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第八章常微分方程數值解數值分析華長生制作1

8.1引言(基本求解公式)在工程和科學技術的實際問題中，常需要求解微分方程只有簡單的和典型的微分方程可以求出解析解而在實際問題中的微分方程往往無法求出解析解在高等數學中我們見過以下常微分方程：-----------(1)-----------(2)華長生制作2-----------(3)(1),(2)式稱為初值問題,(3)式稱為邊值問題-----------(4)另外,在實際應用中還經常需要求解常微分方程組:本課程主要研究問題(1)的數值解法,對(2)~(4)只作簡單介紹我們首先介紹初值問題(1)的解存在的條件華長生制作3定理1.

對于問題(1),要求它的數值解華長生制作4-----------(1)從(1)的表達式可以看出,求它的數值解的關鍵在于求解微分方程的數值方法數值積分數值微分華長生制作5而數值積分問題我們已經學習過,下考慮數值微分方法微積分中，關于導數的定義如下：自然而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商!華長生制作6向前差商由Taylor展開因此，有誤差華長生制作7向后差商誤差:中心差商華長生制作8常微分方程數值解的基本思想華長生制作9華長生制作10華長生制作11華長生制作12華長生制作13

其次，要研究公式的局部截斷誤差和階，數值解與精確解的誤差估計及收斂性，還有遞推公式的計算穩定性等問題.華長生制作14

8.2歐拉(Euler)方法1.顯式歐拉公式

華長生制作15以上三種方法推導出同一個數值求解公式:這個數值公式稱為歐拉(Euler)公式P216:

例8.2.1華長生制作16圖8-1幾何解釋華長生制作17華長生制作18改進歐拉(Euler)方法華長生制作19常微分方程數值解的截斷誤差評價一個微分方程求解公式的標準當然是其精度而在求解公式中誤差項華長生制作20定義1(a).

定義1(b).

---------(*)上兩定義本質是一樣的,前者意義直觀,后者用于計算推導較方便!華長生制作21在一般情況下,求解公式的每一步都存在誤差,因此有定義2.

定義3.

華長生制作22Euler公式的局部截斷誤差為具有1階精度后退Euler公式的局部截斷誤差為也具有1階精度華長生制作23顯然一個求解公

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