湍流的混沌理論1湍流流體流動時，如果流體質點的軌跡是有規則的光滑曲線，這種流動叫層流。沒有這種性質的流動叫湍流。1959年J.欣策曾對湍流下過這樣的定義：湍流是流體的不規則運動，流場中各種量隨時間和空間坐標發生紊亂的變化，然而從統計意義上說，可以得到它們的準確的平均值。在直徑為d的直管中，若流體的平均流速為v，由流體運動粘度v組成的雷諾數有一個臨界值（大約為2300?2800），若Re小于該范圍則流動是層流，在這種情況下，一旦發生小的隨機擾動，隨著時間的增長這擾動會逐漸衰減下去；若Re大于該范圍，層流就不可能存在了，一旦有小擾動，擾動會增長而轉變成湍流。雷諾在1883年用玻璃管做試驗，區別出發生層流或湍流的條件。把試驗的流體染色，可以看到染上顏色的質點在層流時都走直線。當雷諾數超過臨界值時，可以看到質點有隨機性的混合，在對時間和空間來說都有脈動時，就是湍流。不用統計、概率論的方法引進某種量的平均值就難于描述這一流動。除直管中湍流外還有多種多樣各具特點的湍流，雖經大量實驗和理論研究，但至今對湍流尚未建立起一套統一而完整的理論。大多數學者認為應該從納維一斯托克斯方程出發研究湍流。湍流對很多重大科技問題極為重要，因此，近幾十年所采取的做法是針對具體一類現象建立適合它特點的具體的力學模型。例如，只適用于附體流的湍流模型；只適用于簡單脫體然后又附體的流動；只適用于翼剖面尾跡的或者只適用于激波和邊界層相互作用的湍流模型等等。湍流這個困難而又基本的問題，近年來日益受到了物理學界的重視。研究湍流的起因和特性的理論，包括兩類基本問題：①湍流的起因，即平滑的層流如何過渡到湍流；②充分發展的湍流的特性。層流過渡為湍流的主要原因是不穩定性。在多數情況下，剪切流中的擾動會逐漸增長，使流動失去穩定性而形成湍流斑，擾動繼續增強，最后導致湍流。這一類湍流稱為剪切湍流。兩平板間的流體受下板面加熱或由上板面冷卻達到一定程度，也會形成流態失穩，猝發許多小尺度的對流；上下板間的溫差繼續加大，就會形成充分發展的湍流。這一類湍流稱熱湍流或對流湍流。邊界層、射流以及管道中的湍流屬于前一類；夏天地球大氣受下墊面加熱后產生的流動屬于后一類。為了弄清楚湍流過渡的機制，科學家們開展了關于流動穩定性理論、分岔(bifurcation)理論和混沌(chaos)理論的研究，還進行了大量實驗研究。對于從下加熱流層而向湍流過渡的問題，原來傾向于下述觀點：隨著流層溫差的逐漸增加，在發生第一不穩定后，出現分岔流態；繼而發生第二不穩定，流態進一步分岔；然后第三、第四以及許多更高程度的不穩定接連發生；這種復雜的流動稱為湍流。實驗結果支持這一論點。但是，這一運動過程在理論上得不出帶有連續譜的無序運動，而與實驗中觀察到的連續譜相違。最近，對不穩定系統的理論分析提出了另一種觀點：在發生第一、第二不穩定之后，第三不穩定就直接導致一個可解釋為湍流的無序運動。這一觀點也得到實驗的支持。剪切流中湍流的發生情況更為復雜。實驗發現，平滑剪切流向湍流過渡常會伴有突然發生的、作奇特波狀運動的湍流斑或稱過渡斑。可以設想，許多逐漸形成的過渡斑，由于一再出現的新的突然擾動而互相作用和衰減，使混亂得以維持。把過渡斑作為一種孤立的非線性波動現象來研究，有可能對湍流過渡現象取得較深刻的理解。因此，存在著不止一條通向湍流的途徑。過去認為，一個機械系統發生無序行為往往是外部干擾或外部噪聲影響的結果。然而，最近觀察到：在某個系統里進行確定的基本操作會導致混亂的重復發生。這類系統可認為含有一個能吸引系統維持混亂的奇怪吸引子。這種混亂現象稱為短暫混沌。預期對這種短暫混沌的可普遍化特性的研究將會得到說明完全發展的無序現象(湍流)的新線索。2混沌當今，混沌現象已經在數理科學、生命科學、空間科學、地球科學和社會科學等各種領域中發現并開始得到應用，引起了人們極大的興趣。現在對高等學校的學生和一般工程技術人員來說，具有一定的混沌物理知識已很有必要。2.1什么是混沌科學家們往往喜歡使用普通語言中引人注目的詞匯來描述一些科學技術上的重要現象，混沌(chaos)一詞正是如此。漢語中“混沌”一詞通常指宇宙形成以前模糊不清的景象(或狀態)；而英文“chaos”一詞的原意是指混亂、無秩序，引用到科學技術上通常表示無規運動。在自然界中，人們經常會遇到具有隨機性的無規運動（由不能預料的原因引起的一種運動形式），例如布朗運動。這種無規運動的描述一般借助于概率論方法加以分析。但這里討論的混沌現象原則上不包括這種無規運動。在日常生活和自然科學，甚至社會科學的許多系統中人們可以觀察到許多規則運動現象，例如鐘表擺的周期振動。對于產生這類運動的體系（或系統）的描述往往借助于以經典力學的確定論方法。過去人們總認為一個能夠用確定論描述的系統，只要初始條件給定，系統今后的運動狀態就可以完全確定下來；初始條件的微小變化，只能使運動狀態發生微小改變，否則“軌道”概念就失去了意義。雖然在確定論描述的系統中也有不穩定狀態存在，但人們一直認為它們在相空間中總體積為零（即測度為零）。所以我們總認為物理學以規則的可預言的方式表現其行為，代表性的論點是法國科學家拉普拉斯的名言：“只要知道初條件就可以決定未來的一切。”但是，自20世紀60年代以來，人們發現：即使以確定論方法描述的系統,只要系統稍微復雜一些（一般指具有非線性因素），在一定的條件下也會產生非周期的、表面上看起來很混亂的無規運動。簡單地說，就是沒有隨機外力，在一定的外界和初始條件下，物理系統可以同時表現出決定的運動和隨機運動［1］。我們將這種來源于用確定論方法描述的系統中的無規運動稱為混沌。由于混沌是在確定論系統中出現的明顯的隨機運動現象，而這種運動現象產生于系統內部又稱之為“內在隨機性”。2.2混沌現象的誕生過程盡管追述其歷史，早在牛頓的確定論時代Poincare’于1881年發表的總題名為“微分方程定義的曲線”的一組論文中就提出了確定論系統的運動解對初始條件可能存在極其敏感地依賴性：“一個我們未曾注意的原因造成了我們不能不理會的相當大的影響，于是我們說這種影響是因為偶然性。我們以為，如果我們精確地知道自然規律以及宇宙在初始時刻的狀態，我們就能精確地預言這同一宇宙在以后時刻的狀態等等。然而事情并非總是這樣，初始條件的微小差別有可能造成結果的很大差別，前面（初始條件）的微小誤差會引起后面（后續狀態）的巨大誤差，預測成為不可能的，我們有的是不規則的現象。”但由于長期以來對運動的觀察時間不夠長，要求精度又不夠高，思想上又受牛頓的確定論因果關系的束縛，所以，自彭加勒以來經近百年的時間才意識到混沌運動。使用計算機數值計算，才使得對非線性系統的進一步分析成為現實。近期促使混沌研究熱起來的，卻是基于60年代的兩項研究工作。一項工作是：1963年美國氣象學家勞倫茲（Lorenz）在作天氣預報方程的研究分析時總在想，為什么每天的天氣總不一樣呢？他用其設計的一種極簡化的天氣模型在計算機上計算天氣的演化過程，先用六位小數例如X0=0.506127作初值，后用三位小數X0’=0.506作初值，結果發現初值的微小變化，取三位小數而不是六位產生了完全不同的結果。可見，盡管方程是確定型的，但它對初始條件極其敏感，初值的微小變化，使預報長時期后的天氣狀態發生困難（但短期預報尚還可以），也就是說天氣的長期預報是不可預測的。勞倫茲將這個結果寫了一篇論文，題目是《確定性的非周期流》，發表在美國的《大氣科學》上，這篇論文是世界上第一篇發現混沌的論文，論文的題目也可以說是混沌的含義。另一項工作是：1964年由數學家柯爾莫哥洛夫提出，后來由阿諾德和莫澤分別獨立地給出的一個定理，這個定理以他們名字的第一個字母命名為KAM定理。這個定理告訴我們，對于一個可積哈密頓系統，運動軌道都限制在一個不變環面上，稱為KAM環面，當系統受到一個很小的微擾時，環面仍然存在但會發生變形，其內部會出現被包住的混沌河；但當微擾進一步加大時，整個KAM環面破裂，外層出現混沌海，有些混沌河與海相連，這時總體上看大部分是隨機運動。勞倫茲依靠的是數值計算，KAM用的是嚴格的數學推理，兩者相輔相成，奠定了混沌理論的基礎。至此，國際上對混沌的研究迅速地進入了一個新紀元。混沌學的產生和完善，啟發了人們對自然規律全新的認識。2.3混沌運動的特征混沌的一個特征是不可能用解析的方法求解。目前只能在給定參量和初值條件下用計算機對其演變進行數值計算，這是非線性系統的一種自發無序性或內在“混亂性”的表現。混沌的一個顯著特征是對初值的極端敏感性，即使描述系統的確定型方程是完全正確的，其他條件也十分確定，但只要系統初始狀態的微小差別和過程進行中的微小擾動將導致完全不同的行為，長時間后會對后續運動產生極大的影響，以致不能用已知的確定型規律和初始條件來長期預言后續的運動狀態（但短期預言尚還可能）。所有的混沌系統都存在著所謂的“敏感區”，這未常不是它的另一個重要特征。在敏感區，系統的未來行為對初始狀態的微小差別和微小擾動非常敏感，可以把這些敏感區類比于剃刀刀刃，即它們是一些不穩定平衡區域。另一個不穩定平衡區有下面這個例子說明：如果小球沿斜坡下滑到山脊上，方向上的微小差別以及小的擾動（例如蝴蝶引起的擾動，在混沌理論里蝴蝶效應常用以代表微小沖量）將決定小球是留在山脊上還是滾下左側或右側。這里，山脊是敏感區，是不穩定平衡區。又例如，小球以剛好能達到墻頂的能量擲向一堵墻，能量和初始方向上的極小差別以及小的擾動將決定小球能否擲過墻，這里也存在著上述意義的敏感區。而在非力學的混沌系統中也有廣義的“脊”和“墻”，例如磁擺，從敏感區的角度來觀察混沌系統，盡管在多次重復試驗中擺的初始位置及作用在擺上的沖量是大體相同的，擺的行為卻不再具有規則性。顯然易見，經過一段時間即系統多次經過敏感區后，系統的未來行為再也無法預言。當然混沌系統同樣遵從決定性定律，它的行為用對非混沌系統所用的類似方法預言一一不過僅限于不長的時間周期內。⑵2.4混沌運動的普遍性在自然界和人類社會生活中絕大多數系統是非線性系統，現在已經清楚地知道，混沌現象存在于絕大多數的非線性系統之中，如在非線性振蕩電路系統中，在固體物理的Josephson結的動力學系統中，在Belousov-Zhabotinskii化學反應系統中，在生態學生物種群個體數目隨世代變化的系統中，甚至在一些社會經濟的宏觀或微觀系統中都可以觀測到混沌現象。而線性系統只是非線性系統的一種簡化或近似描述，就拿彈簧振子來說，線性振子只是一種理想情況，實際的振子都具有或大或小的非線性，都可以表現出混沌的運動。混沌現象對即使非常簡單的物理系統也是不可避免的。在自然界中，混沌的過程比比皆是，不需作長久的觀察我們自己就會確信有那么多的過程屬于我們最日常的經驗。例如，一支點燃的香煙的煙，在分散成許多渦狀和旋轉的煙之前，以一個細細的柱狀上升；地球的大氣，是受強度不等的對流運動推動的；一片落葉并不是以直線方式落地，而是按一條異常復雜的迂回曲折的軌跡落地；穿越空間的運動物體，在其過后留下一條長長的痕跡。所有這些人們不熟悉的不規則的過程，都是混沌運動的例證。可見，混沌現象是自然界和人類社會生活中一種普遍現象，它是對自然的真實描述。應當指出，混沌的這種不確定性結果并不是說自然界是不可知的，其實，混沌中有很好的規律性，它擴展了我們的認識和思維，只要我們認真認識混沌，研究混沌，掌握混沌，自然界雖復雜，畢竟是會逐步認識的。3混沌理論在湍流中的應用非線性科學的兩大主體是分形和混沌，混沌是現象的深化，而分形是結構的深化，是刻劃混沌運動的直觀幾何語言。目前，混沌已經進入自然和社會科學的諸多領域，有著廣泛的應用，并不斷形成新的學科或新的研究領域⑶。湍流是混沌的、隨機的、無序的不可預測的系統，湍流中流體軌道行為的隨機性及其復雜規律的刻劃與描述一直是科學研究上的難題，湍流一度被稱為“經典物理學最后的疑團”［4］。湍流之所以如此難解，究其原因在于運用傳統的數學方法，即線性的方法和觀點去研究湍流這樣的強非線性問題，無法取得突破性的進展。而混沌理論在處理非線性問題方面具有明顯的優越性，因此近年來它們在湍流研究中越來越被關注。下面介紹近年來該研究的一些重要研究成果。3.1湍流的分形特征湍流是一種典型的分形現象，其Kolmogorov圖像就是大渦套小渦、小渦中再套更小的渦，這一嵌套結構顯然是一種自相似結構［5］。間隙、湍流斑這些擬序結構也表現出統計意義上的自相似性。對于湍流的分形特征，一種解釋是流體中的渦管在運動中不斷地拉伸和折疊，根據Helmhotz定理，渦管不能在流動中消失，只能回避式的折疊。與分子隨機運動一樣，渦管全部填滿空間的可能性為零，呈不均勻分布，從而形成分形結構。曼德布羅特和很多學者都將紊流圖象當作分形的典型實例并做了大量研究工作。文獻［6］用實驗證明了當系統的控制參數增加到特定值時，螺旋式的Taylor渦流吸引子的分維將會不連續地突然增加；文獻［7］得出了紊流的等值面、層紊流交界面和耗散結構的分維；文獻8］通過信息熵和極值原理從理論上推導了耗散結構的分數維；文獻［9］研究了幾種典型湍流的邊界線獲得了K區的分維；文獻［10］對圓形湍流射流和羽流進行了分維結構測量。3.2湍流的理論分形模型湍流的理論分形模型主要集中在間歇模型和湍流擴散上。繼Richardson在1922年提出完全發展湍流由不同尺度的渦構成的思想后，Kolmogorov在1941年為完全發展湍流的理論研究提出了一系列重要概念，如能譜慣性子區的存在和-5/3次幕定律，形成了K41理論。這個理論的核心之一是在慣性子區存在標度律。Kolmogorov認為，這個標度律是普適性的，與大尺度脈動運動的統計特征、黏性耗散和流動環境無關。但間隙性的存在暴露了K41理論的缺陷，因此,Kolmogorov和Obukhov等在1962年提出了修正自相似假設的K62理論。文獻［11］在1978年對間歇性完全發展湍流提出了湍流分形模型一B模型。其關鍵假設是：湍流的小尺度結構隨著該尺度大小的減小，所占空間也變得越來越小，第n級渦只占第n-1級渦的體積的B部分(B<1)。文獻［12］在1990年根據Frisch導出的關系式，提出包含分維的新湍流尺度K3(Da-3)/2］1/(1+D3)I= (1)v-3￡-2+D3式中，當D3=3時，l=(v3/e)1/4就是經典的Kolmogorov尺度。利用新的湍流尺度，可望將湍流模型與分形結合起來，從而改善現有湍流模型的特征，這是湍流模型改進的一個新方向。文獻［13］于1994年對完全發展湍流提出層次結構模型，該模型繼承了K41理論的精髓，即慣性子區存在標度律，提出在完全發展湍流的慣性區，無量綱層次結構量之間有嚴格的自相似性，層次相似性反映了最強間隙結構與較弱的脈動結構之間的層次遞推關系，認為層次結構由最高激發態與層次相似參數(間隙參數)共同決定，獲得了簡潔的標度指數公式［14］。文獻［15］對湍流射流的實驗研究發現，速度結構函數的標度指數依賴于流動區域，而且擴展自相似(ESS)在近尾流區的剪切流中也遵循。文獻［16］在1997年基于雙變量對數Poisson模型利用層次結構模型發展了被動標量在慣性區的間隙模型，得到了與實驗相符的標度結構函數的標度指數公式。但文獻［17］對將層次結構模型運用于標度(如溫度)結構函數的做法提出質疑，通過對圓柱尾流中被動標量的實驗測量和理論分析，得到了標量一一速度混合結構函數的標度指數公式。該成果的一個引人注目之處就是，實驗發現廣義自相似在大大超出慣性區的尺度范圍內存在。文獻［18］在對湍流預混火焰熱圖像序列進行分形分析的基礎上，提出了一種基于分形理論的湍流預混火焰傳播速度模型，該模型將小尺度渦團在火焰鋒面的強化湍流擴散效應歸結為對封面結果的改變上。文獻［19］從分析湍流場中局域中渦旋的串級結構出發，得到了顆粒與液相間的湍流渦旋裂變傳質模型。在湍流擴散中，文獻［20］在1983年利用標度和分形概念考慮了完全發展湍流間歇性的影響，通過引入分維修正了著名的Richardson4/3次方定律。1984年又根據Lovejoy關于云的分維的測量結構，提出了新的湍流相對擴散理論［21］。近年來，國外一些學者正積極利用子波變換研究湍流問題［22］，成為湍流研究的熱點之一。3.3湍流的發生與混沌的關系在湍流發生和混沌的交叉研究領域中，已經取得了很多成果，開始認為湍流發生過程是流動由層流狀態到達充分發展的湍流狀態的混沌過程［23］，普遍的觀點是：混沌與湍流有一定的關系，但終究不是一回事。文獻［24］研究了Couetter-Taylor流動中關于奇怪吸引子的問題，并得到結論：盡管流動可能是非周期的，但確是確定的，正如混沌一樣。文獻［25］研究了管道流動的間歇中湍流的發生機理，證明與初始隨機擾動的性質有關，并指出以分叉和混沌的觀點來研究轉捩具有一定的物理意義。文獻［26］也就管流中的“猝發”現象進行了類似研究。文獻［27］對平板邊界層中湍流的發生與混沌動力學之間的聯系進行了分析。混沌的理論分析困難較大，在湍流中都是針對一些具體問題提出的。作者認為其原因一方面是由于湍流實驗專家還對試驗中所觀察到的現象是否真正的混沌意見并未統一，另一方面是混沌現象的實驗研究還很困難。重要的是，混沌機理并未完全探明而是剛剛起步，用混沌模擬湍流，或者說，研究湍流中的混沌現象，還處于積累時期，但混沌理論中許多新的思想和新的方法的確可以使我們不依賴于方程也能研究湍流的動力學行為。3.4湍流機理的混沌模擬以法國科學家Temam為首的里昂學派證明二維的N-S方程的解在時間演化過程中會被逐漸吸收到一個有限維的吸收集中，并證明這系統有有限維的整體吸引子［28］。引入慣性流形的概念，奇怪吸引子就是被嵌入到這種光滑的流形中。慣性流形的存在標志著奇怪吸引子的存在。Temam認為，從物理學觀點來看，慣性流形就是把湍流中小渦和大渦聯系起來的一種相互作用規律［28］。三維的N-S方程

(2)8"(2)——+(u?)"=f-—P+V2"初 P對所有的t,使方程(2)的解u(x,t)都無界的點x的集合，維數最多為11(分數2維)。文獻［29認為，用B-K-dV方程描述一維湍流，意義深刻，進一步分析指出B-K-dV方程u+uu一vu+pu=0 (3)1 了 XX XXX含有三種因子：非線性、耗散和色散。非線性可以使能量集中，也是產生混沌的重要因素。耗散對應著熵增，它使過程具有不可逆性，色散使能量可聚可散。非線性、耗散、色散三因子的互相作用可以解釋湍流的許多性狀。如能量級串散裂是耗散作用占主導地位，小渦形成大渦的能量逆轉現象則是非線性和色散共同作用的結果。采用非線性、耗散和色散相互作用的機制，可以解釋湍流的許多現象。參考文獻：[1]楊曉東，張濟忠.分形與非線性科學，《物理通報》雜志⑵李維森等編譯.把混沌理論基本特性引入中學物理教學的研究與實踐，《物理通報》雜志李后強，程光鉞.分形與分維[M].成都：四川教育出版社，1990.是勛剛.湍流[M].天津：天津大學出版社，1994.王玲玲，金忠青.分形理論及其在紊流研究中的應用[J].河海大學學報，1997,25(1)：1-5.TabellingP.SuddenIncreaseoftheFractalDimensioninaHydrodynamicSystem[J].PhysRev，1985，31(5)：3460-3462.SreenivasanKR，MeneveauC.TheFractalFacetsofTurbulence[J].FluidMech，1986，173(3)：357-386．FujisakaH，MoriH.AMaximumPrincipleforDeterminingtheIntermittencyExponentofFullyDevelopedSteadyTurbulence[J].ProgTheorphys，1979，62(8)：54-60．PrasadT，MurayamaM，TanidaY.FractalAnalysisofTurbulentPremixedFlameSurface[J].ExperimentinFluids,1997,245(10)：61-71.Lane-SerffGF.InvestigationofFractalStructureofJetsandPlumes[J].FluidMech,1998,249(7)：521-534.PaladinG,VulpianiA.AnomalousScalingLawinMultifractalObjects[J].PhysicsReports,1987,156(4)：147-225.ChenCJ,JawSY.湍流模化的現狀及發展趨勢[J].力學進展，1992,22(3)：381-394．SheZS,LevequeE.UniversalScalingLawinFullyDevelopedTurbulence[J].PhysReyLett,1994,72(3)：336-339.余振蘇，蘇衛東.湍流中的層次結構和標度律[J].力學進展，1999,29(3)：289-303．GaudinE.SpatialPropertiesofVelocityStructureFunctionsinTrubulentWakeFlows[J].PhysRevE,1988,57(1)：9-12.CaoN,ChenS.AnIntermittencyModelforPassive-ScalarTurbulence[J].PhysFluids,1997,9(5)：1203-1205．LevequeE.ScalingLawsfortheTurbulentMixingofaPassiveScalarintheWakeofaCylinder[J].PhysFluids,2001,11(7)：1869-1879.楊宏旻，顧璠，劉勇等.湍流預混火焰傳播速度的分形模型研究[J].工程熱物理學報，2001,22(4)：507-510.劉代俊，鐘本和，張允湘等.顆粒與液相間的湍流渦旋裂變傳質模型[J].化工學報,