第二篇二輪高效復習分層設(shè)計(攻關(guān)篇)第二層級重點突破增分考點(深度精研——重點攻關(guān))專題四

解析幾何重點增分專練(十一)解析幾何大題考向探究1．(2019·貴點分別為F1，F(xiàn)2，點M

為短軸的直線交橢圓

C

于A，B

兩點，且|AB|＝求橢圓

C

的方程；設(shè)經(jīng)過點(2，－1)且不經(jīng)過點

M

的直線

l

與橢圓

C點，若

k1，k2

分別是直線

MG，MH

的斜率，求

k1＋k2

的值。→

→解

(1)由MF1·MF2＝0，得

b＝c，x2

y2

b2將x＝c

代入a2＋b2＝1

中，得

y＝±a，2b2因為|AB|＝

2，所以

a

＝

2，又因為

a2＝b2＋c2，所以

a＝

2，b＝1，x22x22故橢圓

C

的方程為2

＋y

＝1。(2)由橢圓

C

的方程2

＋y

＝1

與點(2，－1)，設(shè)直線

l

的方程為

y＋1＝k(x－2)，即y＝kx－2k－1，x22將y＝kx－2k－1

代入2

＋y

＝1

中，得(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0，由題意知

Δ＝－16k(k＋2)>0，得－2<k<0，設(shè)

G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1＋x2＝1＋2k24k2k＋1

8k2＋8k，x1x2＝

1＋2k2

，1k

＋k2＝x1

x2＋

＝

＋y1－1

y2－1

kx1－2k－2

kx2－2k－2x1

x2＝2k－2k＋2×4k2k＋11＋2k28k2＋8k1＋2k2＝2k－(2k＋1)＝－1，所以

k1＋k2＝－1。x212．(2019·

Ⅲ卷)已知曲線C：y＝

2

，D

為直線

y＝－2上的動點，過

D作C

的兩條切線，切點分別為A，B。(1)證明：直線AB

過定點；

5(2)若以E0，2為圓心的圓與直線

AB

相切，且切點為線段

AB

的中點，求該圓的方程。122解

(1)設(shè)

Dt，－

，A(x1，y1)，則

x1＝2y1。1由于y′＝x，所以切線DA

的斜率為x

，故1y1＋21x

－t1＝x

。整理得2tx1－2y1＋1＝0。設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0。故直線AB

的方程為2tx－2y＋1＝0。

1所以直線AB

過定點0，2。1(2)由(1)得直線

AB

的方程為

y＝tx＋2。由1y＝tx＋2，yx2

＝

2

，可得x2－2tx－1＝0。于是

x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1。

21設(shè)M

為線段

AB

的中點，則

Mt，t

＋2。→2

2→

→

→由于EM⊥AB，而EM＝(t，t

－2)，AB與向量(1，t)平行，所以

t＋(t

－2)t＝0解得

t＝0

或t＝±1

。→2

52當t＝0

時，|EM|＝2，所求圓的方程為

x

＋y－2

＝4；當t＝±1→時，|EM|＝2522，所求圓的方程為

x

＋y－2

＝2。x2

y211

2

2

1

2

2右焦點分別為

F

，F(xiàn)

，A

為橢圓

C

上一點，AF

⊥F

F

，且|AF

|3．(2019·長沙市統(tǒng)考)已知橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)的離心率為3，左、83＝。求橢圓C的方程；設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為

A1，A2，過A1，A2

分別作x

軸的垂線l1，l2，橢圓C

的一條切線

l：y＝kx＋m

與l1，l2

分別交于M，N

兩點，求證：∠MF1N

為定值。b28

8c

12

2

2

2

2x2

y2解

(1)由

AF2⊥F1F2，|AF2|＝3，得a

＝3。又e＝a＝3，a

＝b

＋c

，所以a

＝9，b

＝8，故橢圓C

的方程為9

＋8

＝1。(2)由題意可知，l1

的方程為

x＝－3，l2

的方程為

x＝3。直線

l

分別與直線

l1，l2

的方程聯(lián)立得

M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，→

→所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F(xiàn)1N＝(4,3k＋m)，2

2→

→所以F1M·F1N＝－8＋m

－9k

。2

2x

y聯(lián)立得

9

＋8

＝1，y＝kx＋m，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0。因為直線

l

與橢圓

C

相切，所以

Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，化簡得

m2＝9k2＋8。2

2→

→所以F1M·F1N＝－8＋m

－9k

＝0，→

→π所以F1M⊥F1N，故∠MF1N

為定值2。1(注：可以先通過

k＝0

計算出此時∠MF

Nπ＝2，再驗證一般性結(jié)論)4．(2019·x2

y2質(zhì)檢)已知橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)，右焦點

F

的坐標為(2,0)，且點(2，2)在橢圓C

上。求橢圓C

的方程及離心率；過點F

的直線交橢圓于A，B

兩點(直線不與x

軸垂直)，已知點A

與點P

關(guān)于x

軸對稱，證明：直線PB

恒過定點，并求出此定點坐標。

4

2a2＋b2＝1，解

(1)由已知得a2＝b2＋c2，c＝2，解得a2＝8，2b

＝4，x2

y2所以橢圓

C

的標準方程8

＋4

＝1，所以橢圓

C

的離心率

e＝a＝2

2c

2

2＝

2(2)設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則

A(x1，－y1)，可設(shè)

PB

的直線方程為

y＝kx＋m，y＝kx＋m，聯(lián)立方程x2y2

8

＋

4

＝1，整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，所以

x1＋x2＝2k

＋12

1

2－4km

2m2－822k

＋1，x

x

＝

，因為

kAF＝kFB，所以y1

y22－x1

x2－2＝

，整理得，2kx1x2＋(m－2k)(x1＋x2)－4m＝0，所以

2k·2m2－82－4km2k

＋1

2k＋(m－2k)·

2＋1－4m＝0，解得

m＝－4k，所以

PB

的直線方程為

y＝kx－4k＝k(x－4)，直線

PB

恒過定點(4,0)。5．(2019·

鄭州一模)設(shè)M

點為圓C：x2＋y2＝4

上的動點，點

M

在x→3MN，動點P

的軌跡為

E。→軸上的投影為

N。動點P

滿足2PN＝(1)求E

的方程；(2)設(shè)E

的左頂點為D，若直線l：y＝kx＋m

與曲線E交于A，B兩點(A，→

→

→

→B

不是左、右頂點)，且滿足|DA＋DB|＝|DA－DB|，求證：直線

l

恒過定點，并求出該定點的坐標。解

(1)設(shè)點

M(x0，y0)，P(x，y)，由題意可知

N(x0,0)，→

→因為2PN＝

3MN，所以2(x0－x，－y)＝3(0，－y0)，0

03即x

＝x，y

＝

2

y，又點M

在圓C：x2＋y2＝4

上，所以

x2＋y2＝4，0

0

2x2

y2x2

y2將x0＝x，y0＝

3y

代入得4

＋3

＝1，即軌跡

E

的方程為4

＋3

＝1。(2)由(1)可知

D(－2,0)，設(shè)

A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx＋m，聯(lián)立得x2y2

4

＋

3

＝1，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)>0，即

3＋4k2－m2>0，－8mk

4m2－3所以

x1＋x2＝3＋4k2，x1x2＝

3＋4k2

。y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－12k23＋4k2。→

→

→

→因為|DA＋DB|＝|DA－DB|，→

→

→

→所以DA⊥DB，即DA·DB＝0，即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，所以4m2－12

－8mk3＋4k

3＋4k2

2＋2×

＋4＋3m2－12k23＋4k2＝0，所以

7m2－16mk＋4k2＝0，12解得

m

＝2k，m2＝7k，且均滿足

3＋4k2－m2>0。當

m＝2k時，l的方程為

y＝kx＋2k＝k(x＋2)，直線恒過點(－2,0)，與已知

；當m＝22227k

時，l

的方程為

y＝kx＋7k＝kx＋，直線恒過點－7，0

7

。

2

所以直線

l

過定點，定點坐標為－7，0。1．(2019·第二次作業(yè)

能力增分加練x2

y2頂點為B。已知高考)橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦點為F，左頂點為A，上3|OA|＝2|OB|(O

為原點)。(1)求橢圓的離心率；3(2)設(shè)經(jīng)過點F

且斜率為4的直線l

與橢圓在x

軸上方的交點為

P，圓C

同時與x

軸和直線l

相切，圓心C在直線x＝4

上，且OC∥AP，求橢圓的方程。解

(1)設(shè)橢圓的半焦距為

c，由已知有

3a＝2b，又由

a2＝b2＋c2，消去

b

得

3

22

2c

1a

＝

2

a

＋c

，解得a＝2。1所以橢圓的離心率為2。(2)由(1)知，a＝2c，b＝x2

y23c，故橢圓方程為4c2＋3c2＝1。由題意，F(xiàn)(－c,0)，3則直線

l

的方程為

y＝4(x＋c)。點P

的坐標滿足

x2

y24c2＋3c2＝1，34y＝

x＋c，消去y

并化簡，113c得到7x2＋6cx－13c2＝0，解得x

＝c，x2＝－7

。代入到

l

的方程，解得y1＝23c，214

9

3

2y

＝－

c。因為點

P

在x

軸上方，所以

P

c，c

。由圓心

C

在直線

x＝4

上，可設(shè)

C(4，t)。因為

OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)t32c故4＝c＋2c，解得t＝2。因為圓C

與x

軸相切，所以圓的半徑長為

2，又由圓C3與l

相切，得4

4＋c－21＋

342＝2，可得

c＝2。x2

y2所以橢圓的方程為16＋12＝1。2．(2019·

Ⅰ卷)已知點A，B

關(guān)于坐標原點O對稱，|AB|＝4，⊙M過點

A，B

且與直線x＋2＝0相切。若A

在直線x＋y＝0

上，求⊙M

的半徑；是否存在定點P，使得當

A

運動時，|MA|－|MP|為定值？并說明理由。解

(1)因為⊙M

過點

A，B，所以圓心

M

在

AB

的垂直平分線上。由已知A

在直線x＋y＝0

上，且A，B

關(guān)于坐標原點

O

對稱，所以

M

在直線

y＝x上故可設(shè)

M(a，a)。因為⊙M

與直線

x＋2＝0

相切，所以⊙M

的半徑為

r＝|a＋2|。→

→連接

MA，由已知得|AO|＝2，又MO⊥AO，故可得

2a2＋4＝(a＋2)2，解得

a＝0或a＝4。故⊙M

的半徑

r＝2

或r＝6。(2)存在定點

P(1,0)，使得|MA|－|MP|為定值。理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知得⊙M

的半徑為

r＝|x＋2|，|AO|＝2。2

2

2

2→

→由于MO⊥AO，故可得

x

＋y

＋4＝(x＋2)，化簡得

M

的軌跡方程為

y

＝4x。因為曲線

C：y2＝4x

是以點

P(1,0)為焦點，直線

x＝－1

為準線的拋物線，所以|MP|＝x＋1。因為|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在滿足條件的定點

P。3．(2019·

二模)在平面直角坐標系xOy

中，拋物線C：x2＝6y

與直線l：y＝kx＋3

交于M，N

兩點。設(shè)M，N

到y(tǒng)

軸的距離分別為

d1，d2，證明：d1

和d2

的乘積為定值；y

軸上是否存在點P，當k

變化時，總有∠OPM＝∠OPN？若存在，求點P

的坐標；若不存在，請說明理由。解

(1)證明：將

y＝kx＋3代入

x2＝6y，得

x2－6kx－18＝0。設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＝－18，從而d1d2＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝18

為定值。(2)存在符合題意的點。理由如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點，直線

PM，PN

的斜率分別為

k1，k2，從而

k1＋k2＝1＋y

－b

y2－bx1

x2＝2kx1x2＋3－bx1＋x2x1x2＝－36k＋6k3－b

－6kb＋3x1x2

x1x2＝

。當b＝－3

時，有

k1＋k2＝0

對任意

k

恒成立，則直線

PM的傾斜角與直線

PN的傾斜角互補，故∠OPM＝∠OPN，所以點

P(0，－3)符合題意。x2

y2

34．(2019·洛陽市第二次聯(lián)考)已知橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)的離心率為2短軸長為2。求橢圓C

的標準方程；設(shè)直線l：y＝kx＋m

與橢圓C

交于M，N

兩點，O

為坐標原點，若kOM·kON5＝4，求證：點(m，k)在定圓上。c解

(1)設(shè)橢圓

C

的焦距為

2c，由已知

e＝a＝

2

3，2b＝2，a2＝b2＋c2，x22得b＝1，a＝2，所以橢圓

C

的標準方程為4

＋y

＝1。y＝kx＋m，(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立得x22

4

＋y

＝1，(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，依題意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化簡得

m2<4k2＋1

①。由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝－8km，x1x2＝4m2－12

24k

＋1 4k

＋1，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，OM

ON4若

k

·k

＝

，則x

x1

25

y1y2

541

2 1

2＝，即

4y

y

＝5x

x

，所以

4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，所以(4k2－5)×4k24m2－1

－8km2＋1 4k

＋1＋4km·

＋4m2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m