二次函數——初中數學第六冊教案

〖學問點〗二次函數、拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

〖大綱要求〗

1．理解二次函數的概念；

2．會把二次函數的一般式化為頂點式，確定圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向，會用描點法畫二次函數的圖象；

3．會平移二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象得到二次函數y＝a(ax＋m)2＋k的圖象，了解特別與一般相互聯系和轉化的思想；

4．會用待定系數法求二次函數的解析式；

5．利用二次函數的圖象，了解二次函數的增減性，會求二次函數的圖象與x軸的交點坐標和函數的最大值、最小值，了解二次函數與一元二次方程和不等式之間的聯系。

內容

（1）二次函數及其圖象

假如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0),那么，y叫做x的二次函數。

二次函數的圖象是拋物線，可用描點法畫出二次函數的圖象。

（2）拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點是

拋物線y=a（x+h）2+k(a≠0)的頂點是（-h，k），對稱軸是x=-h.

〖考察重點與常見題型〗

1．考察二次函數的定義、性質，有關試題常消失在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數y＝(m－2)x2＋m2－m－2額圖像經過原點，

則m的值是（）

2．綜合考察正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同始終角坐標系內考察兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，假如函數y＝kx＋b的圖像在第一、二、三象限內，那么函數

y＝kx2＋bx－1的圖像大致是（）

ABCD

3．考察用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題消失的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x＝，求這條拋物線的解析式。

4．考察用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

5．考察代數與幾何的綜合力量，常見的作為專項壓軸題。

習題1:

一、填空題：（每題3分，共30分）

１、已知Ａ（３，６）在第一象限，則點Ｂ（３，－６）在第（）象限

２、對于ｙ＝－，當ｘ＞０時，ｙ隨ｘ的增大而（）

３、二次函數ｙ＝ｘ２＋ｘ－５取最小值是，自變量ｘ的值是（）

４、拋物線ｙ＝（ｘ－１）２－７的對稱軸是直線ｘ＝（）

５、直線ｙ＝－５ｘ－８在ｙ軸上的截距是（）

６、函數ｙ＝中，自變量ｘ的取值范圍是（）

７、若函數ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１是反比例函數，則m的值為（）

８、在公式＝ｂ中，假如ｂ是已知數，則ａ＝（）

９、已知關于ｘ的一次函數ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，假如ｙ隨ｘ的增大而減小，則ｍ的取值范圍是（）

１０、某鄉糧食總產值為ｍ噸，那么該鄉每人平均擁有糧食ｙ（噸），與該鄉人口數ｘ的函數關系式是（）

二、選擇題：（每題3分，共30分）

１１、函數ｙ＝中，自變量ｘ的取值范圍（）

(Ａ)ｘ＞５(Ｂ)ｘ＜５(Ｃ)ｘ≤５(Ｄ)ｘ≥５

１２、拋物線ｙ＝（ｘ＋３）２－２的頂點在（）

(Ａ)第一象限(Ｂ)其次象限(Ｃ)第三象限(Ｄ)第四象限

１３、拋物線ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）與坐標軸交點的個數為（）

(Ａ)０(Ｂ)１(Ｃ)２(Ｄ)３

１４、以下各圖中能表示函數和在同一坐標系中的圖象大致是（）

(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

15．平面三角坐標系內與點（3，－5）關于ｙ軸對稱點的坐標為（）

（A）（－3,5）（B）（3,5）（C）（－3，－5）（D）（3，－5）

16．以下拋物線，對稱軸是直線ｘ＝的是（）

（A）ｙ＝ｘ2（B）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D）ｙ＝ｘ2－ｘ－2

17．函數ｙ＝中，ｘ的取值范圍是（）

（A）ｘ≠0（B）ｘ＞（C）ｘ≠（D）ｘ＜

18．已知A（0,0），B（3,2）兩點，則經過A、B兩點的直線是（）

（A）ｙ＝ｘ（B）ｙ＝ｘ（C）ｙ＝3ｘ（D）ｙ＝ｘ＋1

19．不管ｍ為何實數，直線ｙ＝ｘ＋2ｍ與ｙ＝－ｘ＋4的交點不行能在（）

20．某幢建筑物，從10米高的窗口A用水管和向外噴水，噴的水流呈拋物線（拋物線所在平面與墻面垂直，（如圖）假如拋物線的最高點M離墻1米，離地面米，則水流下落點B離墻距離OB是（）

（A）2米（B）3米（C）4米（D）5米

三．解答以下各題（21題6分，22----25每題4分，26-----28每題6分，共40分）

21．已知：直線ｙ＝ｘ＋ｋ過點A（4，－3）。（1）求ｋ的值；（2）推斷點B（－2，－6）是否在這條直線上；（3）指出這條直線不過哪個象限。

22．已知拋物線經過A（0，3），B（4,6）兩點，對稱軸為ｘ＝，

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）試證明這條拋物線與X軸的兩個交點中，必有一點C，使得對于ｘ軸上任意一點D都有AC＋BC≤AD＋BD。

23．已知：金屬棒的長1是溫度ｔ的一次函數，現有一根金屬棒，在O℃時長度為200ｃｍ，溫度提高1℃，它就伸長0.002ｃｍ。

（1）求這根金屬棒長度ｌ與溫度ｔ的函數關系式；

（2）當溫度為100℃時，求這根金屬棒的長度；

（3）當這根金屬棒加熱后長度伸長到201.6ｃｍ時，求這時金屬棒的溫度。

24．已知ｘ1，ｘ2，是關于ｘ的方程ｘ2－3ｘ＋ｍ＝0的兩個不同的實數根，設ｓ＝ｘ12＋ｘ22

（1）求S關于ｍ的解析式；并求ｍ的取值范圍；

（2）當函數值ｓ＝7時，求ｘ13＋8ｘ2的值；

25．已知拋物線ｙ＝ｘ2－（ａ＋2）ｘ＋9頂點在坐標軸上，求ａ的值。

２６、如圖，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠，截取ＡＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ｘ，已知ＡＢ＝６，ＣＤ＝３，ＡＤ＝４，求：

（１）四邊形ＣＧＥＦ的面積Ｓ關于ｘ的函數表達式和Ｘ的取值范圍；

（２）當ｘ為何值時，Ｓ的數值是ｘ的４倍。

２７、國家對某種產品的稅收標準原定每銷售１００元需繳稅８元（即稅率為８％），臺洲經濟開發區某工廠規劃銷售這種產品ｍ噸，每噸２０００元。國家為了減輕工人負擔，將稅收調整為每１００元繳稅（８－ｘ）元（即稅率為（８－ｘ）％），這樣工廠擴大了生產，實際銷售比原規劃增加２ｘ％。

（１）寫出調整后稅款ｙ（元）與ｘ的函數關系式，指出ｘ的取值范圍；

（２）要使調整后稅款等于原規劃稅款（銷售ｍ噸，稅率為８％）的７８％，求ｘ的值．

２８、已知拋物線ｙ＝ｘ２＋（２－ｍ）ｘ－２ｍ（ｍ≠２）與ｙ軸的交點為Ａ，與ｘ軸的交點為Ｂ，Ｃ（Ｂ點在Ｃ點左邊）

（１）寫出Ａ，Ｂ，Ｃ三點的坐標；

（２）設ｍ＝ａ２－２ａ＋４試問是否存在實數ａ，使△ＡＢＣ為Ｒｔ△？若存在，求出ａ的值，若不存在，請說明理由；

（３）設ｍ＝ａ２－２ａ＋４，當∠ＢＡＣ最大時，求實數ａ的值。

習題2:

一．填空（20分）

1．二次函數=2（x-）2+1圖象的對稱軸是（）。

2．函數y=

3．若一次函數y=（m-3）x+m+1的圖象過一、二、四象限，則的取值范圍是（）。

4．已知關于的二次函數圖象頂點（1，-1），且圖象過點（0，-3），則這個二次函數解析式為（）。

5．若y與x2成反比例，位于第四象限的一點P（a，b）在這個函數圖象上，且a,b是方程x2-x-12=0的兩根，則這個函數的關系式（）。

6．已知點P（1，a）在反比例函數y=

8．二次函數y=ax2+bx+c+（a

在坐標系中位于第（）象限

9．二次函數y=（x-1）2+（x-3）2，當x=（）時，到達最小值（）。

10．拋物線y=x2-（2m-1）x-6m與x軸交于（x1，0）和（x2，0）兩點，已知x1x2=x1+x2+49，要使拋物線經過原點，應將它向右平移（）個單位。

二．選擇題（30分）

11．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標（）

（A）（0，8）（B）（0，-8）（C）（0，6）（D）（-2，0）（-4，0）

12．拋物線y=-

（A）（1，3）（B）（1，-3）（C）（-1，-3）（D）（-1，3）

14．函數y=

（A）x

15．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）

（A）=3（x+3）2-2（B）=3（x+2）2+2（C）=3（x-3）2-2（D）=3（x-3）2+2

16．已知拋物線=x2+2mx+m-7與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，則關于x的方程

（A）有兩個正根（B）有兩個負數根（C）有一正根和一個負根（D）無實根

17．函數y=-x的圖象與圖象y=x+1的交點在（）

（A）

18．假如以y軸為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象，如圖，

則代數式b+c-a與0的關系（）

（A）b+c-a=0（B）b+c-a0（C）b+c-a0（D）不能確定

19．已知：二直線y=-

（A）6（B）10（C）20（D）12

三．解答題（21~23每題5分，24~28每題7分，共50分）

21．已知拋物線y=ax2+bx+c（a

（1）確定拋物線的解析式；

（2）用配方法確定拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標。

(1)直線AB的解析式；

(2)拋物線的解析式。

23、某商場銷售一批名脾襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快削減庫存，商場打算實行適當的降價措施．經調查發覺每件襯衫降價1元，商場平均每天可多售出2件：

(1)若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫要降價多少元，

(2)每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多?

24、已知：二次函數

25、如圖，已知⊿ABC是邊長為4的正三角形，AB在x軸上，點C在第一象限，AC與y軸交于點D，點A的坐標為{—1，0)，求

(1)B，C，D三點的坐標；

(2)拋物線

(3)過點D作DE∥AB交過B，C，D三點的拋物線于E，求DE的長。

26某市電力公司為了鼓舞居民用電，采納分段計費的方法計算電費：每月用電不超100度

時，按每度0．57元計費：每月用電超過100度時．其中的100度仍按原標準收費，超過局部按每度0．50元計費。

(1)設月用電x度時，應交電費y元，當x≤100和x100時，分別寫出y關于x的函數

關系式；

(2)小王家第一季度交納電費狀況如下：

月份

一月份

二月份

三月份

合計

交費金額

76元

63元

45元6角

184元6角

問小王家第一季度共用電多少度?

27、巳知：拋物線

(1)求證；不管m取何值，拋物線與x軸必有兩個交點，并且有一個交點是A(2，0)；

(2)設拋物線與x軸的另一個交點為B，AB的長為d，求d與m之間的函數關系式；

(3)設d=10，P(a，b)為拋物線上一點：

①當⊿AＢＰ是直角三角形時，求b的值；

②當⊿ABＰ是銳角三角形，鈍角三角形時，分別寫出b的取值范圍(第2題不要求寫出過程)

28、已知二次函數的圖象

(1)若⊿ABC為Rt⊿，求m的值；

(1)在⊿ABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值；

(3)設⊿ABC的面積為S，求當m為何值時，s有最小值．并求這個最小值。

〖學問點〗二次函數、拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

〖大綱要求〗

1．理解二次函數的概念；

2．會把二次函數的一般式化為頂點式，確定圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向，會用描點法畫二次函數的圖象；

3．會平移二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象得到二次函數y＝a(ax＋m)2＋k的圖象，了解特別與一般相互聯系和轉化的思想；

4．會用待定系數法求二次函數的解析式；

5．利用二次函數的圖象，了解二次函數的增減性，會求二次函數的圖象與x軸的交點坐標和函數的最大值、最小值，了解二次函數與一元二次方程和不等式之間的聯系。

內容

（1）二次函數及其圖象

假如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0),那么，y叫做x的二次函數。

二次函數的圖象是拋物線，可用描點法畫出二次函數的圖象。

（2）拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點是

拋物線y=a（x+h）2+k(a≠0)的頂點是（-h，k），對稱軸是x=-h.

〖考察重點與常見題型〗

1．考察二次函數的定義、性質，有關試題常消失在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數y＝(m－2)x2＋m2－m－2額圖像經過原點，

則m的值是（）

2．綜合考察正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同始終角坐標系內考察兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，假如函數y＝kx＋b的圖像在第一、二、三象限內，那么函數

y＝kx2＋bx－1的圖像大致是（）

ABCD

3．考察用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題消失的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x＝，求這條拋物線的解析式。

4．考察用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

5．考察代數與幾何的綜合力量，常見的作為專項壓軸題。

習題1:

一、填空題：（每題3分，共30分）

１、已知Ａ（３，６）在第一象限，則點Ｂ（３，－６）在第（）象限

２、對于ｙ＝－，當ｘ＞０時，ｙ隨ｘ的增大而（）

３、二次函數ｙ＝ｘ２＋ｘ－５取最小值是，自變量ｘ的值是（）

４、拋物線ｙ＝（ｘ－１）２－７的對稱軸是直線ｘ＝（）

５、直線ｙ＝－５ｘ－８在ｙ軸上的截距是（）

６、函數ｙ＝中，自變量ｘ的取值范圍是（）

７、若函數ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１是反比例函數，則m的值為（）

８、在公式＝ｂ中，假如ｂ是已知數，則ａ＝（）

９、已知關于ｘ的一次函數ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，假如ｙ隨ｘ的增大而減小，則ｍ的取值范圍是（）

１０、某鄉糧食總產值為ｍ噸，那么該鄉每人平均擁有糧食ｙ（噸），與該鄉人口數ｘ的函數關系式是（）

二、選擇題：（每題3分，共30分）

１１、函數ｙ＝中，自變量ｘ的取值范圍（）

(Ａ)ｘ＞５(Ｂ)ｘ＜５(Ｃ)ｘ≤５(Ｄ)ｘ≥５

１２、拋物線ｙ＝（ｘ＋３）２－２的頂點在（）

(Ａ)第一象限(Ｂ)其次象限(Ｃ)第三象限(Ｄ)第四象限

１３、拋物線ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）與坐標軸交點的個數為（）

(Ａ)０(Ｂ)１(Ｃ)２(Ｄ)３

１４、以下各圖中能表示函數和在同一坐標系中的圖象大致是（）

(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

15．平面三角坐標系內與點（3，－5）關于ｙ軸對稱點的坐標為（）

（A）（－3,5）（B）（3,5）（C）（－3，－5）（D）（3，－5）

16．以下拋物線，對稱軸是直線ｘ＝的是（）

（A）ｙ＝ｘ2（B）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D）ｙ＝ｘ2－ｘ－2

17．函數ｙ＝中，ｘ的取值范圍是（）

（A）ｘ≠0（B）ｘ＞（C）ｘ≠（D）ｘ＜

18．已知A（0,0），B（3,2）兩點，則經過A、B兩點的直線是（）

（A）ｙ＝ｘ（B）ｙ＝ｘ（C）ｙ＝3ｘ（D）ｙ＝ｘ＋1

19．不管ｍ為何實數，直線ｙ＝ｘ＋2ｍ與ｙ＝－ｘ＋4的交點不行能在（）

20．某幢建筑物，從10米高的窗口A用水管和向外噴水，噴的水流呈拋物線（拋物線所在平面與墻面垂直，（如圖）假如拋物線的最高點M離墻1米，離地面米，則水流下落點B離墻距離OB是（）

（A）2米（B）3米（C）4米（D）5米

三．解答以下各題（21題6分，22----25每題4分，26-----28每題6分，共40分）

21．已知：直線ｙ＝ｘ＋ｋ過點A（4，－3）。（1）求ｋ的值；（2）推斷點B（－2，－6）是否在這條直線上；（3）指出這條直線不過哪個象限。

22．已知拋物線經過A（0，3），B（4,6）兩點，對稱軸為ｘ＝，

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）試證明這條拋物線與X軸的兩個交點中，必有一點C，使得對于ｘ軸上任意一點D都有AC＋BC≤AD＋BD。

23．已知：金屬棒的長1是溫度ｔ的一次函數，現有一根金屬棒，在O℃時長度為200ｃｍ，溫度提高1℃，它就伸長0.002ｃｍ。

（1）求這根金屬棒長度ｌ與溫度ｔ的函數關系式；

（2）當溫度為100℃時，求這根金屬棒的長度；

（3）當這根金屬棒加熱后長度伸長到201.6ｃｍ時，求這時金屬棒的溫度。

24．已知ｘ1，ｘ2，是關于ｘ的方程ｘ2－3ｘ＋ｍ＝0的兩個不同的實數根，設ｓ＝ｘ12＋ｘ22

（1）求S關于ｍ的解析式；并求ｍ的取值范圍；

（2）當函數值ｓ＝7時，求ｘ13＋8ｘ2的值；

25．已知拋物線ｙ＝ｘ2－（ａ＋2）ｘ＋9頂點在坐標軸上，求ａ的值。

２６、如圖，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠，截?。粒牛剑拢疲剑模牵剑阎粒拢剑?，ＣＤ＝３，ＡＤ＝４，求：

（１）四邊形ＣＧＥＦ的面積Ｓ關于ｘ的函數表達式和Ｘ的取值范圍；

（２）當ｘ為何值時，Ｓ的數值是ｘ的４倍。

２７、國家對某種產品的稅收標準原定每銷售１００元需繳稅８元（即稅率為８％），臺洲經濟開發區某工廠規劃銷售這種產品ｍ噸，每噸２０００元。國家為了減輕工人負擔，將稅收調整為每１００元繳稅（８－ｘ）元（即稅率為（８－ｘ）％），這樣工廠擴大了生產，實際銷售比原規劃增加２ｘ％。

（１）寫出調整后稅款ｙ（元）與ｘ的函數關系式，指出ｘ的取值范圍；

（２）要使調整后稅款等于原規劃稅款（銷售ｍ噸，稅率為８％）的７８％，求ｘ的值．

２８、已知拋物線ｙ＝ｘ２＋（２－ｍ）ｘ－２ｍ（ｍ≠２）與ｙ軸的交點為Ａ，與ｘ軸的交點為Ｂ，Ｃ（Ｂ點在Ｃ點左邊）

（１）寫出Ａ，Ｂ，Ｃ三點的坐標；

（２）設ｍ＝ａ２－２ａ＋４試問是否存在實數ａ，使△ＡＢＣ為Ｒｔ△？若存在，求出ａ的值，若不存在，請說明理由；

（３）設ｍ＝ａ２－２ａ＋４，當∠ＢＡＣ最大時，求實數ａ的值。

習題2:

一．填空（20分）

1．二次函數=2（x-）2+1圖象的對稱軸是（）。

2．函數y=

3．若一次函數y=（m-3）x+m+1的圖象過一、二、四象限，則的取值范圍是（）。

4．已知關于的二次函數圖象頂點（1，-1），且圖象過點（0，-3），則這個二次函數解析式為（）。

5．若y與x2成反比例，位于第四象限的一點P（a，b）在這個函數圖象上，且a,b是方程x2-x-12=0的兩根，則這個函數的關系式（）。

6．已知點P（1，a）在反比例函數y=

8．二次函數y=ax2+bx+c+（a

在坐標系中位于第（）象限

9．二次函數y=（x-1）2+（x-3）2，當x=（）時，到達最小值（）。

10．拋物線y=x2-（2m-1）x-6m與x軸交于（x1，0）和（x2，0）兩點，已知x1x2=x1+x2+49，要使拋物線經過原點，應將它向右平移（）個單位。

二．選擇題（30分）

11．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標（）

（A）（0，8）（B）（0，-8）（C）（0，6）（D）（-2，0）（-4，0）

12．拋物線y=-

（A）（1，3）（B）（1，-3）（C）（-1，-3）（D）（-1，3）

14．函數y=

（A）x

15．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）

（A）=3（x+3）2-2（B）=3（x+2）2+2（C）=3（x-3）2-2（D）=3（x-3）2+2

16．已知拋物線=x2+2mx+m-7與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，則關于x的方程

（A）有兩個正根（B）有兩個負數根（C）有一正根和一個負根（D）無實根

17．函數y=-x的圖象與圖象y=x+1的交點在（）

（A）

18．假如以y軸為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象，如圖，

則代數式b+c-a與0的關系（）

（A）b+c-a=0（B）b+c-a0（C）b+c-a0（D）不能確定

19．已知：二直線y=-

（A）6（B）10（C）20（D）12

三．解答題（21~23每題5分，24~28每題7分，共50分）

21．已知拋物線y=