12.1矩陣的概念

九章算術(shù)2【歷史回顧】

矩陣這個概念是從解線性方程組中產(chǎn)生的。我國現(xiàn)存的最古老的數(shù)學(xué)書《九章算術(shù)》中，就有一個線性方程組的例子：古人把系數(shù)排成如下圖所示這種數(shù)表就是矩陣！！32.1.1矩陣的概念引例【學(xué)生就業(yè)】

隨著地方經(jīng)濟的快速發(fā)展，高職院校畢業(yè)生就業(yè)率逐年上升，下表列出某校四個系近三年的就業(yè)情況：

年份就業(yè)率（％）機電系經(jīng)管系土木工程系電氣系

200386858887

200492939594

20051009998984定義把由m×n個數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列(或m×n)矩陣稱為矩陣第i行第j列的元素5矩陣通常用A，B，C，…大寫字母表示或簡寫為6案例【產(chǎn)品產(chǎn)量】

某公司有三個班組，第一天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量（件）報表表示為矩陣表示7案例【矩陣管理】

某配送中心為順利地完成各種物流配送活動和改善配送作業(yè)實行矩陣管理，其矩陣組織結(jié)構(gòu)形式如圖：8案例【對策模型-田忌賽馬】輸者要付給勝者一千兩黃金，一輪賽三次，每匹馬都參加。當(dāng)時，同等級的馬中，齊王的馬比田忌的馬要強，這樣，如果齊王和田忌都是一、二、三等馬依次參賽的話（即策略同為：一等馬先參賽，其次是二等馬參賽，最后是三等馬參賽），田忌就可能輸三千兩黃金。田忌有獲勝的可能嗎？問題提出

戰(zhàn)國時期,齊國的國王與國內(nèi)一個名叫田忌的大將軍進行賽馬,雙方約定,各自出三匹馬,分別為三個等級,即一等馬(好的)、二等馬（中等的）、三等馬（差的）各一匹，比賽時，每次雙方各從自己的三匹馬中任選一匹來比賽。9模型分析

對于像齊王賽馬這種雙方競爭的對策稱為二人對策，在二人對策中，一個局中人的贏得等于另一個局中人的輸?shù)簦Q這類二人對策為二人零和對策，贏得的數(shù)字稱為對策的值。每當(dāng)齊王贏得一千兩黃金時，就可以看成他的贏得為＋1，這時田忌的贏得看成是－1；如果齊王輸?shù)粢磺牲S金，就看成他的贏得為－1，這時田忌的贏得為＋1。于是，在對策的結(jié)局，雙方的贏得之和為零，這就是“零和”對策稱呼的來由。

[zwy1]該段文字單擊鼠標(biāo)后隱藏10模型建立表示齊王先用一等馬，再用二等馬，最后用三等馬參賽。齊王共有如下六個策略

田忌也有六個策略

11齊王的贏得（單位為千兩黃金）：齊王的贏得矩陣12

2005年8月1日東亞女子足球四強賽中，韓國隊采用“田忌賽馬”戰(zhàn)術(shù)重點制定防守策略，以2-0戰(zhàn)勝中國女足，結(jié)束了延續(xù)１５年“逢中必敗”的歷史。模型應(yīng)用132.1.2特殊矩陣1．列矩陣

矩陣只有一列，即n=1，2．行矩陣矩陣只有一行，即m=1，3．n階方陣矩陣的行數(shù)與列數(shù)相同，即m=n，主對角線n階對角方陣n階單位陣

4．零矩陣，記做O.每一個元素都為零的矩陣稱為零矩陣。記做En

142.1.3矩陣相等問題：不相等！什么是矩陣相等？定義：記做A=B

兩個m行n列的矩陣相等，是指它們的對應(yīng)元素都分別相等，即15已知而且A=B.求.根據(jù)矩陣相等的定義，可得方程組例解16課堂練習(xí)【高校招生】

隨著地方經(jīng)濟的快速發(fā)展，某高職院校辦學(xué)質(zhì)量率不斷提高，招生情況也逐年上升，下表列出某校四個系近三年的招生情況：

年份招生人數(shù)（人）機電系經(jīng)管系土木工程系電氣系2003868588872004929395942005100999898試寫出表示該高職院校招生情況的矩陣。17

年份招生人數(shù)（人）機電系經(jīng)管系土木工程系電氣系200386858887200492939594200510099989818【石頭-剪刀-布】

游戲雙方每次出拳只能選石頭、剪刀、布中的一種，石頭贏剪刀，剪刀贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，見下表。試寫出此游戲的贏得矩陣。

石頭剪刀

布石頭01-1剪刀-101布1-1019

石頭剪刀

布石頭01-1剪刀-101布1-1020思考題解212.2矩陣的運算2.2.1矩陣的加法問題：

若某公司有三個班組，兩天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量（件）報表分別用矩陣A、B表示為則兩天生產(chǎn)數(shù)量的匯總報表為多少？22兩個矩陣只有當(dāng)它們的行數(shù)和列數(shù)相同時，才可以進行加減法運算定義對于一般的兩個m行n列的矩陣相加，它們的和為即23運算律：1、交換律其中A、B、C都是m行n列矩陣2、結(jié)合律24例解

已知求A+B，A-B.25案例【肉類供應(yīng)】

設(shè)甲、乙兩個豬肉加工廠分別給Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個酒店供應(yīng)豬肉，若全年的供應(yīng)量和前三個季度的供應(yīng)量（單位：噸），如下表所示：231.5343

乙2.542453

甲ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ

供應(yīng)量

前三個季度

全年求第四個季度的供應(yīng)情況26解

若分別用A、B兩個矩陣表示全年與前三個季度供應(yīng)量，則第四季度的供應(yīng)情況應(yīng)是矩陣A減去矩陣B，即27案例【學(xué)生成績】

某高職院校3名學(xué)生甲、乙、丙的數(shù)學(xué)、計算機、英語3門課程的考試成績?nèi)缦?，且每個學(xué)生每一門課有兩次測驗和一次期末考試，按10分為標(biāo)準(zhǔn)成績。試求每個學(xué)生每門課程三次的總成績.28解設(shè)每個學(xué)生每門課程三次的總成績矩陣T，則由題意得29課堂練習(xí)1．已知2.已知303.【產(chǎn)品產(chǎn)量】

某公司有甲、乙兩車間生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，上、下半年的產(chǎn)量如下表所示:

產(chǎn)品全年的總產(chǎn)量為多少？試求該公司兩車間生產(chǎn)三種

320880350乙車間560640210甲車間

產(chǎn)品

產(chǎn)品

產(chǎn)品上半年產(chǎn)量（臺）520740270乙車間500150甲車間

產(chǎn)品

產(chǎn)品

產(chǎn)品440下半年產(chǎn)量（臺）312.2.2數(shù)乘矩陣問題：

若某公司兩天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量（件）完全相同，即則兩天生產(chǎn)數(shù)量為多少?32定義即并且規(guī)定對于一個數(shù)k與一個m行n列矩陣相乘，它們的乘積為

33案例【新生入學(xué)】下表為某高校在2003和2004年入學(xué)新生分布情況：年份性別本地外地2003男20005002500300女1400200（1）求2004年相對與2003年入學(xué)人數(shù)的增減情況.（2）如果2005年相對于2004年入學(xué)增長人數(shù)預(yù)計比2004年相對于

2003年入學(xué)增長人數(shù)再增加10%（假設(shè)各類人數(shù)同比例增長），求2005年入學(xué)新生的人數(shù)分布情況.34

設(shè)2003年入學(xué)情況用矩陣A表示，2004年用矩陣B表示，即即本地男生增加了500人，女生增加了100人；外地男生減少了200人，女生增加了100人。（1）2004年相對與2003年入學(xué)人數(shù)的增減情況可由求得，即解35即2005年入學(xué)人數(shù)本地男生2550人，女生1410人；外地男生280人，女生210人。(2)由題意得2005年人數(shù)為，即36運算律：

（1）分配律：

（2）結(jié)合律：其中A、B都是m行n列矩陣，為任意數(shù)。37課堂練習(xí)382.2.3矩陣的乘法問題：

若用矩陣A表示某車間一天內(nèi)三個班的產(chǎn)品甲和乙的產(chǎn)量，用矩陣D表示產(chǎn)品甲和乙的單位售價和單位利潤，即

若用矩陣E表示三個班組一天創(chuàng)造的產(chǎn)總產(chǎn)值和總利潤，則矩陣E為多少？39E的元素正是矩陣A的第1行與矩陣D的第1列所有對應(yīng)元素的乘積之和；是A的第1行與D的第2列所有對應(yīng)元素的乘積之和40定義

41

=

·

這個乘法可以圖示如下：說明：3）若A是方陣，則將乘積AA記為，個方陣A相乘記為1）AB=C中要求A的列數(shù)與B的行數(shù)相等，乘積C的行數(shù)同A的行數(shù)，列數(shù)同B的列數(shù).2）C中第i行第j列元素為A中第i行與B中第j列按順序?qū)?yīng)元素乘積之和，簡稱為A的第i行與B的第j列相乘.42例解43案例【建筑工程】某校明年計劃建筑教學(xué)樓與宿舍樓的建筑面積及消耗用量如下表：項目建筑面積（100m2）每100m2材料耗用量明年后年鋼材（t）水泥（t）木材（m3）教學(xué)樓20302184宿舍樓10201155試將明后兩年建筑材料用量用矩陣形式表示出來。44解

則明后兩年建筑材料用量為45案例【運動會成績】

下表是某高職院校某系一年級三個班在校會上獲得名次的統(tǒng)計:（1）請分別算出②班、③班第一名、第二名共為本班得多少分

(第一到第四名的分值依次為7、5、4、3).（2）計算出各班團體總分.4232③班5541②班3113①班第四名第三名第二名第一名（單位：人次）46解

（1）以上的表格及運算過程可以用這樣的矩形的數(shù)表來表達：故②、③班第一名、第二名共為本班得27分、29分（2）故①、②、③各班團體總分分別為39分、62分、49分47例

試用矩陣表示三元一次方程組解

依據(jù)矩陣的乘法，于是，方程組可表示為AX=B48運算律：（1）分配律（2）結(jié)合律其中A、B、C為矩陣，k為任意實數(shù)49矩陣乘法滿足交換律嗎？矩陣乘法滿足消去律嗎？注意：1.矩陣乘法不滿足交換律和消去律50課堂練習(xí)

513.【電器銷售】

某地區(qū)甲、乙、丙三家商場同時銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣表示各商場銷售這兩種家用電器的日平均銷售量(單位：臺)，用表示兩種家用電器的單位售價(單位：千元)和單位利潤(單位：千元)：求這三家商場銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤.522.2.4轉(zhuǎn)置矩陣引例

若用矩陣A表示某車間三個班組一天的產(chǎn)量，用矩陣H表示甲和乙的單位產(chǎn)品所需的原料1和原料2，即53

問題：矩陣H與矩陣F有什么關(guān)系？

若用矩陣F表示三個班組一天所需原料1和原料2的克數(shù)，則有54定義一般地，設(shè)矩陣則稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣.若A為m行n列，則

為n行m列若用代替第i行j列位置上的元素，顯然有55運算律:56案例

【電腦銷售】

某商場同時銷售三種品牌的電腦，如果用矩陣表示商場銷售這電腦的日平均銷售量(單位：臺)；表示電腦的單位售價(單位：千元)和單位利潤(單位：千元)：

求這家商場銷售電腦的日總收入和總利潤.57解

該商場銷售電腦的日總收入和總利潤為58例

解

59課堂練習(xí)1.求矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。2.設(shè)矩陣=603.【電器銷售】

某公司有電水壺、電風(fēng)扇、電磁爐三種商品，由甲、乙、丙三個超市。日銷售量、各種商品的單位價格利潤如下表所示。試求出各超市的當(dāng)日銷售額和利潤。ⅠⅡⅢ甲乙丙483618424012352624單位價格（元/件）150180300單位利潤（元/件）20306061各超市的當(dāng)日銷售額和利潤為解超市甲乙丙日銷售額（元）190801710017130日利潤（元）31202760292062矩陣的加(減)法及其運算.矩陣的數(shù)乘及其運算.矩陣的乘法及其運算.矩陣的轉(zhuǎn)置及其運算.矩陣四種運算在案例中的應(yīng)用.小結(jié)

632.3線性方程組2.3.1線性方程組的概念2.3.2矩陣的初等變換2.3.3高斯（Gauss）消元法2.3.4線性方程組解的存在性642.3.1線性方程組的概念引例【物資調(diào)用】

某公司有一批貨物可運往甲、乙、丙三地銷售，每噸運費及售價如表所示甲乙丙運費（元）342售價（元）796這種關(guān)系，就構(gòu)成了一個三元線性方程組.分別表示總運輸費和總銷售額，表示運往甲、乙、丙三地的貨物噸數(shù)，則可得與之間的關(guān)系65元線性方程組

是未知量（也稱未知數(shù)），

方程組稱為非齊次線性方程組

方程組稱為齊次線性方程組66線性方程組的矩陣形式為系數(shù)矩陣

為未知矩陣

為常數(shù)矩陣，

為線性方程組的增廣矩陣非齊次線性方程組唯一地被其增廣矩陣所確定

67例

用矩陣形式表示引例中的方程組解

系數(shù)矩陣常數(shù)矩陣線性方程組的矩陣表示為或68引例【玩具產(chǎn)量】

某廠商生產(chǎn)三種玩具A、B、C，而制造這三種玩具是由三種零件組合而成，所需零件數(shù)如下表所示213311121121CBA

零件原料

現(xiàn)有這三種零件分別為8萬個、6萬個、12萬個，問能生產(chǎn)玩具A、B、C各多少個？69解

設(shè)生產(chǎn)玩具A、B、C分別為萬個，并將求解過程變成相應(yīng)的增廣矩陣的運算交換方程(1)與方程(2)的位置增廣矩陣線性方程組70增廣矩陣線性方程組71增廣矩陣線性方程組線性方程組的解為72上述求解過程實際上是對線性方程組進行如下運算：（1）互換兩個方程的位置；（3）用一個非零數(shù)乘某個方程后加到另一個方程上.這三種運算每一種都稱為線性方程組的初等變換.相對應(yīng)的增廣矩陣的三種行之間的運算稱為矩陣的初等行變換.總結(jié)（2）用一個非零的數(shù)乘某個方程的兩端；732.3.2矩陣的初等變換定義1、兩行互換互換2、某一行的每一個元素都乘以一個不等于零的常數(shù)k數(shù)乘3、某一行的每一個元素加上另一行的對應(yīng)元素的k倍對換74例對矩陣

的行作初等變換

解

75案例【平面圖形變換】

下列圖展示了初等行變換如何使平面圖形變化的.右圖是原始圖形對應(yīng)的單位矩陣.下面三個圖分別對應(yīng)由右圖經(jīng)過初等行變換等到的圖形，圖下標(biāo)注了初等行變換對應(yīng)的矩陣.互換數(shù)乘倍加76階梯形矩陣（1）全零行（元素全為0的行）位于矩陣的下方.（2）各非零行的第一個非零元素（稱為主元，即左起第一個非零元素）的列指標(biāo)隨行指標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大.Eg.定義77簡化階梯形矩陣(或行最簡階梯形矩陣)除具有階梯形矩陣的兩條特征外，還有以下兩條特征：1.主元為12.主元所在列的其他元素全為0.Eg.都是階梯形矩陣，后兩個矩陣還是簡化階梯形矩陣.定義78

任何一個矩陣A都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形矩陣；并再經(jīng)過若干次初等行變換，進一步化為簡化階梯形矩陣.79例用初等行變換把矩陣化為階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣。解A8081矩陣的秩

無論對矩陣A怎樣進行初等變換,它的階梯形矩陣或簡化階梯形矩陣的非零行的行數(shù)都是確定的.因此,就稱矩陣A的階梯形矩陣或簡化階梯形矩陣的非零行的行數(shù)稱為矩陣A的秩,記為r(A).82矩陣A的階梯形矩陣非零行的行數(shù)為3，所以r(A)=3.上例中83案例【調(diào)味品配制】

某調(diào)料有限公司用6種成分來制造多種調(diào)味制品。以下表格列出了5種調(diào)味制品A、B、C、D、E每包所需各成分的量如下：

ABCDE紅辣椒31.54.57.54.5姜黃24086胡椒12043丁香油12043大蒜粉0.51021.5鹽0.250.5020.75

一顧客為避免購買全部5種調(diào)味品，他可以只購買其中的一部分并用它配制出其余幾種調(diào)味品。問這位顧客必須購買的最少的調(diào)味品的種類是多少？寫出所需最少的調(diào)味品的集合。

84解

5種調(diào)味品各自的成分可用列矩陣來表示，即把它們組裝成一個矩陣，得85經(jīng)過初等行變換化為行最簡階梯形矩陣故r(M)=r(F)=3，B中5個列矩陣反映了5種調(diào)味品經(jīng)過某種混合后的狀態(tài),其中兩種調(diào)味品可用其它3種調(diào)味配制出來，即86此關(guān)系式對原調(diào)味品來講就是

即A、E兩種調(diào)味品可通過B、C、D調(diào)制，所以B、C、D三種調(diào)味品為最小調(diào)味品集合。因為考慮問題的實際意義，系數(shù)不可為負(fù)，則上式可化為87課堂練習(xí)下列矩陣哪些是階梯形矩陣，階梯形矩陣中哪些是簡化階梯形矩陣?階梯形矩陣簡化階梯形矩陣

882.對矩陣的行作初等變換.4.若,則矩陣的秩為多少?3.設(shè)用初等行變換把A化為階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣.892.3.3高斯（Gauss）消元法案例【工序安排】

一工廠有1000小時用于生產(chǎn)、維修和檢驗。各工序的工作時間分別為，且滿足：求各工序所用時間分別為多少？由題意得該方程組的增廣矩陣為解90對增廣矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡階梯形矩陣得原線性方程組的同解方程組91案例【交通流量】

某地區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)如圖所示，在高峰時間，每小時進入網(wǎng)絡(luò)的汽車是900輛，等于離開網(wǎng)絡(luò)的車輛數(shù)，設(shè)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)道路均單向通車，不能停留，在每一道路交叉點處進入及離開的車輛數(shù)也相等，求各支路交通流量為多少時，此時交通網(wǎng)絡(luò)交通流量達到平衡？400100200BA200CDE20030092解設(shè)AB段車輛數(shù)為，BC段車輛數(shù)為，CD段車輛數(shù)為ED段車輛數(shù)為，DA段車輛數(shù)為，CE段車輛數(shù)為則得方程組該方程組的增廣矩陣為93對增廣矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡階梯形矩陣94得原線性方程組的同解方程組分別取任意實數(shù)

，得方程組的解為

由于車輛數(shù)不能為負(fù)數(shù)，因此，才可得到實際問題的解。952.3.4線性方程組解的存在性引例【營養(yǎng)配餐】

一位營養(yǎng)師想組合四種食物使得一餐含有78單位的維生素A，67單位的維生素B，146單位的維生素C，153單位的維生素D，每種食物每千克的維生素含量如表所示：6755D7468C0532B6223A4321

食物維生素問營養(yǎng)師的想法是否可行？96設(shè)一餐中有這四種食物分別為千克，由題意得該方程組的增廣矩陣為解97對增廣矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡階梯形矩陣98原線性方程組的同解方程組顯然，最后一個方程出現(xiàn)了矛盾，所以原方程組無解.即營養(yǎng)師的想法不可行.99結(jié)論非齊次線性方程組有解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即(1)非齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件(2)非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件對于齊次線性方程組因此齊次線性方程組總有解（至少有零解）。2.齊次線性方程組一定有解：若，則只有零解；有非零解的充分必要條件是100例

判別下列齊次線性方程組是否有非零解？若有非零解，求出其解。解

對系數(shù)矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡階梯形矩陣101方程組有非零解原方程組的同解方程組為分別取任意實數(shù)，得齊次線性