第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2-1引言2-2微分方程的建立及線性化2-3傳遞函數(shù)2-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2-5信號流圖2-6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2-1引言1

1.數(shù)學模型定義：控制系統(tǒng)的輸入和輸出之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學表達式即為數(shù)學模型。數(shù)學模型是分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。21.數(shù)學模型定義：22.為什么要建立數(shù)學模型：我們需要了解系統(tǒng)的具體的性能指標，只是定性地了解系統(tǒng)的工作原理和大致的運動過程是不夠的，希望能夠從理論上對系統(tǒng)的性能進行定量的分析和計算。要做到這一點，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。它是分析和設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。32.為什么要建立數(shù)學模型：我們需要了解另一個原因：許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運動規(guī)律可能完全一樣，可以用一個運動方程來表示，我們可以不單獨地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學表達式，即可知其變量間的關(guān)系，這種關(guān)系可代表數(shù)學表達式相同的任何系統(tǒng)，因此需建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型。比如機械平移系統(tǒng)和RLC電路就可以用同一個數(shù)學表達式分析，具有相同的數(shù)學模型。4另一個原因：許多表面上看來似乎毫無共3.表示形式

a.微分方程

b.傳遞函數(shù)

c.頻率特性

三種數(shù)學模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換同一個系統(tǒng)，可以選用不同的數(shù)學模型，研究時域響應(yīng)時可以用傳遞函數(shù)，研究頻域響應(yīng)時則要用頻率特性。53.表示形式a.微分方程三種數(shù)學模型之間的關(guān)4.建立方法目前工程上采用的方法主要是:

a.分析計算法分析計算法是根據(jù)支配系統(tǒng)的內(nèi)在運動規(guī)律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，推導出輸入量和輸出量之間的數(shù)學表達式，從而建立數(shù)學模型——適用于簡單的系統(tǒng)。64.建立方法6b.工程實驗法

工程實驗法：它是利用系統(tǒng)的輸入--輸出信號來建立數(shù)學模型的方法。通常在對系統(tǒng)一無所知的情況下，采用這種建模方法。但實際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為灰盒，可以分析計算法與工程實驗法一起用，較準確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。黑盒輸入輸出7b.工程實驗法但實際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為實際控制系統(tǒng)的數(shù)學模型往往是很復(fù)雜的，在一般情況下，常?？梢院雎砸恍┯绊戄^小的因素來簡化，但這就出現(xiàn)了一對矛盾，簡化與準確性。不能過于簡化，而使數(shù)學模型變的不準確，也不能過分追求準確性，使系統(tǒng)的數(shù)學模型過于復(fù)雜。8實際控制系統(tǒng)的數(shù)學模型往往是很復(fù)雜的，在二.線性系統(tǒng)

線性元件：具有迭加性和齊次性的元件稱為線性元件。非線性元件：不具有迭加性和齊次性的元件稱為非線性元件。9二.線性系統(tǒng)92-1引言一.數(shù)學模型工程控制中常用的數(shù)學模型有三種：

微分方程----------時域描述傳遞函數(shù)----------復(fù)域描述頻率特性----------頻域描述本節(jié)主要介紹傳遞函數(shù)與微分方程兩種數(shù)學模型102-1引言一.數(shù)學模型10

如果元件輸入為r（t）、r1（t）、r2（t），對應(yīng)的輸出為c（t）、c1（t）、c2（t）如果r（t）=r1（t）+r2（t）時，c（t）=c1（t）+c2（t）滿足迭加性如果r（t）=a·r1（t）時，c（t）=a·c1（t）滿足齊次性

滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件。1111

線性系統(tǒng)重新定義：若組成系統(tǒng)的各元件均為線性元件，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。例如y=kx是線性元件線性元件一定滿足迭加性和齊次性。輸入x1y1輸出x2y2

輸入x1＋x2對應(yīng)輸出y1＋y2滿足迭加性k為常數(shù)，kx1ky1滿足齊次性所表示的元件為線性元件12線性系統(tǒng)重新定義：若組成系統(tǒng)的各元件均為線性元件，y=kx+b(b為常數(shù)0)線性方程，但所表示的元件不是線性元件.為什么呢？輸入x1y1輸出y1＝kx1+bx2y2y2=kx2+b輸入x1＋x2輸出y=k(x1＋x2)+b=kx1+kx2+by1+y2

不滿足迭加性

13y=kx+b(b為常數(shù)0)線性方程，13k為常數(shù):kx1輸出y=k(kx1)+b=k2x1+bky1=k(kx1+b)=k2x1+kbyky1不滿足齊次方程。線性方程不一定滿足迭加性和齊次性。所表示的元件不是線性元件。14k為常數(shù):kx1輸出y=k(kx1)+b=k2x1+b14又例如：元件的數(shù)學模型為：元件的數(shù)學模型為：15又例如：元件的數(shù)學模型為：元件的數(shù)學模型為：152.重要特點：對線性系統(tǒng)可以應(yīng)用迭加性和齊次性，對研究帶來了極大的方便。

迭加性的應(yīng)用：

欲求系統(tǒng)在幾個輸入信號和干擾信號同時作用下的總響應(yīng)，只要對這幾個外作用單獨求響應(yīng)，然后加起來就是總響應(yīng)。

162.重要特點：對線性系統(tǒng)可以應(yīng)用迭加性和齊次性，對研究帶來了

齊次性表明：當外作用的數(shù)值增大若干倍時，其響應(yīng)的數(shù)值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對系統(tǒng)進行分析——簡化了問題。17齊次性表明：當外作用的數(shù)值增大若干一.微分方程的建立微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學模型，要研究系統(tǒng)的運動，必須列寫系統(tǒng)的微分方程。一個控制系統(tǒng)由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據(jù)各個元件的物理規(guī)律，列寫各個元件的微分方程，得到一個微分方程組，然后消去中間變量，即得控制系統(tǒng)總的輸入和輸出的微分方程。2-2微分方程的建立及線性化18一.微分方程的建立2-2微分方程的建立及線性化18動態(tài)微分方程式的編寫目的：確定被控量與給定量或擾動量間的函數(shù)關(guān)系。機理法建立數(shù)學模型的一般步驟：⑴分析系統(tǒng)工作原理和能量、信號變換過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入輸出量。⑵由輸入開始依次由物理規(guī)律列寫各部分方程。⑶消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸入輸出變量關(guān)系的數(shù)學模型（微分方程）。⑷標準化（如輸入在右，輸出在左，降冪排列導數(shù)等）19動態(tài)微分方程式的編寫目的：確定被控量與給定量或擾動量間的函數(shù)例1.機械平移系統(tǒng)求在外力F(t)作用下，物體的運動軌跡。mkF(t)x(t)位移阻尼系數(shù)f阻尼器彈簧20例1.機械平移系統(tǒng)求在外力F(t)作用下，物體的運動軌求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程.輸入量為外力F，輸出量為位移x。(p.22)[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。21求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程.輸入首先確定：輸入F(t),輸出x(t)其次：理論依據(jù)1.牛頓第二定律物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積2.牛頓第三定律作用力等于反作用力,現(xiàn)在我們單獨取出m進行分析，這里不考慮重力的影響。mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力22首先確定：輸入F(t),輸出x(t)mF1(彈簧的拉力)F(寫微分方程時，常習慣于把輸出寫在方程的左邊，輸入寫在方程右邊，而且微分的次數(shù)由高到低排列。機械平移系統(tǒng)的微分方程為：這也是一個兩階定常微分方程。x為輸出量，F(xiàn)為輸入量。23寫微分方程時，常習慣于把輸出寫在方程的這也是一個兩階定常微分例2.RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓uc(t)的變化。RLCur(t)uc(t)i(t)24例2.RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓依據(jù)：電學中的基爾霍夫定律

由（2）代入（1）得：消去中間變量i(t)（兩邊求導）25由（2）代入（1）得：消去中間變量i(t)（兩邊求導）25這兩個式子很相似，故可用電子線路來模擬機械平移系統(tǒng)，這也證明了我們前面講到的，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運動規(guī)律，可用相同的數(shù)學模型來描述。整理成規(guī)范形式機械平移系統(tǒng)的微分方程為：26這兩個式子很相似，故可用電子線路來模擬整理成規(guī)范形式機械平移[需要討論的問題之一]：1、相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。可見,不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學模型。若令（電荷），則例2-2的結(jié)果變?yōu)椋?7[需要討論的問題之一]：我們注意到例2-1和例2-2的微分[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復(fù)雜的系統(tǒng)，實現(xiàn)仿真研究。[定義]具有相同的數(shù)學模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與為相似量。28[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對2929其中和分別稱為電磁時間常數(shù)和機電時間常數(shù)整理(消去中間變量i=ia,ea

,m,保留輸入和輸出的關(guān)系)得:分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力。電樞電路電壓平衡方程電機反電勢方程電磁轉(zhuǎn)矩方程電機軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程30其中和分別稱為電磁時間常數(shù)和機電時間工程上允許忽略La時,方程變?yōu)?這是一階微分方程.

工程上進一步允許忽略Ra,J時,方程變?yōu)?這是代數(shù)方程,表示電機為一個線性元件.[需要討論的問題之二]：由上例可見,經(jīng)不同的適當?shù)墓こ烫幚?同一物理系統(tǒng)可以有不同形式的數(shù)學模型.(輸入輸出不變)

這是二階微分方程。31工程上允許忽略La時,方程變?yōu)?這是一階微分方程.工程上進二非線性數(shù)學模型線性化§實際的物理元件都存在一定的非線性，例如：電阻、電容、電感與工作環(huán)境、工作電流有關(guān);電動機本身的摩擦、死區(qū)§若所得模型為非線性方程，因非線性系統(tǒng)一般不能應(yīng)用疊加原理，數(shù)學上處理困難，為了便于理論分析，經(jīng)常采用線性化方法，得到系統(tǒng)的線性模型（對于非線性函數(shù)，在其工作點處展開成臺勞級數(shù)，略去二次以上得高階項，得到線性化方程）,得到系統(tǒng)的小信號偏差線性模型后，就可解線性常微分方程得到系統(tǒng)運動規(guī)律。32二非線性數(shù)學模型線性化§實際的物理元件都存在一定的非線性，§將非線性微分方程在一定的條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法，稱非線性微分方程的線性化?！煨∑罹€性化：非線性微分方程能進行線性化的一個基本假設(shè)是變量偏離其預(yù)期工作點的偏差甚小，這種線性化通常稱為小偏差線性化。33§將非線性微分方程在一定的條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法，二.非線性元件的線性化1.幾種常見的非線性34二.非線性元件的線性化34非線性微分方程的求解很困難。在一定條件下，可以近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動態(tài)特性的分析大為簡化。實踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問題，有很大的實際意義。2.線性化的方法

（1）.忽略弱非線性環(huán)節(jié)（如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略）35非線性微分方程的求解很困難。在一定條件下，可以近似地[例]:單擺運動.輸入:外力為0,輸出:擺動幅度(角度)θ(t)M—擺質(zhì)量,l--擺長,f-阻尼系數(shù),g--重力加速度,擺的位移x(t)=l*θ(t),線速度,加速度

由牛頓定律

得

這是二階非線性微分方程.當θ很小時,代入上式得

這是一種局部線性化處理方式.

36[例]:單擺運動.輸入:外力為0,輸出:擺動幅度(角度)θ

（2）.偏微法（小偏差法，切線法，增量線性化法）偏微法基于一種假設(shè)，就是在控制系統(tǒng)的整個調(diào)節(jié)過程中，各個元件的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。這一假設(shè)是符合許多控制系統(tǒng)實際工作情況的，因為對閉環(huán)控制系統(tǒng)而言，一有偏差就產(chǎn)生控制作用，來減小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡點附近。37（2）.偏微法（小偏差法，切線法，增量線性化法）37[需要討論的問題之三]：若描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是非線性(微分)方程,則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng),這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理.在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的.但在工程應(yīng)用中,除了含有強非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況,一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程,可在工作點附近用泰勒級數(shù)展開,取前面的線性項.可以得到等效的線性環(huán)節(jié)。38[需要討論的問題之三]：38小偏差線性化法AByx0設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x),若取某一平衡狀態(tài)A(x0,y0)為工作點,A點附近有點B(x0+△x,y0+△y),當△x很小時，AB段可近似看做線性的。39小偏差線性化法AByx0設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(xA(x0,y0)平衡點，函數(shù)在平衡點處連續(xù)可微，則可將函數(shù)在平衡點附近展開成臺勞級數(shù)

忽略二次以上的各項，上式可以寫成

這就是非線性元件的線性化數(shù)學模型40A(x0,y0)平衡點，函數(shù)在平衡點處連續(xù)可微，則具有兩個自變量的非線性函數(shù)的線性化增量線性方程41具有兩個自變量的非線性函數(shù)的線性化增量線性方程41（3）.平均斜率法如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如圖所示此時不能用偏微分法，可用平均斜率法得線性化方程為(死區(qū))電機42（3）.平均斜率法如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如圖所示

注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對于某些嚴重的非線性，如

不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進行分析。43注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，歸納1.分析法建模必須清楚系統(tǒng)內(nèi)部的運動規(guī)律2.建模步驟:定輸入,輸出變量根據(jù)有關(guān)定律列寫微分方程消去中間變量,并寫成數(shù)學模型的標準形式(輸出在左,降冪排列)3.數(shù)學模型是對實際系統(tǒng)的抽象,為仿真奠定了基礎(chǔ),也使研究更有效4.系統(tǒng)具有相對性(相似系統(tǒng):一個模型多種系統(tǒng);一個系統(tǒng)多種模型.有時,系統(tǒng)是一個更大系統(tǒng)的一個環(huán)節(jié);有時,它又可以分解成若干個小系統(tǒng))44歸納1.分析法建模必須清楚系統(tǒng)內(nèi)部的運動規(guī)律44線性定常微分方程的求解：

研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下,輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法,拉氏變換法和數(shù)字求解。自動控制系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。1.[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對微分方程兩端進行拉氏變換,將時域微分方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②對代數(shù)方程解求拉氏反變換,求得輸出函數(shù)的時域解。45線性定常微分方程的求解：1.[拉氏變換求微分方程解的步驟]：[例2-6]:RLC串聯(lián)電路的微分方程求解.(課本p.25,電路圖見例2-1)已知:L=1H,C=1F,R=1Ω,輸入ui(t)=1(t)v初始條件為:u0(0)=0.1v,i(0)=0.1A.求輸出電壓u0(t).[解]：采用拉氏變換求解.記輸入,輸出的拉氏變換分別為:Ui(s)=?[ui(t)],Uo(s)=?[uo(t)]

由微分定理,有:其中,46[例2-6]:RLC串聯(lián)電路的微分方程求解.(課本p.25以上關(guān)系代入原方程,整理得:

47以上關(guān)系代入原方程,整理得:47求拉氏反變換:原方程的拉氏變換解:

其中,第一項與輸入有關(guān),與初始條件無關(guān),叫零初始條件響應(yīng),第二項與初始條件有關(guān),而與輸入無關(guān),叫零輸入響應(yīng).直接查反變換表無結(jié)果,可采用部分分式分解.化成反變換表上找得到的形式,如:對右式通分,整理后的分子為:,應(yīng)等于上式左邊的分子1.再解方程組,有:A=1,B=-1,C=-1.48求拉氏反變換:原方程的拉氏變換解:其中,第一項與輸入有關(guān),查表A-3:21(t)對于還要變化一下,才能查表:查表A-3:22,2049查表A-3:21(t)對于由拉氏反變換得:

其中,前兩項與輸入有關(guān),與初始條件無關(guān),叫零初始條件響應(yīng)或零狀態(tài)響應(yīng),末項與初始條件有關(guān),而與輸入無關(guān),叫零輸入響應(yīng).總稱單位階躍響應(yīng).50由拉氏反變換得:其中,前兩項與輸入有關(guān),與初始條件2.求單位脈沖響應(yīng):輸入時的響應(yīng)∵δ(t)可看作1(t)的導數(shù)∴單位脈沖響應(yīng)就是單位階躍響應(yīng)的導數(shù).承上例單位脈沖響應(yīng)為:512.求單位脈沖響應(yīng):513.關(guān)于(運動的)模態(tài)的概念(課本p.29):1)微分方程的解分為特解和通解兩部分,特解就是零初始條件響應(yīng),通解就是零輸入響應(yīng)(自由解)。2)微分方程的特征方程,特征根承上例,特征方程為特征根為523.關(guān)于(運動的)模態(tài)的概念(課本p.29):1)微分方程5)系統(tǒng)的模態(tài)與輸入量無關(guān),與輸出量也無關(guān).

3)可見,微分方程的解和特征根有關(guān).由特征根,,…構(gòu)成的函數(shù)稱為運動的模態(tài)

4)齊次微分方程的特征根無重根時,方程的通解為其模態(tài)的線性組合。當有重根λ時,則有模態(tài)當特征根為復(fù)數(shù)時(λ=σ+jω),則有模態(tài)

535)系統(tǒng)的模態(tài)與輸入量無關(guān),與輸出量也無關(guān).3)可見,微分

2-3傳遞函數(shù)線性系統(tǒng)——滿足疊加原理（疊加性、齊次性）線性定常系統(tǒng)的兩個性質(zhì)：

①線性定常系統(tǒng)輸出端不會產(chǎn)生新的頻率成分，但幅值和相位會改變。②輸出的變化規(guī)律與輸入及時間起點有關(guān)。回顧：54

2-3傳遞函數(shù)線性系統(tǒng)——滿足疊加原理（疊加性、齊次拉氏變換是求解線性微分方程的簡捷方法。

通過拉氏變換將線性微分方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)，進而用根軌跡，頻率特性等方法間接分析、設(shè)計系統(tǒng)。55拉氏變換是求解線性微分方程的簡捷方法。通過拉氏變換將線性微傳遞函數(shù)

1.定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。

定義:56傳遞函數(shù)定義:56零初始條件下有兩個含義：①輸入量在t>=0時才作用于系統(tǒng)，因此t=0-時，輸入量及其各階導數(shù)為0;②輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，即輸出量及其各階導數(shù)也為0。57零初始條件下有兩個含義：①輸入量在t>=0時才作用于系統(tǒng)，因c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入.設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程是58c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入.設(shè)線性定常零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中S的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。59零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到

因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)，即,若m>n,我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。60因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)2.性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)。1)具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì),2)所有系數(shù)為實數(shù),3)m≤n.612.性質(zhì)61

(2)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。

G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù),與輸入量的形式,幅度大小無關(guān)。傳遞函數(shù)表現(xiàn)系統(tǒng)固有的特征。

當G(s)未知時,通過對系統(tǒng)施加某種輸入R(s),再檢測系統(tǒng)輸出C(s),就可以求出G(s)。加不同的輸入,得到不同的輸出,但比值相同。6262

(3)只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映。傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的一種外部表達,∵它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的各種狀態(tài).(建模時的中間變量就是一些系統(tǒng)狀態(tài))63(3)只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內(nèi)部許多中

(4)

不同的物理系統(tǒng)可以具有完全相同的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)反映了數(shù)學模型的抽象性質(zhì).

64(4)不同的物理系統(tǒng)可以具有完全相同的傳遞函數(shù)。傳遞函

(5)只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。傳遞函數(shù)和微分方程都是系統(tǒng)的數(shù)學模型.傳遞函數(shù)的運算符(算子)是S,微分方程的運算符(算子)是d/dt,可互相置換.不過傳遞函數(shù)要求零初始條件.

65(5)只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零(6)

當系統(tǒng)不變,選擇不同的位置引入(施加)輸入信號或引出輸出信號時,顯然,得到的是不同的傳遞函數(shù).傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng).若系統(tǒng)有多個輸入信號,在求傳遞函數(shù)時,每次施加一個輸入,其它的輸入量一概視為零.如給定和擾動是兩個輸入,它們共同作用時,輸出可以通過疊加原理求得.(分別求,再疊加)

注意,輸出響應(yīng)可以疊加而傳遞函數(shù)不能疊加!

66(6)當系統(tǒng)不變,選擇不同的位置引入(施加)輸入信號或引

(7)脈沖響應(yīng)是傳遞函數(shù)的拉氏反變換

脈沖響應(yīng)(脈沖過渡函數(shù))g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。

可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出。因此，系統(tǒng)的單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出完全描述了系統(tǒng)動態(tài)特性，通常稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。6767建模:通常由微分方程經(jīng)拉氏變換求傳遞函數(shù)。電路的運算阻抗法可以不通過微分方程,直接求傳遞函數(shù):電阻R的運算阻抗就是R,電感L的運算阻抗是Ls,電容C的運算阻抗是1/(Cs)用運算阻抗置換電路中的相關(guān)量,根據(jù)電路定律直接寫出:68建模:通常由微分方程經(jīng)拉氏變換求傳遞函數(shù)。電路的運算阻抗法可例5:求雙T網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)69例5:求雙T網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)69解：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組：方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：70解：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組：方程組兩邊取零初始條7171注意：雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)，即：72注意：雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)，即：72

與雙T網(wǎng)絡(luò)相比少一個交叉項，這就是負載效應(yīng)，因此雙T網(wǎng)絡(luò)不能孤立地分開，必須作為一個整體來求傳遞函數(shù)。當后一個RC網(wǎng)絡(luò)接到兩端時，已不再是原來的，也就是說中的電流=中的電流+中電流，不再等于中的電流。只有當與其余值相比很小可略而不計時，雙T網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)才等于兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)。73與雙T網(wǎng)絡(luò)相比少一個交叉項，這就是負載效例6：求下圖所示運算放大器的傳遞函數(shù)。圖中Rf是反饋電阻，if是反饋電流，Ri是輸入電阻，ur和ir是輸入電壓和電流，uc是輸出電壓,i0是進入放大器的電流。urucRfRiRuεi0irif-+74例6：求下圖所示運算放大器的傳遞函數(shù)。urucRfRiRuε運算放大器具有高增益k=105~109,而通常uc小于10伏，因為uε=-uc/k,所以運算放大器的輸入電壓uε近似等于0，這種反相輸入端電位為0的現(xiàn)象，是運算放大器的共同特點，叫做“虛地”，又因為運算放大器的輸入阻抗很高，所以流入放大器的電流i0也近似等于0。這個現(xiàn)象叫做“虛斷”，ir=if,由此導出：，即:所以運算放大器的傳遞函數(shù)為:75運算放大器具有高增益k=105~109,而通常uc小

這個結(jié)論可以推廣為：

運算放大器的傳遞函數(shù)等于反饋復(fù)阻抗與輸入復(fù)阻抗之比。76這個結(jié)論可以推廣為：76例7：求圖b所示有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。77例7：求圖b所示有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。77

3傳遞函數(shù)的表達式

傳遞函數(shù)一般是復(fù)變函數(shù)，可以變換為各種形式。

(1).有理分式形式(2).零極點形式(3).時間常數(shù)形式783傳遞函數(shù)的表達式78

(1)．有理分式形式

傳遞函數(shù)最常用的形式是下列有理分式形式

傳遞函數(shù)的分母多項式D(s)稱為系統(tǒng)的特征多項式，D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，D(s)=0的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點。分母多項式的階次定義為系統(tǒng)的階次。對于實際的物理系統(tǒng)，多項式D(s)、N(s)的所有系數(shù)為實數(shù)，且分母多項式的階次n高于或等于分子多項式的階次m，即n≥m。79(1)．有理分式形式79

(2)．零極點形式（根軌跡法使用較多）

將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槭滓欢囗検?，然后在?fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，得

;n≥m

80(2)．零極點形式（根軌跡法使用較多）80

式中，稱為系統(tǒng)的零點；為系統(tǒng)的極點；k為系統(tǒng)的根軌跡放大系數(shù)。系統(tǒng)零點、極點的分布決定了系統(tǒng)的特性，因此，可以畫出傳遞函數(shù)的零極點圖，直接分析系統(tǒng)特性。在零極點圖上，用“”表示極點位置，用“”表示零點81式中，

例如，傳遞函數(shù)

的零極點圖如圖2.9所示。82例如，傳遞函數(shù)82

(3)．時間常數(shù)形式（頻率法中使用較多）將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槲惨欢囗検?，然后在?fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，得

83(3)．時間常數(shù)形式（頻率法中使用較多）834.

典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型什么是典型環(huán)節(jié)?不同的物理系統(tǒng)是由許多元件、按不同結(jié)構(gòu)和不同運動原理構(gòu)成的。但拋開具體的結(jié)構(gòu)和物理特點，研究其運動規(guī)律和數(shù)學模型的共性可以劃分成為數(shù)不多的幾種典型的數(shù)學模型，稱為典型環(huán)節(jié)。常見典型環(huán)節(jié):比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和遲后環(huán)節(jié)。844.典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型什么是典型環(huán)節(jié)?常見典型環(huán)節(jié):84

(1).比例環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系為固定比例關(guān)系傳遞函數(shù)：常見物理系統(tǒng)：杠桿（無彈性形變的）、放大器（非線性和時間延遲可忽略）、測速電機電壓與轉(zhuǎn)速關(guān)系、傳動鏈之速度比等等。85(1).比例環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系為比例環(huán)節(jié)的圖形表示86比例環(huán)節(jié)的圖形表示868787負載效應(yīng)：輸出端有負載的影響88負載效應(yīng)：輸出端有負載的影響88

(2).慣性環(huán)節(jié)

特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列微分方程

傳遞函數(shù)：—時間常數(shù)—比例系數(shù)環(huán)節(jié)中有一個貯能元件，當輸入做階躍變化時，其輸出不是立即達到相應(yīng)的平衡狀態(tài)，其變化律用指數(shù)曲線表達。89(2).慣性環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿在單位階躍輸入信號的作用下，慣性環(huán)節(jié)的輸出是非周期的指數(shù)函數(shù)。當時輸出量才接近穩(wěn)態(tài)值。單位階躍響應(yīng)：90在單位階躍輸入信號的作用下，慣性環(huán)節(jié)的輸出是非周期的指數(shù)CR注：以下用輸入輸出象函數(shù)代替時間函數(shù)，將線性微分方程變換成線性代數(shù)方程來求傳遞函數(shù)R,C,L等元件電壓電流間的約束關(guān)系：91CR注：以下用輸入輸出象函數(shù)代替時間函數(shù)，將線性微分方程變換例：暫態(tài)特性：若輸入為單位階躍，則92例：暫態(tài)特性：92慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)93慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)93求傳遞函數(shù)94求傳遞函數(shù)9495959696常見物理系統(tǒng)：直流電機的勵磁回路—激磁回路電感—激磁回路電阻—輸入電壓—勵磁電流97常見物理系統(tǒng)：直流電機的勵磁回路—激磁回路電感—激磁回路電阻當k=1時,輸入為單位階躍函數(shù),時域響應(yīng)曲線和零極點分布圖如下：通過原點的斜率為1/T，且只有一個極點（-1/T）。1yt00.632T通過原點切線斜率為1/TjRe0S平面當輸入為單位階躍函數(shù)時,有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。傳遞函數(shù)：98當k=1時,輸入為單位階躍函數(shù),時域響應(yīng)曲線和零極點分布圖如

(3).積分環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列方程

傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：99(3).積分環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿暫態(tài)特性：若輸入為單位階躍，則100暫態(tài)特性：100常見物理系統(tǒng)：電機拖動系統(tǒng)設(shè)以電動機的轉(zhuǎn)速為n轉(zhuǎn)/分為輸入量，以減速齒輪帶動負載運動的軸角位移θ為輸出量，則電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)101常見物理系統(tǒng)：電機拖動系統(tǒng)101

(4).微分環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列方程

傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：102(4).微分環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：①②③相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛復(fù)數(shù)（當）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。103微分環(huán)節(jié)：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：分別稱為：純微分，一階微分和二階常見物理系統(tǒng)：RC電路純微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合104常見物理系統(tǒng)：RC電路純微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合104式中：一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合105式中：一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合105

(5).振蕩環(huán)節(jié)包含兩個儲能元件，輸入發(fā)生變化時，兩個儲能元件能量互相交接。階躍輸入下，暫態(tài)響應(yīng)可能作周期性的變化。106(5).振蕩環(huán)節(jié)包含兩個儲能元件，輸入發(fā)生變化時107107典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析：108典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析：108令：單位階躍響應(yīng)：109令：單位階躍響應(yīng)：109振蕩環(huán)節(jié)的單位響應(yīng)是有阻尼的正弦曲線。振蕩程度與阻尼比有關(guān)，阻尼比越小，則振蕩越強；阻尼比為零時，出現(xiàn)等幅振蕩；阻尼比越大，則振蕩衰減越快。110振蕩環(huán)節(jié)的單位響應(yīng)是有阻尼的正弦曲線。振蕩程度與阻尼比有關(guān)，振蕩條件：111振蕩條件：111常見物理系統(tǒng)：彈簧阻尼系統(tǒng)機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)RLC電路112常見物理系統(tǒng)：彈簧阻尼系統(tǒng)機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)RLC電路112

(6).純滯后環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列方程

傳遞函數(shù)：又稱時滯/時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。x(t)ty(t)t113(6).純滯后環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下常見物理系統(tǒng)：1、傳輸延遲測量點與混合點之間信號延遲2、軋鋼板的厚度控制系統(tǒng)延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：114常見物理系統(tǒng)：1、傳輸延遲測量點與混合點之間信號延遲延（7）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié),如

它們的極點在s平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。115（7）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié),如它們的極點在s平面的右傳遞函數(shù)小結(jié)傳遞函數(shù)的基本概念(定義及性質(zhì))建模傳遞函數(shù)(由微分方程和系統(tǒng)原理圖出發(fā))(電路系統(tǒng)可直接應(yīng)用復(fù)數(shù)運算阻抗來求傳遞函數(shù))典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)(單位階躍響應(yīng)及其零極點分布)116傳遞函數(shù)小結(jié)傳遞函數(shù)的基本概念(定義及性質(zhì))1162-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一.結(jié)構(gòu)圖的概念和組成1.概念

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各元件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖能反映系統(tǒng)的組成和信號流向,還能表示信號傳遞過程中的數(shù)學關(guān)系.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是系統(tǒng)的數(shù)學模型,是復(fù)域的數(shù)學模型。1172-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一.結(jié)構(gòu)圖的概念和組成控制系統(tǒng)2.組成

(1)信號線(帶箭頭的直線或折線),箭頭表示信號流向.(2)引出點：引出點表示信號引出的位置。一條信號線上的信號處處相等，引出點的信號與原信號相等。1182.組成118(3)比較點：比較點表示對兩個以上的信號進行加減運算。加號常省略負號必須標出119(3)比較點：比較點表示對兩個以上的信號進行加減運算。119(4)方框：方框表示對信號進行的數(shù)學變換。

有輸入信號，輸出信號，信號線，方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)。G(s)X(s)Y(s)120(4)方框：方框表示對信號進行的數(shù)學變換。G(s)X(s)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖由以上4個基本單元組成。結(jié)構(gòu)圖中的方塊內(nèi)寫傳遞函數(shù)，方塊與實際環(huán)節(jié)或系統(tǒng)并非完全一一對應(yīng),可多對一,一對一或一對多.121系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖由以上4個基本單元組成。結(jié)構(gòu)圖中的方塊內(nèi)寫傳物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖繪制方法:二.結(jié)構(gòu)圖的繪制建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號的因果關(guān)系（輸入/輸出）。對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。122物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖繪制方法:二.結(jié)構(gòu)圖的繪制建立系統(tǒng)各元例1：繪制無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖123例1：繪制無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖123畫方塊圖(建模)例2：繪制下列R-C雙T網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖124畫方塊圖(建模)124解:(1)根據(jù)電路定理列出方程,寫出對應(yīng)的拉氏變換,也可直接畫出該電路的運算電路圖如圖(b),(2)根據(jù)列出的算式作出對應(yīng)的框圖。

(3)根據(jù)信號的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來。125解:(1)根據(jù)電路定理列出方程,寫出對應(yīng)的拉氏變換,也可直接126126對上述圖形求輸入到輸出的傳遞函數(shù),還須作等效變換,化簡方塊圖。等效變換:即變換前后,輸入和輸出變量保持不變,方塊得到簡化。1)三種基本連接形式:串聯(lián),并聯(lián),反饋

三.結(jié)構(gòu)圖的等效變換127對上述圖形求輸入到輸出的傳遞函數(shù),還須作等效變換,化簡特征:前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量.由定義結(jié)論：總的等效傳遞函數(shù)等于所有串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積串聯(lián)推廣:128特征:前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量.由定義結(jié)論：總的特征:輸入信號是相同的,均為R(s),輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的輸出之和.結(jié)論：總等效傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的和并聯(lián)推廣:129特征:輸入信號是相同的,均為R(s),輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的前向通道傳函G(s),反饋通道傳函H(s),誤差或偏差信號E(s),開環(huán)傳函G(s)H(s),閉環(huán)傳函(s).

注意:當正反饋時,上述公式中的“+”號應(yīng)改為“-”號.開環(huán)傳函指在輸入信號與反饋信號的比較點處斷開反饋回路,以反饋信號B(s)作為輸出信號時,所得到的傳函.

注意:“開環(huán)控制系統(tǒng)”和“開環(huán)傳函”兩個概念中“開環(huán)”的區(qū)別:前者指無環(huán)(無反饋)的系統(tǒng),后者指打開閉環(huán)得到的傳函.反饋130前向通道傳函G(s),反饋通道傳函H(s),誤差(4)．比較點和引出點的移動規(guī)則

在系統(tǒng)簡化過程中為便于進行串聯(lián),并聯(lián),反饋三種基本連接形式，需要移動比較點和引出點的位置。根據(jù)移動前后所得的信號保持不變的等效原則，可將比較點和引出點順著信號流向或逆著信號流向移動。131(4)．比較點和引出點的移動規(guī)則131分支點前移示意圖

132分支點前移示意圖132分支點后移示意圖

133分支點后移示意圖133引出點移動前后，分支路信號是保持不變的。結(jié)論：

引出點前移時，必須在分出支路串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框；引出點后移時，必須在分出支路串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框。134引出點移動前后，分支路信號是保持不變的。134比較點前移動示意圖

135比較點前移動示意圖135比較點后移動示意圖

136比較點后移動示意圖136相加點移動前后，分出支路信號保持不變。結(jié)論：相加點前移時，必須在移動的相加支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框。相加點后移時，必須在移動的相加支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框。137相加點移動前后，分出支路信號保持不變。137

序號原結(jié)構(gòu)圖等效原結(jié)構(gòu)圖等效法則

1串聯(lián)等效

2并聯(lián)等效

3反饋等效序號原結(jié)構(gòu)圖等效原結(jié)構(gòu)圖等效法則1串聯(lián)等效2并聯(lián)等效

4等效單位反饋5比較點前移6比較點后移7引出點前移

4等效單位反饋5比較點前移6比較點后移7引出點前移

8引出點后移9交換和合并比較點10交換比較點和引出點（一般不采用)11負號在支路上移動

1408引出點后移9交換和合并比較點10交換比較點和引出點（一(6)、結(jié)構(gòu)圖簡化法—求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)步驟:（1）觀察系統(tǒng)中是否存在相互交錯的局部反饋回路；（2）確定系統(tǒng)中的輸入輸出量，把輸入量到輸出量的一條線路列成方塊圖中的前向通道。（3）通過比較點和引出點的移動消除交錯回路。（4）先求出并聯(lián)環(huán)節(jié)和具有局部反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，然后求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

141(6)、結(jié)構(gòu)圖簡化法—求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)步驟:141例9:p51例2-15試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。142例9:p51例2-15142143143144144例10：試用結(jié)構(gòu)圖等效化簡圖a所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)145例10：試用結(jié)構(gòu)圖等效化簡圖a所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)145146146147147148148149149[例]利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)?？偟慕Y(jié)構(gòu)圖如下：---150[例]利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)?？偟臑榱饲蟪隹偟膫鬟f函數(shù)，需要進行適當?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：--①--②151為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進行適當?shù)牡刃ё儞Q--③-④152--③-④152[解]：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：[例3]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點移動-+①153[解]：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：[例3]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函-+②154-+②1542-5信號流圖結(jié)構(gòu)圖優(yōu)點：直觀完整的表達變量間的關(guān)系（方塊圖）缺點：關(guān)聯(lián)性復(fù)雜的系統(tǒng)化簡繁雜，費時

信號流圖

優(yōu)點：無需化簡，可用梅遜公式。1552-5信號流圖結(jié)構(gòu)圖155

信號流圖可以表示系統(tǒng)的傳送過程中的數(shù)學關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。

方塊圖是一種很有用的圖示法。對于復(fù)雜的控制系統(tǒng)，方塊圖的簡化過程仍較復(fù)雜，且易出錯。Mason提出的信號流圖，既能表示系統(tǒng)的特點，而且還能直接應(yīng)用梅遜公式方便的寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，信號流圖在控制工程中也被廣泛地應(yīng)用。156信號流圖可以表示系統(tǒng)的傳送過程中的數(shù)信號流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號流圖由節(jié)點和支路組成。每一個節(jié)點表示系統(tǒng)的一個變量，而每兩個節(jié)點間的連接支路為該兩個變量之間信號的傳輸關(guān)系。信號流向由支路上的箭頭表示，而傳輸關(guān)系（增益，傳遞函數(shù)）則標注在支路上。157信號流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。見下圖：

信號流圖的概念節(jié)點：節(jié)點表示變量。以小圓圈表示。支路：連接節(jié)點之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標在支路上箭頭的旁邊，稱支路增益。支路相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變?yōu)榱硪环N信號。158一、信號流圖及其等效變換信號流圖的概念節(jié)點：節(jié)點表示變量。以上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對節(jié)點來說是輸出支路，對輸出節(jié)點y來說是輸入支路。信號流圖的概念159上圖中，兩者都具有關(guān)系:信號流圖的術(shù)語[幾個術(shù)語]：輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如：C混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：E，P，Q?；旌瞎?jié)點相當于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加。前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳輸時，每個節(jié)點只通過一次的通路叫前向通路。輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如：R，N。160信號流圖的術(shù)語[幾個術(shù)語]：輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支回路(閉通路)：起點和終點為同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱為回路?；ゲ唤佑|回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。信號流圖的術(shù)語通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益?；芈穫鬏?增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。161回路(閉通路)：起點和終點為同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)信號流圖的等效變換串聯(lián)支路合并：并聯(lián)支路的合并：回路的消除：162信號流圖的等效變換串聯(lián)支路合并：并聯(lián)支路的合并：混合支路的清除：信號流圖的等效變換163混合支路的清除：信號流圖的等效變換163信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的。信號流圖的性質(zhì)164信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置[信號流圖的繪制]：⑴由微分方程繪制方程，這與畫方塊圖差不多。⑵由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制。根據(jù)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖，可在結(jié)構(gòu)圖上標出節(jié)點，然后畫出信號流圖。165[信號流圖的繪制]：165書上例2-18，見書P57，畫出圖2-31(書圖2-43)所示系統(tǒng)方塊圖的信號流圖。圖2-31系統(tǒng)方塊圖解：①在結(jié)構(gòu)圖的信號線上用小圓圈表示各變量對應(yīng)的節(jié)點②用標有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方塊，便得到支路注意：在比較點之后的引出點只需在比較點后設(shè)置一個節(jié)點便可。也即可以與它前面的比較點共用一個節(jié)點。

在比較點之前的引出點B，需設(shè)置兩個節(jié)點，分別表示引出點和比較點，注意圖中的166書上例2-18，見書P57，畫出圖2-31(書圖2-43)Mason提出的信號流圖，既能表示系統(tǒng)的特點，而且還能直接應(yīng)用梅森公式方便的寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和信號流圖信號流圖之間有對應(yīng)關(guān)系，所以梅森公式也可直接用于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。梅森（Mason）公式167Mason提出的信號流圖，既能表示系統(tǒng)的特點，而且還能梅遜公式的推導

梅遜公式的來源是根據(jù)克萊姆法則求解線性聯(lián)立方程組時，將解的分子多項式及分母多項式與信號流圖巧妙聯(lián)系的結(jié)果。168梅遜公式的推導梅遜公式的來源是根據(jù)克萊姆法則求解線性聯(lián)梅遜公式的推導由信號流圖得一組代數(shù)方程式整理為：169梅遜公式的推導由信號流圖得一組代數(shù)方程式整理為：169用克萊姆法則求解以上線性聯(lián)立方程組的解，可求得該方程組的系數(shù)行列式170用克萊姆法則求解以上線性聯(lián)立方程組的解，可求得該方程組的根據(jù)克萊姆法則得傳遞函數(shù)為

分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。171根據(jù)克萊姆法則得傳遞函數(shù)為分析上式可以看到，梅遜公式用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù)；第k個前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計算公式為：二、梅遜公式172梅遜公式用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接正負號間隔式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；第k個前向通道的特征式的余子式；其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分；梅遜公式173正負號間隔式中：流圖中所有不梅遜公式

信號流圖特征式，它是信號流圖所表示的方程組的系數(shù)矩陣的行列式。在同一個信號流圖中不論求圖中任何一對節(jié)點之間的增益，其分母總是，變化的只是其分子。174梅遜公式信號流圖特征式，它是信號流圖所表示的方程組的系數(shù)矩

應(yīng)用梅森公式求傳遞函數(shù)步驟：1）觀察信號流圖，找出所有的回路，并寫出它們的回路增益L1，L2，L3，……；2）找出所有可能組合的2個，3個，……互不接觸（無公共節(jié)點）回路，并寫出回路增益；3）

寫出信號流圖特征式；

4）觀察并寫出所有從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道的增益；5）分別寫出與第k條前向通道不接觸部分信號流圖的特征式；6）代入梅森增益公式。175應(yīng)用梅森公式求傳遞函數(shù)步驟：175[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上對應(yīng)每個信號(線)標出節(jié)點,原結(jié)構(gòu)圖上的比較點和分支點也是節(jié)點,結(jié)構(gòu)圖上的方塊改為支路上的增益,負反饋移到增益中,改畫出信號流圖如下,有把握時再考慮合并一些點：[例：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。比較點后添加的節(jié)點可簡化176[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上對應(yīng)每個信號(線)標出節(jié)點,原結(jié)構(gòu)圖上的有兩個互不接觸回路:（因為三個回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：有一個前向通道:有三個回路:177有兩個互不接觸回路:（因為三個回路都與前向通道接觸。）總傳輸討論：信號流圖中，如a點和b點之間的傳輸為1，但是這兩點不可以合并。因為a點輸出和b點輸入的信號數(shù)量不一樣。如果合并的話，總傳輸將不一樣，不等效。上圖中,a和b可以合并(ui和ue,

I1和I也可以合并)。(串聯(lián)關(guān)系)應(yīng)用Mason公式可以不考慮流圖的化簡,但是由結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換為信號流圖時,要注意轉(zhuǎn)換無誤!178討論：信號流圖中，如a點和b點之間的傳輸為1，但是這兩點不可2-6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)在工作過程中受到參考輸入和擾動輸入這兩類輸入的作用，參考輸入通常作用在控制裝置的輸入端，而干擾輸入一般作用在受控對象上，但也可能出現(xiàn)在其它元部件上，甚至在輸入信號中。反饋控制系統(tǒng)一般如圖2.18所示。1792-6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)在工作過程

閉環(huán)系統(tǒng)的輸出信號對于參考輸入信號的傳遞函數(shù)稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)。為了求取系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，令，即

一.參考輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)(參考輸入作用下的結(jié)構(gòu)圖)180一.參考輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)(參考輸入作用下的結(jié)構(gòu)

由結(jié)構(gòu)圖簡化規(guī)則，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

可見，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子是前向通道傳遞函數(shù)，分母是開環(huán)傳遞函數(shù)與1之和。

181181

(擾動輸入作用下的結(jié)構(gòu)圖)二.擾動輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)182(擾動輸入作用下的結(jié)構(gòu)圖)二.擾動輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)

為了求取擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，令r(t)=0，即R(s)=0，由結(jié)構(gòu)圖簡化規(guī)則，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:183為了求取擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，令r(t)

三.參考輸入和擾動輸入共同作用下系統(tǒng)的輸出在參考輸入和擾動輸入單獨作用下的輸出信號分別為:184三.參考輸入和擾動輸入共同作用下系統(tǒng)的輸出在參考輸入和擾動因為系統(tǒng)是線性的，滿足疊加原理，所以，在參考輸入和擾動輸入共同作用下，系統(tǒng)的輸出為:185因為系統(tǒng)是線性的，滿足疊加原理，所以，在參考輸四.系統(tǒng)在參考輸入和擾動輸入作用下的誤差信號1.參考輸入單獨作用下的誤差傳遞函數(shù)2.擾動輸入單獨作用下的誤差傳遞函數(shù)系統(tǒng)在參考輸入和擾動輸入共同作用下的誤差信號為:186四.系統(tǒng)在參考輸入和擾動輸入作用下的誤差信號1.參考輸入梅遜公式||例6--+++++為節(jié)點注意：①信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系；②仔細確定前向通道和回路的個數(shù)。[例]畫出結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖，數(shù)數(shù)有幾個回路和前向通道。187梅遜公式||例6--+++++為節(jié)點注意：①信號流圖與結(jié)構(gòu)圖梅遜公式||例6[例]數(shù)數(shù)有幾個回路和前向通道。有四個回路，分別是：它們都是互相接觸的。有九條前向通道，分別是：188梅遜公式||例6[例]數(shù)數(shù)有幾個回路和前向通道。有四個回例:試應(yīng)用梅森公式求取下圖所示方框圖的傳遞函數(shù)。

189例:試應(yīng)用梅森公式求取下圖所示方框圖的傳遞函數(shù)。189解.本題信號流圖為1G1G2G3G4-H1H2-H3-H41-1190解.本題信號流圖為1G1G2G3G4-H1H2-H3-H191191192192193193194194195195例:

試應(yīng)用梅森公式求取下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。196例:試應(yīng)用梅森公式求取下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。196197197198198小結(jié)

信號流圖的組成；術(shù)語；信號流圖的繪制和等效變換；梅遜公式及其應(yīng)用；信號流圖和結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系。小結(jié)199小結(jié)小結(jié)199第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2-1引言2-2微分方程的建立及線性化2-3傳遞函數(shù)2-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2-5信號流圖2-6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)200第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2-1引言1

1.數(shù)學模型定義：控制系統(tǒng)的輸入和輸出之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學表達式即為數(shù)學模型。數(shù)學模型是分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。2011.數(shù)學模型定義：22.為什么要建立數(shù)學模型：我們需要了解系統(tǒng)的具體的性能指標，只是定性地了解系統(tǒng)的工作原理和大致的運動過程是不夠的，希望能夠從理論上對系統(tǒng)的性能進行定量的分析和計算。要做到這一點，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。它是分析和設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。2022.為什么要建立數(shù)學模型：我們需要了解另一個原因：許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運動規(guī)律可能完全一樣，可以用一個運動方程來表示，我們可以不單獨地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學表達式，即可知其變量間的關(guān)系，這種關(guān)系可代表數(shù)學表達式相同的任何系統(tǒng)，因此需建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型。比如機械平移系統(tǒng)和RLC電路就可以用同一個數(shù)學表達式分析，具有相同的數(shù)學模型。203另一個原因：許多表面上看來似乎毫無共3.表示形式

a.微分方程

b.傳遞函數(shù)

c.頻率特性

三種數(shù)學模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換同一個系統(tǒng)，可以選用不同的數(shù)學模型，研究時域響應(yīng)時可以用傳遞函數(shù)，研究頻域響應(yīng)時則要用頻率特性。2043.表示形式a.微分方程三種數(shù)學模型之間的關(guān)4.建立方法目前工程上采用的方法主要是:

a.分析計算法分析計算法是根據(jù)支配系統(tǒng)的內(nèi)在運動規(guī)律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，推導出輸入量和輸出量之間的數(shù)學表達式，從而建立數(shù)學模型——適用于簡單的系統(tǒng)。2054.建立方法6b.工程實驗法

工程實驗法：它是利用系統(tǒng)的輸入--輸出信號來建立數(shù)學模型的方法。通常在對系統(tǒng)一無所知的情況下，采用這種建模方法。但實際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為灰盒，可以分析計算法與工程實驗法一起用，較準確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。黑盒輸入輸出206b.工程實驗法但實際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為實際控制系統(tǒng)的數(shù)學模型往往是很復(fù)雜的，在一般情況下，常常可以忽略一些影響較小的因素來簡化，但這就出現(xiàn)了一對矛盾，簡化與準確性。不能過于簡化，而使數(shù)學模型變的不準確，也不能過分追求準確性，使系統(tǒng)的數(shù)學模型過于復(fù)雜。207實際控制系統(tǒng)的數(shù)學模型往往是很復(fù)雜的，在二.線性系統(tǒng)

線性元件：具有迭加性和齊次性的元件稱為線性元件。非線性元件：不具有迭加性和齊次性的元件稱為非線性元件。208二.線性系統(tǒng)92-1引言一.數(shù)學模型工程控制中常用的數(shù)學模型有三種：

微分方程----------時域描述傳遞函數(shù)----------復(fù)域描述頻率特性----------頻域描述本節(jié)主要介紹傳遞函數(shù)與微分方程兩種數(shù)學模型2092-1引言一.數(shù)學模型10

如果元件輸入為r（t）、r1（t）、r2（t），對應(yīng)的輸出為c（t）、c1（t）、c2（t）如果r（t）=r1（t）+r2（t）時，c（t）=c1（t）+c2（t）滿足迭加性如果r（t）=a·r1（t）時，c（t）=a·c1（t）滿足齊次性

滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件。21011

線性系統(tǒng)重新定義：若組成系統(tǒng)的各元件均為線性元件，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。例如y=kx是線性元件線性元件一定滿足迭加性和齊次性。輸入x1y1輸出x2y2

輸入x1＋x2對應(yīng)輸出y1＋y2滿足迭加性k為常數(shù)，kx1ky1滿足齊次性所表示的元件為線性元件211線性系統(tǒng)重新定義：若組成系統(tǒng)的各元件均為線性元件，y=kx+b(b為常數(shù)0)線性方程，但所表示的元件不是線性元件.為什么呢？輸入x1y1輸出y1＝kx1+bx2y2y2=kx2+b輸入x1＋x2輸出y=k(x1＋x2)+b=kx1+kx2+by1+y2

不滿足迭加性

212y=kx+b(b為常數(shù)0)線性方程，13k為常數(shù):kx1輸出y=k(kx1)+b=k2x1+bky1=k(kx1+b)=k2x1+kbyky1不滿足齊次方程。線性方程不一定滿足迭加性和齊次性。所表示的元件不是線性元件。213k為常數(shù):kx1輸出y=k(kx1)+b=k2x1+b14又例如：元件的數(shù)學模型為：元件的數(shù)學模型為：214又例如：元件的數(shù)學模型為：元件的數(shù)學模型為：152.重要特點：對線性系統(tǒng)可以應(yīng)用迭加性和齊次性，對研究帶來了極大的方便。

迭加性的應(yīng)用：

欲求系統(tǒng)在幾個輸入信號和干擾信號同時作用下的總響應(yīng)，只要對這幾個外作用單獨求響應(yīng)，然后加起來就是總響應(yīng)。

2152.重要特點：對線性系統(tǒng)可以應(yīng)用迭加性和齊次性，對研究帶來了

齊次性表明：當外作用的數(shù)值增大若干倍時，其響應(yīng)的數(shù)值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對系統(tǒng)進行分析——簡化了問題。216齊次性表明：當外作用的數(shù)值增大若干一.微分方程的建立微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學模型，要研究系統(tǒng)的運動，必須列寫系統(tǒng)的微分方程。一個控制系統(tǒng)由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據(jù)各個元件的物理規(guī)律，列寫各個元件的微分方程，得到一個微分方程組，然后消去中間變量，即得控制系統(tǒng)總的輸入和輸出的微分方程。2-2微分方程的建立及線性化217一.微分方程的建立2-2微分方程的建立及線性化18動態(tài)微分方程式的編寫目的：確定被控量與給定量或擾動量間的函數(shù)關(guān)系。機理法建立數(shù)學模型的一般步驟：⑴分析系統(tǒng)工作原理和能量、信號變換過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入輸出量。⑵由輸入開始依次由物理規(guī)律列寫各部分方程。⑶消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸入輸出變量關(guān)系的數(shù)學模型（微分方程）。⑷標準化（如輸入在右，輸出在左，降冪排列導數(shù)等）218動態(tài)微分方程式的編寫目的：確定被控量與給定量或擾動量間的函數(shù)例1.機械平移系統(tǒng)求在外力F(t)作用下，物體的運動軌跡。mkF(t)x(t)位移阻尼系數(shù)f阻尼器彈簧219例1.機械平移系統(tǒng)求在外力F(t)作用下，物體的運動軌求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程.輸入量為外力F，輸出量為位移x。(p.22)[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m