一道中考二次函數壓軸題的解題啟示錄一道中考二次函數壓軸題的解題啟示錄一道中考二次函數壓軸題的解題啟示錄一道中考二次函數壓軸題的解題啟示錄編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:一道中考二次函數壓軸題的解題啟示錄山東沂源縣徐家莊中心學校256116孟令剛左效平考題在線：（2017年菏澤）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=a+bx+1交y軸于點A，交x軸正半軸于點B(4,0)，與過A點的直線相交于另一點D(3,)，過點D作DC⊥x軸，垂足為C.（1）求拋物線的表達式；（2）點P在線段OC上（不與點O、C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點N，連接CM，求△PCM面積的最大值；（3）若P是x軸正半軸上的一動點，設OP的長為t，是否存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.2-1-c-n-2-1-cnjy育圖SEQ圖\*ARABIC11思路探尋：第一問是一個基本問題，解答起來應該沒有問題.確定二次函數解析式的基本方法有三種：一般式型：設解析式為y=a+bx+c,需要知道圖像上任意三點的坐標，分別代入后轉化為a,b,c的三元一次方程組，借助消元法，分別求得a,b,c的值，回代即可得函數解析式；頂點式型：已知拋物線的頂點坐標(h,k)及其圖像上一個點的坐標，設解析式為y=a+k,代入任意點的坐標，轉化為a的一元一次方程，求得a的值，回代即可得函數解析式；交點式型：已知拋物線與x軸的交點坐標為（，0），（，0）及其圖像上一個點的坐標，設解析式為y=a（x-）（x-）,代入任意點的坐標，轉化為a的一元一次方程，求得a的值，回代即可得函數解析式.這里的二次函數表達式是一般式，但是常數c是已知的，所以只需將點B,D的坐標分別代入，將問題轉化為關于a,b的二元一次方程組即可，解二元一次方程組是同學們必須熟練，準確，敏捷完成的數學基礎性問題.第二問求三角形PCM面積的最大值，需要按照如下思路去定尋：首先確定三角形PCM是直角三角形，這樣就順利確定了這個三角形的面積應該是PMPC，這是解題的切入點；接下來就是確定PM，PC的長度，為解決此環節問題，需要一個小技巧，這就是設動點P的坐標為(m,0),這樣PC=3-m,PM等于當x=m時，直線AD對應的函數值，只需提前確定好直線AD的解析式即可，這樣就把三角形PCM的面積轉化為m的二次函數，其最值可定；第三問主要是滲透平行四邊形的判定，仔細觀察不難發現已經具備的條件是MN∥CD，根據判定方法，只需加上MN=CD即可，這樣確定MN的長度即成為了解題的關鍵，為了防止漏解，在表示MN的距離時最好借助絕對值來完成，這樣即防止了漏解，又能不陷入分類思想的漩渦中，大大提高了解題的準確率.解答直播：（1）把點B(4,0)，點D(3,)分別代入y=a+bx+1中，得，解得，所以拋物線的解析式為y=-+x+1；（2）因為點A(0,1),點D(3,),設直線AD的解析式為y=kx+n，所以，解得，所以直線AD的解析式為y=x+1.設動點P的坐標為(m,0),所以PC=3-m,當x=m時，y=m+1,所以M（m,m+1）,所以PM=m+1，所以直角三角形PCM的面積S=PMPC=（3-m）(m+1)=-+,因為0≤m≤3,-＜0,所以S有最大值，且當m=時，S最大值為；（3）設動點P的坐標為(t,0),所以M（t,t+1）,N（t,-+t+1）,所以MN=|-+t+1-t-1|=|-+t|,因為DC=，且MN∥CD，所以當MN=DC時，四邊形DCMN是平行四邊形，所以|-+t|=，所以-+t=或-+t=-，當-+t=時，整理，得3-9t+10=0,此時△=81-120＜0，故方程無解，此時不存在滿足條件的點P；當-+t=-時，整理，得3-9t-10=0,此時△=81+120=201＞0，故方程有解，所以=，=，因為t＞0，所以=舍去.綜上所述，存在這樣的點P使得以D,C,M,N為頂點四邊形是平行四邊形，此時P(,O).解后反思：通過解題，我們深深體會到如下幾點：1.確定二次函數的解析式需要熟練運用好方程的思想，根據未知數的個數，分別運用三元一次方程組，二元一次方程組，一元一次方程，只要熟練掌握解方程或解方程組的基本要領，確定解析式可謂水到渠成；2.學會根據題意把最值問題科學轉化成相應的二次函數的最值問題，而確定二次函數的最值是同學們的必須課，是二次函數學習的最重要知識點之一，要在常態學習中不斷強化，提高解題的熟練度和準確度；3.學會把坐標系背景下平行y軸直線上兩點間的距離轉化為縱坐標差的絕對值，從而使得問題求解更全面，更縝密，謹防漏解致錯而痛失不應該丟的分值而遺憾；4.學會靈活處理二次函數與其他知識的綜合，并能靈活，科學的選擇解題方法，使得綜合問題求解不綜合，巧妙將綜合化歸為單一，專項知識加以求解，這是數學解題的實質，要在學習過程中不斷強化和鍛煉.除了上述的反思，我們還在題目的引申變式上進行反思，于是就生成了如下兩個最值問題：引申1：若P是x軸正半軸上的一動點，設OP的長為t，是否存在t，使三角形PAD的周長最小若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.2-1分析：三角形PAD周長最小問題，實際上可以轉化為將軍飲馬問題的模型加以解決，充分利用對稱的思想，進而轉化為一次函數解析式確定，最后借助直線與x軸相交問題得以破解.2-1解：因為點A（0,1），所以其對稱點的坐標為（0，-1），因為直線經過點(0,-1),點D(3,),設直線解析式為y=kx+n，所以，解得，所以直線的解析式為y=x-1，令y=0，得x-1=0,解得x=,所以存在這樣的點P，使得三角形PAD的周長最小，此時點P的坐標為（,0）.引申2：如圖2，若P是直線AD上方拋物線上的一動點，設P的橫坐標為t，求三角形PAD面積的最值.2-1圖SEQ圖\*ARABIC2分析：將三角形PAD的面積適當分割，把三角形的面積轉化為關于變量t的二次函數，從而求得其最值解：過P作PC∥y軸交AD于G，過A作AH⊥PC，垂足為H，過D作AD⊥DE，二線交于點E，過D作DF⊥PC，垂足為F，因為點P的橫坐標為t，且拋物線解析式為y=-+x+1，直線AD的解析式為y=x+1，所以點P（t,-+t+1），