

充分性設中有一個向量是其設這個向量為,即因為,所以線性相關.則余向量的線性組合.設這個向量為,即因為,所以線

定理1.4.5如果一組向量中的一部分向量線性相關那么這一組向量就線性相關.證明:設有一組向量,其中一部分,如線性相關,即存在不全為0的,使得則定理1.4.5如果一組向量中的一部分向量線性相關那么這其中不全為0,所以線性相關.定理1.4.6兩向量共線它們線性相關.證明:充分性設線性相關,則存在不全為0的,使得.不妨設,推論一組向量如果含有零向量,那么這組向量必線性相關.其中不全為0,所以則.如果,由定理1.4.1知,共線.若,則共線.必要性設共線,若,則任取,有,即線性相關.若,由定理1.4.1,存在,使,即,所以線性相關.則.如果,由定理1.4.1知,共

定理1.4.7三個向量共面它們線性相關.證明:必要性設共面,由定理1.4.2,存在,使得,即.以線性相關.充分性設線性相關,則存在不全為0不全為0,不妨設,則