第五章圓軸的扭轉11/22/20221第五章圓軸的扭轉11/21/20221受力特點：等值、反向力偶的作用變形特點：縱向線AB傾斜了一個角度同時B、A端面發生了相對轉動，其轉角稱為扭轉角11/22/20222受力特點：等值、反向力偶的作用11/21/20222§5-1扭轉時所受外力的分析與計算一、攪拌軸的三項功能1、傳遞旋轉運動：轉速n(r/min)2、傳遞扭轉力偶矩：扭轉力偶矩m(N·m)3、傳遞功率：功率PK(KW)二、n、P、m之間的關系11/22/20223§5-1扭轉時所受外力的分析與計算一、攪拌軸的三項功能二、§5-2純剪切、角應變、剪切虎克定律一、純剪切:只有剪應力的應力狀態薄壁圓筒的變形特點：1、圓筒壁縱向纖維沒有變化，在其橫截面內不會產生正應力；2、各相鄰橫截面之間發生了以圓筒軸線為回轉中心的相對轉動，轉過角度從左到右增大。11/22/20224§5-2純剪切、角應變、剪切虎克定律一、純剪切:只有剪應剪應力互等定理：過一個點的兩個相互垂直的截面內，作用著大小相等、轉向相反的剪應力。（共同指向交線或背離交線）11/22/20225剪應力互等定理：11/21/20225根據靜力平衡條件證明：于是得：二、角應變

表示剪切變形程度的是一個角γ，稱為角應變，它和線應變ε是對應的量。11/22/20226根據靜力平衡條件證明：于是得：二、角應變

表示剪切變形程度的三、剪切虎克定律在純剪切應力狀態下，當剪應力不超過材料的剪切比例極限τP時，有以下關系式：G材料的剪切彈性模量，單位與彈性模量E相同。11/22/20227三、剪切虎克定律在純剪切應力狀態下，當剪應力不超過材料的剪切§5-3圓軸在外力偶作用下的變形與內力一、變形分析實心圓軸的整體扭轉變形與薄壁圓筒的扭轉變形類似。要準確反映軸的變形程度必須考慮軸自身的長度。如果用dΦ來表示n-n和m-m兩個相鄰截面所發生

的相對轉角，那么就可以用dΦ/dx來表達軸在

n-n截面處的扭轉變形程度。11/22/20228§5-3圓軸在外力偶作用下的變形與內力一、變形分析如果用d11/22/2022911/21/20229由于相鄰的兩個截面發生了繞形心的相對轉動，所以在截面上各對對應點間就會發生沿圓周弧線的相對錯動，其錯動量大小與所討論的點到形心的距離有關。就圓周上的點B、C而言，其錯動量為RdΦ于是B點角應變就是：11/22/202210由于相鄰的兩個截面發生了繞形心的相對轉動，所以在截面上各對對以截面上距圓心為ρ處的E點為研究對象，其角應變為：二、扭轉剪應力及其分布規律當剪應力不超過材料的剪切比例極限τP時，剪應力沿橫截面分布規律為：11/22/202211以截面上距圓心為ρ處的E點為研究對象，其角應變為：二、扭轉剪由此可知τρ與ρ也成正比，而在同一半徑ρ的圓周上各點處的剪應力τρ均相同。τρ的方向應垂直于半徑。11/22/202212由此可知τρ與ρ也成正比，而在同一半徑ρ的圓周上各點處的剪應三、橫截面的內力矩——扭矩圓軸受扭時，其橫截面內每個微小面積上都作用有微小剪力，每一個剪力對軸心均有力矩，且轉向一致，這些力矩之和為：11/22/202213三、橫截面的內力矩——扭矩圓軸受扭時，其橫截面內每個習慣上稱這個內力矩為扭矩。它是伴隨著扭轉變形產生的，是用來抵抗外力矩對該截面的破壞的。扭矩的計算法則：受扭圓軸任一橫截面上的扭矩等于該截面一側所有外力（偶）矩的代數和。用右手螺旋法則來取正負，即右手的四指沿著外力偶矩的旋轉方向彎曲，如果大姆指的指向是背離所討論的截面，則該外力偶矩取正值，反之取負值。11/22/202214習慣上稱這個內力矩為扭矩。它是伴隨著扭轉變形產生的，是用來抵右手螺旋法則11/22/202215右手螺旋法則11/21/202215例5-1主動輪PA=120kW，從動輪PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，轉速n=300r/min，畫出扭矩圖。11/22/202216例5-1主動輪PA=120kW，從動輪PB=30kW，PC11/22/20221711/21/202217及式中的積分稱為橫截面的極慣性矩，用IP表示，它也是一個只與截面尺寸有關的量。四、扭矩與扭轉變形dΦ/dx之間的關系可得由或這樣上式便可寫成：11/22/202218及式中的積分稱為橫截面的極慣性矩，用IP表示，它也是一個只與代入由于R和截面的極慣性矩IP都只與截面幾何尺寸有關，通常令：五、扭矩剪應力的計算公式可得將于是得：且11/22/202219代入由于R和截面的極慣性矩IP都只與截面幾何尺寸有關，通常令六、極慣性矩IP和抗扭截面模量WP1、實心圓軸11/22/202220六、極慣性矩IP和抗扭截面模量WP1、實心圓軸11/21/22、空心圓軸令：d/D=a11/22/2022212、空心圓軸令：d/D=a11/21/202221得Φ的單位為弧度。GIP稱為圓軸的抗扭剛度，它與抗拉剛度EA、抗彎剛度EIZ相對應。反映了圓軸抵抗扭轉變形的能力。七、扭轉角的計算若在長度為l的一段軸內，各橫截面上的扭矩相同，則這段軸兩端橫截面間的相對扭轉角應為：由11/22/202222得Φ的單位為弧度。GIP稱為圓軸的抗扭剛度，它與抗拉剛度EA11/22/20222311/21/202223θ：軸的單位長度扭轉角11/22/202224θ：軸的單位長度扭轉角11/21/202224§5-4扭轉的強度條件與剛度條件一、圓軸扭轉時的強度條件11/22/202225§5-4扭轉的強度條件與剛度條件一、圓軸扭轉時的強度條件例5-2汽車主傳動軸內徑d=85mm、外徑D=90mm，45號鋼，[τ]=60MPa，軸受到的最大扭矩m=1.5kN﹒m①校核此空心軸的強度；②等強度實心軸直徑；③求實心軸與空心軸的質量比。11/22/202226例5-2汽車主傳動軸內徑d=85mm、外徑D=90mm，二、圓軸扭轉時的剛度條件精密機械的軸：[θ]=0.15°～0.50°/m一般傳動軸：[θ]=0.5°～1.0°/m較低精密度軸：[θ]=2°～4°/m11/22/202227二、圓軸扭轉時的剛度條件精密機械的軸：[θ]=0.15°例5-3一平直槳葉攪拌器，已知電動機的額定功率是17KW，攪拌軸的轉速是60r/min，機械傳動的效率是90%，上下層槳葉所受到的阻力是不同的，它們各自消耗的功率分別占電機實際消耗的總功率的35%和65%，軸是用Φ117mm×6mm碳鋼管制成，材料的許用剪應力[τ]=30×106Pa，試校核該軸在電動機滿負荷運轉的強度。11/22/202228例5-3一平直槳葉攪拌器，已知電動機的額定功率是17KW，解：首先需計算減速機軸在電動機滿負荷運轉時作用給攪拌軸的外力偶矩mA。在攪拌軸的上端作用的驅動力偶矩mA應為上、下層槳葉所允許遇到的最大阻力偶矩mB、

mC分別是：11/22/202229解：首先需計算減速機軸在電動機滿負荷運轉時作用給攪拌軸的外力在AB段軸的橫截面內的扭矩MT2應等于mAMT2=mA=2435N?m在BC段軸的橫截面內的扭矩MT1應為MT1=mA-mB=2435-852=1583N?m所以最大扭矩MTmax=MT2=2435N?m若去掉1mm的腐蝕量，則軸的尺寸變為Φ115×5即D=115mm，d=105mm，α=d/D=0.913，于是橫截面的抗扭截面模量Wp為Wp=0.2D3（1-α4）=0.2×0.1153（1-0.9134）=92.8×10-6m311/22/202230在AB段軸的橫截面內的扭矩MT2應等于mA11/21/202于是在電機滿負荷工作時軸內最大的剪應力為而[τ]=30×106N/m2，τmax<[τ]，所以軸在強度上是安全的。此題中所給的已知條件是電機額定功率而不是實測電機功率，所算出的τmax接近且小于[τ]。這說明該攪拌軸的尺寸與所用電機是配套的。11/22/202231于是在電機滿負荷工作時軸內最大的剪應力為而[τ]=30×10例5-4圖示為直徑等于75mm的等截面圓軸，上面作用有驅動力偶矩m1=1KN?m；阻力偶矩共三個：m2=0.6KN?m，m3=0.2KN?m，m4=0.2KN?m，試問：

（1）該軸的最大扭矩及最大扭轉剪應力？

（2）若將驅動力偶矩m1與阻力偶矩m2的位置互換，僅從強度考慮，軸徑可以作怎樣的改變。11/22/202232例5-4圖示為直徑等于75mm的等截面圓軸，上面作用有驅動解：（1）根據扭矩計算法則，算出各段軸所傳遞的扭矩，并作扭矩圖。由已知軸徑得出于是11/22/202233解：（1）根據扭矩計算法則，算出各段軸所傳遞的扭矩，并作扭矩（2）若將m1與m2的位置互換，根據扭矩計算法則算出各段軸所傳遞的扭矩，并做扭矩圖。如果保持軸的最大扭轉剪應力不變，則由得即軸徑可以減小，節約材料。說明合理安排驅動力偶矩及各阻力偶矩的位置均會影響軸的最大扭矩。11/22/202234（2）若將m1與m2的位置互換，根據扭矩計算法則算出各段軸所例5-5m=4.5kN﹒m,d1=70mm,d2=55mm,L1=1m,L2=1.5m,G=80GPa,[τ]=60MPa,[θ]=1.5°/m,進行強度校核和剛度校核。11/22/202235例5-5m=4.5kN﹒m,d1=70mm,d2=511/22/20223611/21/202236第五章圓軸的扭轉11/22/202237第五章圓軸的扭轉11/21/20221受力特點：等值、反向力偶的作用變形特點：縱向線AB傾斜了一個角度同時B、A端面發生了相對轉動，其轉角稱為扭轉角11/22/202238受力特點：等值、反向力偶的作用11/21/20222§5-1扭轉時所受外力的分析與計算一、攪拌軸的三項功能1、傳遞旋轉運動：轉速n(r/min)2、傳遞扭轉力偶矩：扭轉力偶矩m(N·m)3、傳遞功率：功率PK(KW)二、n、P、m之間的關系11/22/202239§5-1扭轉時所受外力的分析與計算一、攪拌軸的三項功能二、§5-2純剪切、角應變、剪切虎克定律一、純剪切:只有剪應力的應力狀態薄壁圓筒的變形特點：1、圓筒壁縱向纖維沒有變化，在其橫截面內不會產生正應力；2、各相鄰橫截面之間發生了以圓筒軸線為回轉中心的相對轉動，轉過角度從左到右增大。11/22/202240§5-2純剪切、角應變、剪切虎克定律一、純剪切:只有剪應剪應力互等定理：過一個點的兩個相互垂直的截面內，作用著大小相等、轉向相反的剪應力。（共同指向交線或背離交線）11/22/202241剪應力互等定理：11/21/20225根據靜力平衡條件證明：于是得：二、角應變

表示剪切變形程度的是一個角γ，稱為角應變，它和線應變ε是對應的量。11/22/202242根據靜力平衡條件證明：于是得：二、角應變

表示剪切變形程度的三、剪切虎克定律在純剪切應力狀態下，當剪應力不超過材料的剪切比例極限τP時，有以下關系式：G材料的剪切彈性模量，單位與彈性模量E相同。11/22/202243三、剪切虎克定律在純剪切應力狀態下，當剪應力不超過材料的剪切§5-3圓軸在外力偶作用下的變形與內力一、變形分析實心圓軸的整體扭轉變形與薄壁圓筒的扭轉變形類似。要準確反映軸的變形程度必須考慮軸自身的長度。如果用dΦ來表示n-n和m-m兩個相鄰截面所發生

的相對轉角，那么就可以用dΦ/dx來表達軸在

n-n截面處的扭轉變形程度。11/22/202244§5-3圓軸在外力偶作用下的變形與內力一、變形分析如果用d11/22/20224511/21/20229由于相鄰的兩個截面發生了繞形心的相對轉動，所以在截面上各對對應點間就會發生沿圓周弧線的相對錯動，其錯動量大小與所討論的點到形心的距離有關。就圓周上的點B、C而言，其錯動量為RdΦ于是B點角應變就是：11/22/202246由于相鄰的兩個截面發生了繞形心的相對轉動，所以在截面上各對對以截面上距圓心為ρ處的E點為研究對象，其角應變為：二、扭轉剪應力及其分布規律當剪應力不超過材料的剪切比例極限τP時，剪應力沿橫截面分布規律為：11/22/202247以截面上距圓心為ρ處的E點為研究對象，其角應變為：二、扭轉剪由此可知τρ與ρ也成正比，而在同一半徑ρ的圓周上各點處的剪應力τρ均相同。τρ的方向應垂直于半徑。11/22/202248由此可知τρ與ρ也成正比，而在同一半徑ρ的圓周上各點處的剪應三、橫截面的內力矩——扭矩圓軸受扭時，其橫截面內每個微小面積上都作用有微小剪力，每一個剪力對軸心均有力矩，且轉向一致，這些力矩之和為：11/22/202249三、橫截面的內力矩——扭矩圓軸受扭時，其橫截面內每個習慣上稱這個內力矩為扭矩。它是伴隨著扭轉變形產生的，是用來抵抗外力矩對該截面的破壞的。扭矩的計算法則：受扭圓軸任一橫截面上的扭矩等于該截面一側所有外力（偶）矩的代數和。用右手螺旋法則來取正負，即右手的四指沿著外力偶矩的旋轉方向彎曲，如果大姆指的指向是背離所討論的截面，則該外力偶矩取正值，反之取負值。11/22/202250習慣上稱這個內力矩為扭矩。它是伴隨著扭轉變形產生的，是用來抵右手螺旋法則11/22/202251右手螺旋法則11/21/202215例5-1主動輪PA=120kW，從動輪PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，轉速n=300r/min，畫出扭矩圖。11/22/202252例5-1主動輪PA=120kW，從動輪PB=30kW，PC11/22/20225311/21/202217及式中的積分稱為橫截面的極慣性矩，用IP表示，它也是一個只與截面尺寸有關的量。四、扭矩與扭轉變形dΦ/dx之間的關系可得由或這樣上式便可寫成：11/22/202254及式中的積分稱為橫截面的極慣性矩，用IP表示，它也是一個只與代入由于R和截面的極慣性矩IP都只與截面幾何尺寸有關，通常令：五、扭矩剪應力的計算公式可得將于是得：且11/22/202255代入由于R和截面的極慣性矩IP都只與截面幾何尺寸有關，通常令六、極慣性矩IP和抗扭截面模量WP1、實心圓軸11/22/202256六、極慣性矩IP和抗扭截面模量WP1、實心圓軸11/21/22、空心圓軸令：d/D=a11/22/2022572、空心圓軸令：d/D=a11/21/202221得Φ的單位為弧度。GIP稱為圓軸的抗扭剛度，它與抗拉剛度EA、抗彎剛度EIZ相對應。反映了圓軸抵抗扭轉變形的能力。七、扭轉角的計算若在長度為l的一段軸內，各橫截面上的扭矩相同，則這段軸兩端橫截面間的相對扭轉角應為：由11/22/202258得Φ的單位為弧度。GIP稱為圓軸的抗扭剛度，它與抗拉剛度EA11/22/20225911/21/202223θ：軸的單位長度扭轉角11/22/202260θ：軸的單位長度扭轉角11/21/202224§5-4扭轉的強度條件與剛度條件一、圓軸扭轉時的強度條件11/22/202261§5-4扭轉的強度條件與剛度條件一、圓軸扭轉時的強度條件例5-2汽車主傳動軸內徑d=85mm、外徑D=90mm，45號鋼，[τ]=60MPa，軸受到的最大扭矩m=1.5kN﹒m①校核此空心軸的強度；②等強度實心軸直徑；③求實心軸與空心軸的質量比。11/22/202262例5-2汽車主傳動軸內徑d=85mm、外徑D=90mm，二、圓軸扭轉時的剛度條件精密機械的軸：[θ]=0.15°～0.50°/m一般傳動軸：[θ]=0.5°～1.0°/m較低精密度軸：[θ]=2°～4°/m11/22/202263二、圓軸扭轉時的剛度條件精密機械的軸：[θ]=0.15°例5-3一平直槳葉攪拌器，已知電動機的額定功率是17KW，攪拌軸的轉速是60r/min，機械傳動的效率是90%，上下層槳葉所受到的阻力是不同的，它們各自消耗的功率分別占電機實際消耗的總功率的35%和65%，軸是用Φ117mm×6mm碳鋼管制成，材料的許用剪應力[τ]=30×106Pa，試校核該軸在電動機滿負荷運轉的強度。11/22/202264例5-3一平直槳葉攪拌器，已知電動機的額定功率是17KW，解：首先需計算減速機軸在電動機滿負荷運轉時作用給攪拌軸的外力偶矩mA。在攪拌軸的上端作用的驅動力偶矩mA應為上、下層槳葉所允許遇到的最大阻力偶矩mB、

mC分別是：11/22/202265解：首先需計算減速機軸在電動機滿負荷運轉時作用給攪拌軸的外力在AB段軸的橫截面內的扭矩MT2應等于mAMT2=mA=2435N?m在BC段軸的橫截面內的扭矩MT1應為MT1=mA-mB=2435-852=1583N?m所以最大扭矩MTmax=MT2=2435N?m若去掉1mm的腐蝕量，則軸的尺寸變為Φ115×5即D=115mm，d=105mm，α=d/D=0.913，于是橫截面的抗扭截面模量Wp為Wp=0.2D3（1-α4）=0.2×0.1153（1-0.9