第三章行列式及其應用行列式的定義行列式的性質行列式的應用學習要點：了解行列式的定義及其性質。會運用行列式的性質求行列式的值。重點掌握行列式在理論推導中的應用，主要有以下三個定理：行列式展式定理；法則；行列式乘法定理。定義，二階行列式與三階行列式的計算21

22a

aa11

a12

a11a22

a12a21a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31a21

a22

a23a31

a32

a33a11

a12

a1331

3231

3332

33a13

aa21

a22a12

aa21

a23a11

aa22

a23

a

a

a

a11A11

a12

A12

a13

A13

a11a22a33

a12a23a31M11

a13a21a32

-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31M12

M1312A

(1)11

M

A

(1)12

M11

11

121313A

(1)13

M定義1：在n

階行列式中，把元素aij所在的第i

行和第j

列劃去后，余下的n－1

階行列式叫做元素aij的

式。

記為Mij稱

ijiji

jA

1

M為元素

aij

的代數

式。444341

423433323124232221a

a

a

aa

a

a

aa

a

a

aa11

a12

a13

a14例如：D

4442413432311411

1223a

a

aM

a

a

aa

a

a2323A

123

M23

M

.2414aaa22

a23a31

a32

a33

34a41

a42

a43

a44aa11

a12

a13D

a21a21

a23

a24a33

a34a41

a43

a44M12

a31

121212A

112M

Ma31

a32

a33a11

a12

a13a22

a23M44

a21444444A

144

M

M式和一個注：行列式的每個元素都分別對應著一個代數

式。11M12Ma21

a23a31

a33

an1

an

3

a2

a3an1111A

1)1(1

M1212A

1)1(2

M例如nn

aA

...

......a

...

a...

...a

...

an

2n12

n

2221a1n

a11

a12aa11

a12 ...

a1na21

a22

...

a2

n...

...

...

...an1

an

2

...

annA

nA

aj

11

j

1

j(-1)

1

j

M定義3.1（行列式的遞歸定義）

n

階行列式當n≥2時，假設對n-1階行列式已有定義，則.........a11

a12a22a1na2nan1

an2annA

a21n

a1

j

A1

j

a11

A11

a12

A12

a1n

A1nj

1（上式又稱按第一行展開）（3.1）的值定義如下：當n=1時，

A

=a11;na11Aan1

an

2

a21

a22按第1行展開a11

aa22a32

a33an

2

an

3按第 行展開441

22anna3343aaan3

an

4ann

(n2)

a11a22

annn

annan1

an

2a11

a21

a22例3.1

計算下三角行列式

A解根據行列式的定義in1

2n

d

d

d

di

1dnd2特別地，d13.2

行列式的性質

n0,

A,

j

ij

iaik

Ajkk

1a

A

n

ki

kj0,

A

,

j

ij

ik

1定理3.1（行列式展開定理）(i,

j

1,2,,

n)即行列式等于其任一行（列）元素與其對應的代數 式乘積之和（亦即行列式可按任一行或任一列展開）；任一行（列）元素與另一行（列）元素所對應的代數

式乘積之和為零。-1

21

3-1

-

51

0)

4

1

(-2

53

0

315

5

20

20按第1行展開

3例3.2驗證行列式的展開定理3

1

4D

1

2

51

3

03

1

41

2

51

3

0解3

1

41

2

51

3

0-1

-

54

)2

-

54

3

(-

3按第3行展開

1

1

-13

311

203

1

41

2

51

3

01

)1

3

1

32

(-5)

(-

3按第3列展開

4

-1

-20

(-5)

(-8)

20再驗證一下錯列或錯行展開是否為零?a12

A13

a22

A23

a32

A3311

2

3

3

5

16

21

0a11

A21

a12

A22

a13

A233

0

3(

14

)

1

34

4

(

31

0

1

31

)

312

4

32

021

3

1

11

31

)

2

(

33

1

4D

1

2

51

3

0推論3.1

如果行列式A

中有兩行（列）的元素相同，則該行列式的值為零。例如a

b

ca

b

ca

a

0

b

b

0c

c3132aA

bA

cA按第三行展開33

等于零？也可以看做第一行元素與第三行代數 式的乘積1254123

2222242

21，求D的第3列元素的代數式之和。4233

a32a12

A13

a22

A23432132(

A

A

A從而，即，

A4323330.

A

AA1341

A42

A43

A44.練習1

5

7

81

1

1

1已知

D

2

0

3

6，1

2

3

4計算

A例3.3

設D

解

根據行列式的展開定理可得利用展開定理得到計算行列式的基本方法Ⅰ“降階法”，即利用行列式展開定理,可將n階行列式的計算轉化為n-1階行列式的計算。n

a1na2

n

anna11

a12a22A

計算上三角行列式例3.4解

根據行列式的展開定理，按第一列展開得An

a11a22

ann

.0

0

0

0

0

0

0

0

例如

ni),性質3.1

如果行列式

A

有一行（列）的

元素為零，則該行列式的值等于零。a11

a12

a1n

b1

c1

b2

c2

bn

cn

an1

an

2

anna11a12a1na11a12a1nb1b2bn＋c1c2cnan1an

2annan1an

2ann即，如果某一行是兩組數的和，則此行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的對應的行一樣。性質3.2例如1031002041992003953013006000

3100204

200

120039530030600

200200

395

1

200 395

300

300

600

1

0

600100

100

204

00

204思考題1a11

+a21

+b21

a22an1

+bn1

an

2

ann

+

bnn

bn

2可以拆開成多少個行列式的和?性質3.4

如果行列式

A

中的某行元素（列）有公因子，則該公因子可提到行列式的外面。例如1113331214824636121233

2

284261

2

1推論3.2A,對于n階方陣A，則

A

n

是一個數。推論3.3

如果行列式A

中有兩行（列）元素對應成比例，則1

2

0

0

02

4

其行列式的值為零。例如1

2

3

03

6

9推論3.2

是一個數。A,對于n階方陣A，則

A

n性質3.3設A是一個方陣，(1)設A

ri

rj

(i

j

)

B

，則B

A;性質7

對換行列式中兩行的位置,行列式反號.,第一步是把第k行加到第i行,第二步是把第i行的(-1)倍加到第k行,第三步是把第k行加到第i行,最后再把第k

行的公因子(-1)提出.x性質3.3互換行列式的兩行（列），行列式的值變號。證明：設nn21ss21a1anaaasnaaaanna1211D

a11

a12

a1nas1

at

1

as

2

at

2

asn

atnat

1

at

2

atnan1

an2

anna11

a12

a1nas1

at

1

as

2

at

1at

2

asn

atna11

a12

a1nat

1

at

2

atnas1as

2asnas1as

2asnan1an2annan1an2ann性質3.3設A是一個方陣，(2)設A

rj

kri

B，則B

A;性質3.3(2)：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數k后再加到另一行（列）對應的元素上去，行列式的值不變。證明：a11

a12

a1n

as1

as

2

asnD

a

an1

an

2

ann作rs

krt得aasnannan1at

1as1a12a11a1n

katnast21

kat

2

kaD1

an

2a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

as1

as

2

asn

ka

a

a

an1

an

2

ann

an1

an

2

ann

D

0

D說明1

行列式的性質凡是對行成立的，對列也成立，反之亦然。說明2

計算行列式的方法很多，技巧也很強，重點掌握降階法和化三角形法。定理3.2

矩陣A的行列式與其轉置矩陣AT

的行列式的值相等，即A

AT

.b1nbnncn1c1k

b11

cnk

bn1c11a1kakka11ak10D

akka1ka11D1

det(aij

)

ak1bnnb1n

,b11

,

D2

det(bij

)

bn1則D

D1D2重要結論P62例3.11證明pkk

p11

pkka11

a1k

p11設為

D1

ak1

akk

pk11對

D1

作運算

ri

krj2對

D2

作運算

ci

kc

jnnn0

1

11

b1bn

q11設為

D2

n1

bnbn

n1對D

的前k

行作同前的運算ri

krj，再對后n

列作同前運算ci

kc

j

,把D

化為下三角形行列式11

kk

11

故npp)

D1D2n

ccnkn1n1p110bnncnk

bn1cn1a1ka110D

ak1c11akkc1kb11

b1nk1

11

ppkkc1ck

q11

000

000

000

0

0

0

0

例3性質8

設A，B都是n階方陣，則AB

A

B思考題什么樣的行列式的值是零如何變換行列式的值不變?什么樣的變換行列式的值相差一個正負號？一個數乘行列式的某一行，行列式的值如何變化？一行拆開成兩項之和，行列式可分解為？什么樣的行列式（高階）的值很好求？利用行列式的性質得到計算行列式的基本方法Ⅱ“化三角形法”。其基本思路是：通過行列式的行（列）變換將行列式化簡為階梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其對角線上元素的積計算其結果。2

1r

rr3

r140

0

2

4解只用ri+krj這種變換，例3.5把行列式化為三角形，然后計算行列式D的值。1

2141210110221101

21D

1102r4

2r1011

22110053

81

2

1

42

1

0D

11

2141

21400

24r2

r30112011

2011

2053

8053

843

2

5r2r

r1

214r112240088r4

4r31

2140112002

4000

2

4只用ri+krj變換或只用ci+kcj變換一定能把行列式化為上(下)三角形,行列式的值不變。計算行列式1

2

3

43

4

13

4

1

24

1

2

3D

2將行列式第2、3、4列加到第一列,得321211

4321

14

10j

2,3,4110Dc1

c

j1

2

30

1

12

20

1

1i

2,3,4

0ri

r10

0

0

4rr

10

16

160例3.6解特征1：對于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡化計算。a

n

1

ba

n

1

b

b

b

ba

n

1

b

a

b

bb

a

b

b

b

aD

a

n

1

b

1

b

b

b1

a

b

b

a

(n

1)b

1

b

a

b1

b

b

a計算n

階行列式b

b

ba

b

bD

b

b

a

b

b

b

b

a例3.7解將行列式第2,3,…,n列加到第一列,得ba

bb

ba

ba

b1a

(n

1)b

a

(n

1)b(a

b)n1ri

r1i

2,,

nna1x2xny2a2ynanD

(a2a3

an

0)nnan

k

k

akx

y22x

xak

200a1

nk

2kaxk

yk

)

a2

a3

an

(a1

kkac

c

yk1k

2,,

nnD特征2：第一行，第一列及對角線元素除外，計算n

階行列式其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。例3.8解利用初等列變換可將該行列式化為三角形行列式21212nnnn

1

an

1n

1an

1an

1n

2

an

2n

1an

2an

2a2aa2a2D

aann

1211

1

1

1a1

a2

an

1

an計算范 德(Vandermonde)行列式

ann

a

an特征3：范德(Vandermonde)行列式的計算過程及結論。例3.9解

從最后一行開始，每行減去上一行的an倍。121121

1nnn2

(a a

)ana

)a1

an

aD

an

2an

3an

3

(aa1

(a1

an

)

a2

(21212nnnn

1

an

1n

1an

1an

1n

2

an

2n

1an

2an

2a2aa2a21

1an

1

anD

aann

1211

1a1

a2

ann

a

an2122n

2n

1n

2aan

2an

2aa2

a21a1

an

1n

2n

2211

1

1a2

an

2

an

1

an

a

)(aD

(1)n

1

(an

1按最后一列展開Dn-121121

1nnn2

(a a

)ana

)D

an

an

an

3

(a1a1

ana1

(a1

an

)

a2

an1

)Dn1Dn

(an

a1

)(an

a2

)(anDn1

(an1

a1

)(an1

a2

)(an1

an2

)Dn2D3

(a3

a1

)(a3

a2

)D2D2

(a2

a1

)D1

a2

a11

jin

(ai

a

j

)21212nnnn

1

an

1n

1an

1an

1n

2

an

2n

1an

2an

2a2aa2a2D

aann

1211

1

1

1a1

a2

an

1

an定理3.3（行列式的乘法定理）設A，B是

n

階方陣，則

AB

A B

.注

當A，B都是n階方陣時，一定有AB

BA.ij證明

只用第三種初等行變換可把A化為上三角矩陣

S

只用第三種初等列變換可把B化為上三角矩陣T

[tij

]即存在第三種初等矩陣

Pi

(i

1,

2, ,

m

使得snnjPm

P1

A

,

BQ1

Qk

TA

S

s11s22并有因此AB

Pm

P1

ABE

A

AT

A

A

(

AT

E)A

(

AT

E)

A

(

AT

E)T

A

E

(E

A)

(1)n

E

A

E

A設A是奇數階方陣，且AT

A

E,A

1,證明E

A

0.例3.10證明解例3.11sin

2sin

2sin(

)

A

sin(

)

sin(

)sin(

)sin

2

sin(

)sin(

)

，計算

A00cos

cos

cos

sin0coscos

cos

sin

00

sinsin

A

sin

sin

0

0sin0

coscos

cos

sin

0sin

cos

cos

cos

A

sin

0

sin0

0sin

0Ex

5

7dca

bc

dbaD

2na

bc

dad0

dc0b

02

nD

a

(1)112(

n1)(

2n1)(

2n1)Dad(1)計算行列式D2n的值cd0ca

bc

db0

a

b

(1)12

n2(n1)(

2n1)1D

bc(1)備用題2解按第一行展開1)12(n1)(

2n2(

n1)1)(

2n1)(

2nDD

bc(1)

(ad

bc)D2(

n1)

(ad

bc)ndc

ad(1)a

bc

dbaD

2n111

21n2

nnD

2

11

2

11

2

11n2

(

n1)(

n1)D

2

(1)21

10

2

11

2

112

(

n1)(

n1)1

(1)3

2Dn1

Dn2Dn

Dn1

Dn1

Dn2備用題3

計算n階行列式的值解

按第一行展開

Dn2

Dn3

D2

D1

2得遞推公式1

2Dn

Dn1

1

(n

2,

3,

)Dnn1

Dn1D1

2,所以Dn

n

1.特征4：所求行列式某一行（列）至多有兩個非零元素，按這一行展開，并能夠得到較低階的具有相同結構的行列式，如備用題2、3。計算n

階行列式n

x

x3

x2x1

Dn

x3

x2x1x2x1

0

0x3

0

xnDn

注意與例3.7的形式不同。x