蘇教版高中數學選修4-5知識點1．不等式的基天性質．實數大小的比較(1)數軸上的點與實數之間擁有一一對應關系．(2)設a、b是兩個實數，它們在數軸上所對應的點分別是A、B.當點A在點B的左側時，a<b；當點A在點B的右側時，a>b．兩個實數的大小與這兩個實數差的符號的關系(不等式的意義)a>ba－b>0a＝ba－b＝0a<ba－b<0兩個實數比較大小的步驟①作差；②變形；③判斷差的符號；④結論．2．不等關系與不等式不等號有≠，>，<，≥，≤共5個．相等關系和不等關系隨意給定兩個實數，它們之間要么相等，要么不相等．現實生活中的兩個量從嚴格意義上說相等是特別的、相對的，不等是廣泛的、絕對的，所以絕大部分的量都是以不等關系存在的．不等式的定義：用不等號連結起來的式子叫做不等式．不等關系的表示：用不等式或不等式組表示不等關系．不等式的基天性質對稱性：a>bb<a；傳達性：a>b，b>ca>c；可加性：a>b，c∈Ra＋c>b＋c；加法法例：a>b，c>da＋c>b＋d；可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；乘法法例：a>b>0，c>d>0ac>bd；乘方法例：a>b>0，n∈N且n≥2an>bn；n開方法例：a>b>0，n∈N且n≥2a>b.19）倒數法例，即a>b>0a<b.2．基本不等式1．重要不等式定理1：假如a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號建立．2．基本不等式(1)定理2：假如a，b>0，那么ab2ab(a＋bab)，當且僅當a＝b時，等號建立．2≥(2)定理2的應用：對兩個正實數x，y，①假如它們的和S是定值，則當且僅當x＝y時，它們的積S2P獲得最大值，最大值為.4②假如它們的積P是定值，則當且僅當x＝y時，它們的和S獲得最小值，最小值為2P.3．基本不等式ab≤a＋b的幾何解說2如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB上隨意一點，DE是過C點垂直AB的弦．若AC＝a，BC＝b，則AB＝a＋b，⊙O的半徑

R＝

a＋b2，Rt△ACD∽Rt△DCB，CD＝AC·BC＝ab，CD＝2

ab，CD≤Rab≤

a＋b，當且僅當2

C點與

O點重合AB

a＋b時，CD＝R＝

2，即

ab＝

2

.4．幾個常用的重要不等式假如a∈R，那么a2≥0，當且僅當a＝0時取等號；a＋b）2(2)假如a，>0，那么≤，當且僅當＝b時等號建立．bab4a1(3)假如a>0，那么a＋a≥2，當且僅當a＝1時等號建立．b假如ab>0，那么b＋a≥2，當且僅當a＝b時等號建立．3．三個正數的算術-幾何均勻不等式1．假如a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，當且僅當a＝b＝c時，等號建立．3＋＋32．(定理3)假如a、b、c∈R，那么abc3abc(≥a＝b＝c時，等號成＋3立．即三個正數的算術均勻不小于它們的幾何均勻．a＋a＋＋an12n≥aaa，當且僅當a＝a＝＝a時，等號建立．即對3．假如a，a，，a∈R，那么12n＋n12n12n于n個正數a1，a2，，an，它們的算術均勻不小于它們的幾何均勻．絕對值不等式1．絕對值三角不等式1．絕對值及其幾何意義(1)絕對值定義：|a|＝a（a≥0）－a（a<0）(2)絕對值幾何意義：實數a的絕對值|a|表示數軸上坐標為a的點A到原點O的距離|OA|.(3)數軸上兩點間的距離公式：設數軸上隨意兩點A，B分別對應實數x1，x2，則|AB|＝|x1－x2|．2．絕對值三角不等式定理1：假如a，b是實數，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號建立．推論1：假如a，b是實數，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.推論2：假如a，b是實數，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.定理2：假如a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號建立．2．絕對值不等式的解法1．|x|<a與|x|>a型不等式的解法設a>0，則(1)|x|<a－a<x<a；(2)|x|≤a－a≤x≤a；(3)|x|>ax<－a或x>a；(4)|x|≥ax≤－a或x≥a．2．|ax＋b|≤c(c>0)與|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥cax＋b≤－c或ax＋b≥c．3．|x－a|＋|x－b|≤c與|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法利用絕對值不等式的幾何意義求解，表現數形聯合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以正確的幾何解說．以絕對值的零點為分界點，將數軸分為幾個區間，利用“零點分段法”求解，表現分類議論的思想．確立各個絕對值號內多項式的正、負號，從而去掉絕對值號．(3)經過結構函數，利用函數的圖象求解，表現了函數與方程的思想．正確求出函數的零點并畫出函數圖象(有時需要觀察函數的增減性)是要點．注：絕對值的幾何意義(1)|x|的幾何意義是數軸上點x與原點O的距離；(2)|x－|＋|x－|的幾何意義是數軸上點x到點a和點b的距離之和；ab(3)|x－|－|x－|的幾何意義是數軸上點x到點a和點b的距離之差．ab2．絕對值不等式的幾何意義(1)|x|≤a(a>0)的幾何意義是以點a和－a為端點的線段，|x|≤a的解集是[－a，a]．(2)|x|>a(a>0)的幾何意義是數軸除掉以點a和－a為端點的線段后剩下的兩條射線，|x|>a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)．3．解含絕對值不等式的要點是去掉絕對值變形為不含絕對值的不等式(組)求解．例題：比如：分類議論法：即經過合理分類去絕對值后再求解。例1：解不等式x1x25。剖析:由x10，x20，得x1和x2。2和1把實數會合分紅三個區間，即x2，2x1，x1，按這三個區間可去絕對值，故可按這三個區間議論。x2解得：3x2解:當x＜-2時，得，(x1)(x2)52x1,2x1當-2≤x≤1時，得1)，解得：(x(x2)5當x1x1,解得：1x2時，得，(x1)(x2)5.綜上，原不等式的解集為x3x2。例2：解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.解：①當x>2時，原不等式可化為>2，（2x－4）－（3x＋9）<1，解得x>2.②當－3≤x≤2時，原不等式可化為－3≤x≤2，－（2x－4）－（3x＋9）<1，6解得－5<x≤2.③當x<－3時，原不等式可化為x<－3，－（2x－4）＋（3x＋9）<1，解得

x<－12.6綜上所述，原不等式的解集為

{x|x<－12

或

x>－5}．第二講證明不等式的基本方法一比較法比較法主要有

1.作差比較法

2.作商比較法1．作差比較法

(簡稱比差法

)作差比較法的證明依照是：a>ba－b>0；a＝ba－b＝0；a<ba－b<0.基本步驟是：①作差；②變形；③判號；④結論．2．作商比較法(簡稱比商法)aaa(1)作商比較法的證明依照是：當b>0時，b>1a>b；b＝1a＝b；b<1a<b.(2)基本步驟是：①作商；②變形；③比較與1的大??；④結論．注意：對作差比較法的理解在證明不等式的各樣方法中，作差比較法是最基本、最重要的方法．作差比較法是經過確立不等式兩邊的差的符號來證明不等式的，因此其應用特別寬泛．不等式差的符號是正是負，一般一定利用不等式的性質經過變形才能判斷，此中變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差的值是多少．變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等．作差比較法，主要合用于不等式兩邊是整式或分式型的有理不等式的證明．在判斷不等式兩邊的式子同號的條件下，假如直接作差不易變形，能夠借助不等式性質作平方差或立方差，進行證明．2．對作商比較法的理解aaa(1)使用作商法證明不等式a>b時，必定要注意b>0這個前提條件．若b<0，b<1a>b，b＝1a＝b，b>1a<b.當欲證明的不等式的兩邊是乘積形式、指數冪形式，不一樣底的對數式形式時，常用作商法證明．綜合法與剖析法1．綜合法一般地，從已知條件出發，利用定義、公義、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得出命題建立，這類證明方法叫做綜合法．綜合法又叫順推證法或由因導果法．2．剖析法證明命題時，從要證的結論出發，逐漸追求使它建立的充分條件，直到所需條件為已知條件或一個明顯建立的事實(定義、公義或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題建立，這類證明方法叫做剖析法．這是一種執果索因的思慮和證明方法．注意:1．用綜合法證明不等式的邏輯關系AB1B2BnB由已知逐漸推演不等式建立的必需條件，從而得結論．2．用剖析法證明不等式的邏輯關系AB1B2BnB由結論步步追求不等式建立的充分條件，從而到已知．3．綜合法和剖析法的比較相同點：都是直接證明．不一樣點：綜合法：由因導果，形式簡短，易于表達；剖析法：執果索因，利于思慮，易于探究．4．證明不等式的往常做法常用剖析法找證題切入點，用綜合法寫證題過程．三反證法與放縮法1．反證法證明不等式時，第一假定要證的命題不建立，

以此為出發點，聯合已知條件，應用公義、定義、定理、性質等，進行正確的推理，獲得和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯建立的事實等)矛盾的結論，以說明假定不正確，從而證明原命題建立．我們把它稱之為反證法．2．放縮法證明不等式時，經過把不等式中的某些部分的值放大或減小，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這類方法稱為放縮法．3．換元法將所證的不等式的字母作適合的代換，以達到簡化證題過程的目的，這類方法稱為換元法．注意：1．對于反證法反證法的原理能否認之否認等于必定．即第一次否認—在假定中，否認了卻論↓第二次否認—經過推理論證，又否認了假定反證法的使用范圍一般以下幾種狀況適合使用反證法：①結論自己是以否認形式出現的一類命題；②相關結論是以“至多”或“起碼”的形式出現的一類命題；③對于獨一性、存在性的命題；④結論的反面是比原結論更詳細、更簡單研究的命題．使用反證法的主要步驟正確地作出反設是反證法證題的前提，下邊是常用詞語的反設原結論是

反設不是

原結論起碼有一個

反設一個也沒有都是起碼有一個不至多有一個起碼有兩個是大于小于等于起碼有n個至多有(n－1)個小于大于等于至多有n個起碼有(n＋1)個對所有x成起碼有一個xp或q非p且非q立不建立對任何x不起碼有一個xp且q非p或非q建立建立運用反證法的五點說明①反設時必定不可以把“假定”寫成“設”．②當結論的反面有多種可能時，一定所有列出，不然證明是不完好的．③一定從結論的否認出發進行推理，就是必定把結論的否認作為推理的條件，只需推理中沒實用到“假定”就不是反證法．④最后導出的矛盾是多樣的，可能與已知矛盾、與假定矛盾、與定義、定理、公式矛盾、與已知的事實矛盾等，但矛盾一定是明顯的．⑤反證法是一種間接證明的方法．2．對于放縮法(1)放縮法證明不等式的理論依照有：①不等式的傳達性；②等量加不等量為不等量．此中減去一個正數值變小(縮)，加上一個正數值變大(放)；③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較；④基本不等式與絕對值三角不等式；⑤三角函數的有界性等．運用放縮法證題的要點是：放大或減小要適合，千萬不可以放(縮)過頭，不然問題沒法獲證．使用放縮法的常用變形放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮一定有目標，并且要恰到利處，目標常常從要證明的結論考慮．常用的放縮法有增項、減項、利用分式的性質、利用不等式的性質、利用已知不等式、利用函數的性質等進行放縮．比方：a＋1231211(∈N且≥2)；11*12∈N＋>a＋2；2<nn2>(n∈N)；<(n24nn（n－1）nn（n＋1）nn＋n－112bb＋maa＋m且n≥2)，>；當a>b>0，m>0時，<，>等．nn＋n＋1aa＋mbb＋m第三講柯西不等式與排序不等式1．二維形式的柯西不等式若a，b，c，d都是實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時，等號建立．2．柯西不等式的向量形式設α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β|，當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α＝kβ時，等號建立．3．二維形式的三角不等式設x1，y1，x2，y2∈R，那么22＋2222x1＋y1x2＋y2≥（x1－x2）＋（y1－y2）.注意：1．二維柯西不等式的三種形式及其關系定理1是柯西不等式的代數形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．依據向量的意義及其坐標表示不難發現二維形式的柯西不等式及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標表示．2．理解并記憶三種形式取“＝”的條件代數形式中當且僅當ad＝bc時取等號．向量形式中當存在實數k，α＝kβ或β＝0時取等號．三角形式中當P1，P2，O三點共線且P1，P2在原點O兩旁時取等號．3．掌握二維柯西不等式的常用變式a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|.a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd.(4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.4．基本不等式與二維柯西不等式的對照基本不等式是兩個正數之間形成的不等關系．二維柯西不等式是四個實數之間形成的不等關系，從這個意義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級的不等式．(2)基本不等式擁有放縮功能，利用它能夠比較大小，證明不等式，當和(或積)為定值時，可求積(或和)的最值，相同二維形式的柯西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特別函數的最值特別有效．二一般形式的柯西不等式1．三維形式的柯西不等式設a，a，a，b，b，b222222＋ab2b＝0(i＝1，2，123123123123112233i3)或存在一個數k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)時，等號建立．2．一般形式的柯西不等式設a，a，a，，a，b，b，b，，b2222222，123n123n12n12n1122nn當且僅當b＝0(i＝1，2，，n)或存在一個數k，使得a＝kb(i＝1，2，，n)時，等號建立．iii注意：1．對柯西不等式一般形式的說明：一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的概括與推行，其特色可類比二維形式的柯西不等式來總結，左側是平方和的積，右側是積的和的平方．運用時的要點是結構出切合柯西不等式的結構形式．2．對于柯西不等式的證明：對于函數f(x)＝(a1x－b1)2＋(a2x－b2)2＋＋(anx－bn)2，明顯f(x)≥0時x∈R恒建立，即f(x)＝(2＋22x21＋22＋＋nn)＋(b22b2x∈R恒建立，12＋＋n)－2(11＋2＋＋n)≥0對aaaabababxb∴Δ＝4(a1b1＋a2b2＋＋anbn)2222222－4(a1＋a2＋＋an)(b1＋b2＋＋bn)≤0，除以2222222.4得(a1＋a2＋＋an)·(b1＋b2＋＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋＋anbn)3．一般形式柯西不等式建立的條件：由柯西不等式的證明過程可知＝0f()min＝01－1＝2－2＝＝n－n＝01＝2＝＝n＝0，或a1＝a2xaxbaxbaxbbbbbb12an＝＝bn.4．柯西不等式的幾種常有變形：(1)222222nnnna1＋a2＋＋a222n(2)設ai∈R(i＝1，2，3，，n)，則nn≤n；(3)設i∈R，i>0(＝1，2，3，，2222abin12n12nb1b2bb1＋b2＋＋bnn(4)iia1a2an（a1＋a2＋＋an）2a1b1＋a2b2＋＋b1b2bnanbn三排序不等式．亂序和、反序和、次序和設a1≤2≤≤n，1≤2≤≤n為兩組實數，c1，2，，cn為b1，2，，bn的任一擺列，稱11＋22＋aabbbcbacacac＋＋ac為亂序和，ab＋ab＋ab＋＋ab為反序和，ab＋ab＋ab＋＋ab為次序和．33nn1n2n－13n－2n1112233nn2．排序不等式(又稱排序原理)設a1≤a2≤≤an，b1≤b2≤≤bn為兩組實數，c1，c2，，cn是b1，b2，，bn的任一擺列，那么a1bn＋a2bn1＋＋anb1≤a1c1＋a2c2＋＋ancn≤a1b1＋a2b2＋＋anbn，當且僅當a1＝a2＝＝an或b1＝b2＝＝bn時，反序和等于次序和．3．排序原理的簡記反序和≤亂序和≤次序和．第四講用數學概括法證明不等式一數學概括法1．數學概括法的定義一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數n0的所有正整數n都建即刻，能夠用以下兩個步驟：證明當n＝n0時命題建立．(2)假定當n＝k(k∈N＋且k≥n0)時命題建立，證明當n＝k＋1時命題也建立．在達成了這兩個步驟后，就能夠判定數題對于不小于n0的所有正整數都建立，這類證明方法稱為數學概括法．2．數學概括法的合用范圍合用于證明一個與無窮多個正整數相關的命題．3．數學概括法的步驟(1)(概括奠定)考證當n＝n0(n0為命題建立的開端自然數)時命題建立；(2)(概括遞推)假定當n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時命題建立，推導n＝k＋1時命題也建立．(3)結論：由(1)(2)可知，命題對全部n≥n0的自然數都建立．注意：用數學概括法證明，要點在于兩個步驟要做到“遞推基礎不行少，概括假定要用到，結論寫明莫忘記”，所以一定注意以下三點：(1)考證是基礎．數學概括法的原理表示：第一個步驟是要找一個數n0，這個n0就是我們要證明的命題對象的最小自然數，這個自然數其實不必定就是“1”，所以“找準起點，奠定要穩”是正確運用數學概括法要注意的第一個問題．(2)遞推是要點．數學概括法的實質在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程，一定把概括假定“n＝k”時命題建立作為條件來導出“n＝k＋1”時命題建立，在推導過程中，要把概括假定用前一次或幾次，沒實用上概括假設的證明不是數學概括法．(3)正確追求遞推關系．數學概括法的第二步遞推是至關重要的，那么如何找尋遞推關系呢①在第一步考證時，不如多計算幾項，并正確寫出來，這樣對發現遞推關系是有幫助的；②探究數列的通項公式時，要擅長察看式子或命題的變化規律，察看n處在哪個地點；③在書寫f(k＋1)時，必定要把包括f(k)的式子寫出來，特別是f(k)中的最后一項．除此以外，多了哪些項，少了哪些項都要剖析清楚．二用數學概括法證明不等式舉例1．數學概括法證明不等式用數學概括法證明一個與正整數相關的不等式的步驟．①證明：當n取第一個值n0時結論建立；②假定當

n＝k(k∈N＋，且

k≥n0)時結論建立，證明當

n＝k＋1時結論也建立．由①②可知命題對從n0開始的所有正整數n都建立．用數學概括法證明不等式的要點．用數學概括法證明不等式的要點