-.z.函數的奇偶性與周期性1．函數的奇偶性奇函數偶函數定義一般地，如果對于函數f(*)的定義域內任意一個*都有f(－*)＝－f(*)，則函數f(*)就叫做奇函數都有f(－*)＝f(*)，則函數f(*)就叫做偶函數圖象特征關于原點對稱關于y軸對稱2.函數的周期性(1)周期函數對于函數y＝f(*)，如果存在一個非零常數T，使得當*取定義域內的任何值時，都有f(*＋T)＝f(*)，則就稱函數y＝f(*)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期如果在周期函數f(*)的所有周期中存在一個最小的正數，則這個最小正數就叫做f(*)的最小正周期．3．判斷以下結論的正誤(正確的打"√〞，錯誤的打"×〞)(1)假設f(*)是定義在R上的奇函數，則f(－*)＋f(*)＝0.(√)(2)偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(×)(3)如果函數f(*)，g(*)為定義域一樣的偶函數，則F(*)＝f(*)＋g(*)是偶函數．(√)(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．(√)(5)假設T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期．(√)(6)函數f(*)在定義域上滿足f(*＋a)＝－f(*)，則f(*)是周期為2a(a＞0)的周期函數．(√)(7)函數f(*)＝0，*∈(0，＋∞)既是奇函數又是偶函數．(×)(8)假設函數y＝f(*＋a)是偶函數，則函數y＝f(*)關于直線*＝a對稱．(√)(9)假設函數y＝f(*＋b)是奇函數，則函數y＝f(*)關于點(b,0)中心對稱．(√)(10)假設*函數的圖象關于y軸對稱，則該函數為偶函數；假設*函數的圖象關于(0,0)對稱，則該函數為奇函數．(√)考點一判斷函數的奇偶性命題點用函數奇偶性定義判斷[例1](1)以下函數為奇函數的是()A．y＝eq\r(*)B．y＝e*C．y＝cos*D．解析：對于A，定義域不關于原點對稱，故不符合要求；對于B，f(－*)≠－f(*)，故不符合要求；對于C，滿足f(－*)＝f(*)，故不符合要求；對于D，∵f(－*)＝e－*－e*＝－(e*－e－*)＝－f(*)，∴y＝e*－e－*為奇函數，應選D.答案：D(2)以下函數中為偶函數的是()A．y＝eq\f(1,*)B．y＝lg|*|C．y＝(*－1)2D．y＝2*解析：根據奇、偶函數的定義，可得A是奇函數，B是偶函數，C，D為非奇非偶函數．答案：B(3)函數f(*)＝eq\r(3－*2)＋eq\r(*2－3)，則()A．不具有奇偶性B．只是奇函數C．只是偶函數D．既是奇函數又是偶函數解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－*2≥0，,*2－3≥0，))得*＝－eq\r(3)或*＝eq\r(3).∴函數f(*)的定義域為{－eq\r(3)，eq\r(3)}．∵對任意的*∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，－*∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，且f(－*)＝－f(*)＝f(*)＝0，∴f(*)既是奇函數，又是偶函數．答案：D[方法引航]判斷函數的奇偶性的三種重要方法(1)定義法：(2)圖象法：函數是奇(偶)函數的充要條件是它的圖象關于原點(y軸)對稱．(3)性質法：①"奇＋奇〞是奇，"奇－奇〞是奇，"奇·奇〞是偶，"奇÷奇〞是偶；②"偶＋偶〞是偶，"偶－偶〞是偶，"偶·偶〞是偶，"偶÷偶〞是偶；③"奇·偶〞是奇，"奇÷偶〞是奇．判斷以下函數的奇偶性(1)f(*)＝(*＋1)eq\r(\f(1－*,1＋*))；(2)f(*)＝lgeq\f(1－*,1＋*).解：(1)要使函數有意義，則eq\f(1－*,1＋*)≥0，解得－1＜*≤1，顯然f(*)的定義域不關于原點對稱，∴f(*)既不是奇函數，也不是偶函數．(2)由eq\f(1－*,1＋*)＞0?－1＜*＜1，定義域關于原點對稱．又f(－*)＝lgeq\f(1＋*,1－*)＝lg＝－lgeq\f(1－*,1＋*)＝－f(*)，f(－*)≠f(*)．故原函數是奇函數．考點二函數的周期性及應用命題點1.周期性的簡單判斷2.利用周期性求函數值[例2](1)以下函數不是周期函數的是()A．y＝sin*B．y＝|sin*|C．y＝sin|*|D．y＝sin(*＋1)解析：y＝sin*與y＝sin(*＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C項y＝sin|*|是偶函數，*∈(0，＋∞)與*∈(－∞，0)圖象不重復，無周期．答案：C(2)函數f(*)是定義在R上的偶函數，假設對于*≥0，都有f(*＋2)＝－eq\f(1,f*)，且當*∈[0,2)時，f(*)＝log2(*＋1)，則求f(－2017)＋f(2019)的值為________．解析：當*≥0時，f(*＋2)＝－eq\f(1,f*)，∴f(*＋4)＝f(*)，即4是f(*)(*≥0)的一個周期．∴f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－eq\f(1,f1)＝－1，∴f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(*＋T)＝f(*)將不在解析式范圍之內的*通過周期變換轉化到解析式范圍之內，以方便代入解析式求值．(2)判斷函數周期性的幾個常用結論．①f(*＋a)＝－f(*)，則f(*)為周期函數，周期T＝2|a|.②f(*＋a)＝eq\f(1,f*)(a≠0)，則函數f(*)必為周期函數，2|a|是它的一個周期；③f(*＋a)＝－eq\f(1,f*)，則函數f(*)必為周期函數，2|a|是它的一個周期．1．假設將本例(2)中"f(*＋2)＝－eq\f(1,f*)〞變為"f(*＋2)＝－f(*)〞，則f(－2017)＋f(2019)＝________.解析：由f(*＋2)＝－f(*)可知T＝4∴f(－2017)＝1，f(2019)＝－1，∴f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：02．假設本例(2)條件變為f(*)對于*∈R，都有f(*＋2)＝f(*)且當*∈[0,2)時，f(*)＝log2(*＋1)，求f(－2017)＋f(2019)的值．解：由f(*＋2)＝f(*)，∴T＝2∴f(2019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝1，∴f(－2017)＋f(2019)＝2.考點三函數奇偶性的綜合應用命題點1.奇偶性求參數2.利用奇偶性、單調性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函數值[例3](1)假設函數f(*)＝eq\f(2*＋1,2*－a)是奇函數，則使f(*)＞3成立的*的取值范圍為()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)解析：因為函數y＝f(*)為奇函數，所以f(－*)＝－f(*)，即eq\f(2－*＋1,2－*－a)＝－eq\f(2*＋1,2*－a).化簡可得a＝1，則eq\f(2*＋1,2*－1)＞3，即eq\f(2*＋1,2*－1)－3＞0，即eq\f(2*＋1－32*－1,2*－1)＞0，故不等式可化為eq\f(2*－2,2*－1)＜0，即1＜2*＜2，解得0＜*＜1，應選C.答案：C(2)函數f(*)＝eq\f(a*＋b,1＋*2)是定義在(－1,1)上的奇函數，且＝eq\f(2,5).①確定函數f(*)的解析式；②用定義證明f(*)在(－1,1)上是增函數；③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：①∵在*∈(－1,1)上f(*)為奇函數，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(*)＝eq\f(a*,1＋*2).又∵＝eq\f(2,5)，∴eq\f(\f(a,2),1＋\f(1,4))＝eq\f(2,5).解得，a＝1.∴f(*)＝eq\f(*,1＋*2)，經檢驗適合題意．②證明：由f′(*)＝eq\f(1＋*2－2*2,1＋*22)＝eq\f(1－*2,1＋*22).*∈(－1,1)時，1－*2＞0，∴f′(*)＞0∴f(*)在(－1,1)上為增函數．③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜t－1＜1,－1＜－t＜1,t－1＜－t))得0＜t＜eq\f(1,2).(3)f(*)是R上的奇函數，當*≥0時，f(*)＝*3＋ln(1＋*)，則當*＜0時，f(*)＝()A．－*3－ln(1－*)B．*3＋ln(1－*)C．*3－ln(1－*)D．－*3＋ln(1－*)解析：當*＜0時，－*＞0，f(－*)＝(－*)3＋ln(1－*)，∵f(*)是R上的奇函數，∴當*＜0時，f(*)＝－f(－*)＝－[(－*)3＋ln(1－*)]＝*3－ln(1－*)．答案：C[方法引航]1根據奇偶性求解析式中的參數，是利用f－*＝－f*或f－*＝f*在定義域內恒成立，建立參數關系.2根據奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定義進展轉化.1．f(*)＝a*2＋b*是定義在[a－1,2a]上的偶函數，則a＋b的值是________．解析：a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1,3).f(*)＝a*2＋b*為偶函數，則b＝0，∴a＋b＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．定義在R上的偶函數y＝f(*)在[0，＋∞)上遞減，且＝0，則滿足f(*)＜0的*的集合為()A.∪(2，＋∞)B.∪(1,2)C.∪(2，＋∞)D.∪(2，＋∞)解析：選C.由題意可得f＝f＜0＝，又f(*)在[0，＋∞)上遞減，所以＞eq\f(1,2)，即*＞eq\f(1,2)或*＜－eq\f(1,2)，解得0＜*＜eq\f(1,2)或*＞2，所以滿足不等式f＜0的*的集合為∪(2，＋∞)．3．函數f(*)＝－*＋log2eq\f(1－*,1＋*)＋1，則的值為()A．2B．－2C．0D．2log2eq\f(1,3)解析：選A.由題意知，f(*)－1＝－*＋log2eq\f(1－*,1＋*)，f(－*)－1＝*＋log2eq\f(1＋*,1－*)＝*－log2eq\f(1－*,1＋*)＝－(f(*)－1)，所以f(*)－1為奇函數，則－1＋－1＝0，所以＝2.[方法探究]"多法并舉〞解決抽象函數性質問題[典例](2017·****模擬)定義在R上的函數f(*)滿足f(*＋y)＝f(*)＋f(y)，f(*＋2)＝－f(*)且f(*)在[－1,0]上是增函數，給出以下四個命題：①f(*)是周期函數；②f(*)的圖象關于*＝1對稱；③f(*)在[1,2]上是減函數；④f(2)＝f(0)，其中正確命題的序號是________(請把正確命題的序號全部寫出來)．[分析關系]①f(*＋y)＝f(*)＋f(y)隱含了用什么結論？什么方法探究？②f(*＋2)＝－f(*)，隱含了什么結論？用什么方法探究．③假設f(*)的圖象關于*＝1對稱，其解析式具備什么等式關系？從何處理探究？④f(*)在[－1,0]上的圖象與[1,2]上的圖象有什么關系？依據什么指導？⑤f(2)，f(0)從何處計算．[解析]第一步：f(*＋y)＝f(*)＋f(y)對任意*，y∈R恒成立．(賦值法)：令*＝y＝0，∴f(0)＝0.令*＋y＝0，∴y＝－*，∴f(0)＝f(*)＋f(－*)．∴f(－*)＝－f(*)，∴f(*)為奇函數．第二步：∵f(*)在*∈[－1,0]上為增函數，又f(*)為奇函數，∴f(*)在[0,1]上為增函數．第三步：由f(*＋2)＝－f(*)?f(*＋4)＝－f(*＋2)?f(*＋4)＝f(*)，(代換法)∴周期T＝4，即f(*)為周期函數．第四步：f(*＋2)＝－f(*)?f(－*＋2)＝－f(－*)．(代換法)又∵f(*)為奇函數，∴f(2－*)＝f(*)，∴關于*＝1對稱．第五步：由f(*)在[0,1]上為增函數，又關于*＝1對稱，∴[1,2]上為減函數．(對稱法)第六步：由f(*＋2)＝－f(*)，令*＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(賦值法)[答案]①②③④[回憶反思]此題用圖象法更直觀．[高考真題體驗]1．(2014·高考課標全國卷Ⅰ)設函數f(*)，g(*)的定義域都為R，且f(*)是奇函數，g(*)是偶函數，則以下結論中正確的選項是()A．f(*)g(*)是偶函數B．|f(*)|g(*)是奇函數C．f(*)|g(*)|是奇函數D．|f(*)g(*)|是奇函數解析：選C.由題意可知f(－*)＝－f(*)，g(－*)＝g(*)，對于選項A，f(－*)·g(－*)＝－f(*)·g(*)，所以f(*)g(*)是奇函數，故A項錯誤；對于選項B，|f(－*)|g(－*)＝|－f(*)|g(*)＝|f(*)|g(*)，所以|f(*)|g(*)是偶函數，故B項錯誤；對于選項C，f(－*)|g(－*)|＝－f(*)|g(*)|，所以f(*)|g(*)|是奇函數，故C項正確；對于選項D，|f(－*)g(－*)|＝|－f(*)g(*)|＝|f(*)g(*)|，所以|f(*)g(*)|是偶函數，故D項錯誤，選C.2．(2016·高考**卷)函數f(*)的定義域為R.當*＜0時，f(*)＝*3－1；當－1≤*≤1時，f(－*)＝－f(*)；當*＞eq\f(1,2)時，.則f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．2解析：選D.由題意可知，當－1≤*≤1時，f(*)為奇函數，且當*＞eq\f(1,2)時，f(*＋1)＝f(*)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.應選D.3．(2016·高考**卷)函數f(*)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜*＜1時，f(*)＝4*，則＋f(1)＝________.解析：綜合運用函數的奇偶性和周期性進展變換求值．∵f(*)為奇函數，周期為2，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.∵f(*)＝4*，*∈(0,1)，∴＝＝－4eq\f(1,2)＝－2.∴＋f(1)＝－2.答案：－24．(2015·高考課標全國卷Ⅰ)假設函數f(*)＝*ln(*＋eq\r(a＋*2))為偶函數，則a＝________.解析：由題意得f(*)＝*ln(*＋eq\r(a＋*2))＝f(－*)＝－*ln(eq\r(a＋*2)－*)，所以eq\r(a＋*2)＋*＝eq\f(1,\r(a＋*2)－*)，解得a＝1.答案：15．(2014·高考**卷)設f(*)是定義在R上的周期為2的函數，當*∈[－1,1)時，f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4*2＋2，－1≤*＜0，,*，0≤*＜1，))則＝________.解析：由易得＝，又由函數的周期為2，可得＝＝1.答案：1課時標準訓練A組根底演練1．以下函數中為偶函數的是()A．y＝*2sin*B．y＝*2cos*C．y＝|ln*|D．y＝2－*解析：選B.因為y＝*2是偶函數，y＝sin*是奇函數，y＝cos*是偶函數，所以A選項為奇函數，B選項為偶函數；C選項中函數圖象是把對數函數y＝ln*的圖象在*軸下方局部翻折到*軸上方，其余局部的圖象保持不變，故為非奇非偶函數；D選項為指數函數y＝，是非奇非偶函數．2．以下函數中既不是奇函數也不是偶函數的是()A．y＝2|*|B．y＝lg(*＋eq\r(*2＋1))C．D．y＝lgeq\f(1,*＋1)解析：選D.選項D中函數定義域為(－1，＋∞)，不關于原點對稱，故y＝lgeq\f(1,*＋1)不是奇函數也不是偶函數，選項A為偶函數，選項B為奇函數，選項C為偶函數．3．假設f(*)是R上周期為5的奇函數，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)等于()A．－1B．1C．－2D．2解析：選A.由f(*)是R上周期為5的奇函數知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1，應選A.4．函數f(*)為奇函數，且當*＞0時，f(*)＝*2＋eq\f(1,*)，則f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2解析：選A.當*＞0時，f(*)＝*2＋eq\f(1,*)，∴f(1)＝12＋eq\f(1,1)＝2.∵f(*)為奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.5．設f(*)是定義在R上的周期為3的函數，當*∈[－2,1)時，f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4*2－2，－2≤*≤0,*，0＜*＜1))，則＝()A．0B．1C.eq\f(1,2)D．－1解析：選D.因為f(*)是周期為3的周期函數，所以＝＝4×－2＝－1，應選D.6．函數f(*)對于任意實數*滿足條件f(*＋2)＝eq\f(1,f*)，假設f(1)＝－5，則f(f(5))＝________.解析：f(*＋2)＝eq\f(1,f*)，∴f(*＋4)＝eq\f(1,f*＋2)＝f(*)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)7．f(*)是定義在R上的偶函數，f(2)＝1，且對任意的*∈R，都有f(*＋3)＝f(*)，則f(2017)＝________.解析：由f(*＋3)＝f(*)得函數f(*)的周期T＝3，則f(2017)＝f(1)＝f(－2)，又f(*)是定義在R上的偶函數，所以f(2017)＝f(2)＝1.答案：18．函數f(*)＝e*＋*(*∈R)可表示為奇函數h(*)與偶函數g(*)的和，則g(0)＝________.解析：由題意可知h(*)＋g(*)＝e*＋*①，用－*代替*得h(－*)＋g(－*)＝e－*－*，因為h(*)為奇函數，g(*)為偶函數，所以－h(*)＋g(*)＝②.由(①＋②)÷2得g(*)＝eq\f(e*＋e－*,2)，所以g(0)＝eq\f(e0＋e0,2)＝1.答案：19．f(*)是R上的奇函數，且當*∈(－∞，0)時，f(*)＝－*lg(2－*)，求f(*)的解析式．解：設*∈(0，＋∞)，∴－*∈(－∞，0)，∴f(－*)＝*lg(2＋*)，∵f(*)為奇函數，f(－*)＝－f(*)，∴－f(*)＝*lg(2＋*)，∴f(*)＝－*lg(2＋*)．又∵當*＝0時，f(0)＝0，適合f(*)＝－*lg(2＋*)∴f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－*lg2＋**∈[0，＋∞,－*lg2－**∈－∞，0))10．函數f(*)＝*2＋eq\f(a,*)(*≠0，常數a∈R)．(1)討論函數f(*)的奇偶性，并說明理由；(2)假設函數f(*)在[2，＋∞)上為增函數，**數a的取值范圍．解：(1)函數f(*)的定義域為{*|*≠0}，當a＝0時，f(*)＝*2(*≠0)，顯然為偶函數；當a≠0時，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函數f(*)＝*2＋eq\f(a,*)(*≠0)既不是奇函數，也不是偶函數．(2)f′(*)＝2*－eq\f(a,*2)＝eq\f(2*3－a,*2)，當a≤0時，f′(*)＞0，則f(*)在[2，＋∞)上是增函數；當a＞0時，令f′(*)＝eq\f(2*3－a,*2)≥0，解得*≥，由f(*)在[2，＋∞)上是增函數，可知≤2，解得0＜a≤16.綜上，實數a的取值范圍是(－∞，16]．B組能力突破1．假設f(*)是定義在R上的函數，則"f(0)＝0〞是"函數f(*)為奇函數〞的()A．必要不充分條件B．充要條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.f(*)在R上為奇函數?f(0)＝0；f(0)＝0f(*)在R上為奇函數，如f(*)＝*2，應選A.2．定義在R上的奇函數f(*)和偶函數g(*)滿足f(*)＋g(*)＝＋2(a＞0，且a≠1)．假設g(2)＝a，則f(2)等于()A．2B.eq\f(15,4)C.eq\f(17,4)D．a2解析：選B.∵f(*)為奇函數，g(*)為偶函數，∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②由①、②聯立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝eq\f(15