庖丁巧解牛知識·巧學一、重力與萬有引力重力是萬有引力產生的.由于地球的自轉，因而地球表面的物體隨地球自轉時需要向心力.重力實際上是萬有引力的一個分力，另一個分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力.如圖7-4-1所示，由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而地球表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化.圖7-4-1在赤道處，物體的萬有引力分解的兩個分力F向和mg剛好在一條直線上，則有F=F向+mg所以mg=F-F向=-mR·ω自2因地球自轉角速度很小，＞＞mRω自2，所以mg≈在兩極，向心力為零，故萬有引力就等于重力，即mg＝可見，從赤道到兩極，重力加速度逐漸變大.通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，所以認為兩者相等，即mg=.深化升華從上式可以得到重力加速度的一個表達式：g=，式中，M為天體的質量，R為天體的半徑，g為天體表面的重力加速度.在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，因為物體所受引力隨物體離地面高度的增加而減小，即g′=.二、計算天體的質量1.研究天體運動的應用公式研究天體運動時，太陽系中的九大行星及其衛星的運動都可以看作勻速圓周運動，它們做勻速圓周運動的向心力就是它們受到的萬有引力.F=〔或F==mω2r=m=mr=m（2πn）2r〕.2.計算天體的質量以地球質量的計算為例（1）若已知月球繞地球做勻速圓周運動的周期為T，半徑為r，根據=m月得M地=4π2r3/GT2.（注意理解r、T的意義，不要與地球的自轉周期、半徑相混淆）（2）若已知月球繞地球做勻速圓周運動的線速度v和半徑r，根據=m月v2/r得M地=rv2/G.（3）若已知月球運行的線速度v和周期T，根據=m月v·和=m月v2/r得M地=v3T/（2πG）.（4）若已知地球半徑R和地球表面的重力加速度g，根據mg=得M地=.深化升華（1）在用萬有引力等于向心力列式求天體的質量時，只能求出中心天體的質量，而不能求出環繞天體的質量.（2）掌握日常知識中地球的公轉周期、地球的自轉周期、月球的周期及地球同步衛星的周期等，在估算天體質量時，應作為隱含的已知條件加以挖掘運用.（3）將一個不易測量的被測量轉化為可以直接測量的量加以測量，而后依據由規律導出的關系式（測量式）進行計算，間接獲取測量結果，稱為間接測量.三、發現未知天體歷史上天文學家曾經根據萬有引力定律計算太陽系中天王星的運動軌道，由于計算值與實際情況有較大偏差，促使天文學家經過進一步的研究先后發現了海王星和冥王星.這兩顆星的發現進一步證明了萬有引力定律的正確性，而且也顯示了萬有引力定律對天文學研究的重大意義.海王星和冥王星的發現是理論指導實踐的光輝典范，它表明了一個科學的理論不僅能解釋已知的事實，而且要能預言未知的事實.聯想發散海王星和冥王星的實際軌道與計算結果仍然不能完全符合，你認為這預示著什么問題？也許在海王星和冥王星的外面還有未發現的行星，但是距離遙遠，太陽的光到達那里已經太微弱了，從地球上很難看出究竟.四、解決天體問題的兩條思路萬有引力提供天體運動的向心力、重力等于萬有引力是我們研究天體運動的兩大依據.（1）萬有引力提供向心力=研究天體運動時，不考慮其自轉，萬有引力全部用來提供向心力.聯想發散進入繞地球運行軌道的宇宙飛船，在運行時還需要開發動機嗎？為什么？不需要.宇宙飛船在軌道上運行時，萬有引力全部用來提供做圓周運動的向心力，不需開發動機.（2）重力等于其所受萬有引力mg=（m在M的表面上）式中的r是軌道半徑，R是天體半徑.誤區警示注意區分軌道向心加速度和天體表面重力加速度：在軌道上，軌道向心加速度：a向=（r為軌道半徑）也稱為軌道處的重力加速度，故a向=g軌=.在天體表面上，表面重力加速度：g=（R為天體半徑）.問題·探究問題1如何計算天體的密度呢？探究：上述我們已經能夠依據衛星繞中心天體做圓周運動的一些物理量來求解中心天體的質量，同時，也可以依據中心天體表面重力加速度來求解中心天體的質量.倘若再知道中心天體的半徑，進而求出其體積，則密度即可求取.思路如下：（1）已知衛星繞中心天體做勻速圓周運動的周期為T，半徑為r，根據得M=4π2r3/GT2.倘若再知道中心天體的半徑R，則天體的密度ρ=將M=代入上式得：ρ=當衛星環繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ=.（2）已知天體表面上的重力加速度為g，則=mg則M=ρ=天體密度的這幾個表達式經常用到，要能推導、理解各量的意義.問題2假若你被送到月球上，已經知道月球的半徑，給你一只彈簧秤和一個已知質量的砝碼，你能否測出月球的質量？怎樣測定？探究：不妨先用彈簧秤測出物體的重力，即測得了月球表面物體的重力加速度.再利用重力等于萬有引力，列方程分析.步驟如下：（1）將砝碼掛在彈簧秤上，測出彈簧秤的讀數F由F=mg月所以g月=①（2）砝碼的重力應等于月球的引力mg月=，所以M=②將①代入②，解得M=.典題·熱題例1利用下列哪組數據，可以計算出地球的質量（已知引力常量G）（）A.已知地球的半徑R和地面的重力加速度gB.已知衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和線速度vC.已知衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和周期TD.已知衛星繞地球做勻速圓周運動的線速度v和周期T解析：根據地球表面的重力加速度公式g=，可知選項a是正確的.根據衛星的運行速度公式v=，可知選項B是正確的.根據線速度和周期及半徑的關系式v=，算出半徑r再代入v=，可知選項C也是正確的.同理可知選項D也是正確的.答案：ABCD方法歸納應用萬有引力定律分析中心天體的質量和環繞天體的運動，其基本方法是：把環繞天體的運動看成是勻速圓周運動，所需向心力由萬有引力提供，即=m=mω2r=m()2r=m(2πn)2r=mg′.應用時可根據實際情況選用適當的公式進行分析或計算.例2如果到某一天，因某種原因地球自轉加快，則地球上物體的重力將發生怎樣的變化？當角速度等于多少時，赤道上的物體重力為零？（R=×106m，M=×1024kg，G=×10-11N·m解析：重力是引力的分力.地球上物體隨地球自轉做圓周運動的向心力由引力的分力提供，引力的另一分力為重力，根據平行四邊形定則和向心力公式即可判斷，赤道上物體是一種特殊情況，結合其特點和題中條件，可知重力為零時，引力充當向心力，據此即可求出第二問.圖7-4-2如圖7-4-2所示，物體在某一緯度為α的示意圖，O為地心，O′為物體隨地球自轉的軌道圓心，f為向心力，F為地球引力，（本圖是示意圖，實際上f很小，為表示問題，示意圖將f夸大）f=mω2r=mω2Rcosα.在某一緯度上的物體m，當ω增大時，f增大，而引力F一定，據平行四邊形定則可知重力G減小，即地球自轉加快，重力減小.特殊情況之一：在兩極的物體，因為α=90°，所以f=0，G=F，重力不受自轉的影響.特殊情況之二：在赤道上的物體，α=0°，f=mω2R，且f、G、F均指向O，在同一直線上，有G=F-f=-mω2R令G=0，則ω=rad/s≈×10-3rad/s.所以當地球自轉角速度為×10-3rad/s時，赤道上的物體重力為零（完全失重）.方法歸納通常情況下，物體隨地球自轉所做的圓周運動所需向心力很小，故可在近似計算中取G=F，但若要考慮自轉的影響，則不能近似處理.例3太陽光經500s到達地球，地球的半徑是6400km，試估算太陽質量與地球質量的比值（取一位有效數字）.解析：地球圍繞太陽做圓周運動所需的向心力是由太陽對地球的萬有引力提供的，地球公轉的周期是個生活常識，可作為已知量，從而計算出太陽的質量.在忽略地球自轉影響的情況下，物體在地球表面所受的重力等于地球對物體的萬有引力，由此可算出地球質量，從而可得太陽質量與地球質量的比值.地球到太陽的距離為r=ct=×108×500m=×1011地球繞太陽的運動可看作勻速圓周運動，向心力為太陽對地球的萬有引力，地球繞太陽公轉的周期為T=365天=×107s，則=m()2r，太陽的質量為M=.地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，在忽略地球自轉的情況下，物體在地球表面所受的重力等于地球對物體的萬有引力，即m′g=，則地球的質量為m=.所以，太陽質量與地球質量的比值為≈3×105.方法歸納求天體質量的方法主要有兩種：一種方法是根據重力等于萬有引力，即mg=，求得M=；另一種方法是根據萬有引力等于向心力，即=m()2r，求得M=.當然，用第二種方法只能求中心天體的質量.例4在地球某處海平面上測得物體自由下落高度h、所需的時間為t，到某高山頂測得物體自由下落同樣高度所需時間增加了Δt.已知地球半徑為R，試求山的高度H.解析：物體下落時間變長，是由于重力加速度隨高度增大而變小所致，我們可以依據“地球表面物體所受重力等于萬有引力”來尋找重力加速度與高度間的關系，依此作為切入點分析求解.在海平面，g=，自由落體時間t=;在高山頂，g′=，自由落體時間t+Δt=，所以，所以山的高度：H=.方法歸納解決此類問題的出發點是重力和萬有引力相等，聯系重力加速度的表達式，找出重力加速度和高度的關系即可.例5某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的衛星的周期是T，試證明ρT2為一個常數.解析：將行星看作一個球體，衛星繞行星做勻速圓周運動的向心力由萬有引力提供.設半徑為R，則密度ρ與質量M、體積V的關系為M=ρV=ρπR3對衛星，萬有引力提供向心力由=mR，得整理得ρT2=為一常量.例6(2022四川理綜)蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動.隨著科技的迅速發展，將來的某一天，同學們也許會在其他星球上享受蕩秋千的樂趣.假設你當時所在星球的質量是M、半徑為R，可將人視為質點，秋千質量不計、擺長不變、擺角小于90°,萬有引力常量為G.那么，（1）該星球表面附近的重力加速度g星等于多少？（