函數的概念及其表示環節二函數的概念（二）復習引入問題1

在上一小節里，我們重新學習了函數的概念，你還記得嗎？對于數集A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域．問題2

研究函數時我們經常會用到區間的概念，請同學們閱讀下面的內容（同見課本第64頁），試著完成后面兩個表格：探究新知定義名稱符號數軸表示{x|a≤x≤b}{x|a＜x＜b}{x|a≤x＜b}{x|a＜x≤b}閉區間開區間半開半閉區間半開半閉區間［a，b］（a，b）［a，b）（a，b］定義名稱數軸表示{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤b}{x|x＜b}［a，＋∞）（a，＋∞）（－∞，b］（－∞，b）表格1表格2答案探究新知追問1

區間的左端點a與右端點b的關系是什么？a＜b．追問2

區間與數軸之間的關系是什么？任何區間均可在數軸上表示出來，區間中的每個元素對應數軸上的一個點．追問3

學習區間的意義是什么？區間表示連續性的數集，為我們研究函數的定義域、值域提供方便．探究新知解得：x≥－3且x≠－2．所以函數f（x）的定義域為[－3，－2）∪（－2，＋∞）．解：（1）要使該函數有意義，則需例1

已知函數f（x）＝，（1）求函數f（x）的定義域；

（3）當a＞0時，求f（a），f（a－1）的值．知識應用例1

已知函數f（x）＝，（1）求函數f（x）的定義域；

（3）當a＞0時，求f（a），f（a－1）的值．解：

知識應用例1

已知函數f（x）＝，（1）求函數f（x）的定義域；

（3）當a＞0時，求f（a），f（a－1）的值．解：（3）因為a＞0時，所以f（a），f（a－1）有意義．知識應用追問1

如何求解函數的定義域？答案：當已知解析式

y＝f（x），那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合．比如：①偶次方根中被開方數非負；②分式中分母不能為0；③0次冪式中底數不能為0；④在實際問題中，還必須考慮自變量所代表的具體量的允許值范圍．知識應用追問2

f（x）＝與y＝的含義相同，都是給出了一個函數的解析式，用f（x）替換y之后有什么優勢？答案：在y＝中，要表示－3對應的函數值，我們一般都需要這樣描述：當x＝－3時，y＝－1；而在f（x）＝中，我們只需要用f（－3）＝－1表示即可．知識應用追問3

f（x）與f（a）有何區別與聯系？答案：f（a）表示當自變量x＝a時的函數值，是一個確定的數，而f（x）表示變量，f（a）是f（x）的一個特殊值．知識應用追問4

能說說你對記號“y＝f（x）”的理解嗎？在同時研究兩個或多個函數時，常用不同符號表示不同的函數，除用符號f(x)外，還常用g(x)、F(x)、G(x)等符號來表示．答案：首先它不能理解為“y等于f與x的乘積”，它是“y是x的函數”的符號表示，具體而言是：變量x在對應關系f的作用下對應到y．知識應用解：（1）（x∈[0，＋∞）），它與函數y＝x（x∈R）雖然對應關系相同，但是定義域不相同，所以這個函數與函數y＝x（x∈R）不是同一個函數．（1）

；（2）

；（3）

；

（4）

．例2

下列函數中哪個與函數y＝x是同一個函數？（2）（v∈R），它與函數y＝x（x∈R）不僅對應關系相同，而且定義域也相同，所以這個函數與函數y＝x（x∈R）是同一個函數．知識應用例2

下列函數中哪個與函數y＝x是同一個函數？解：（3）它與函數y＝x（x∈R）雖然定義域都是實數集R，但是當x＜0時，它的對應關系與y＝x（x∈R）不相同，所以這個函數與函數y＝x（x∈R）不是同一個函數．（1）

；（2）

；（3）

；

（4）

．知識應用例2

下列函數中哪個與函數y＝x是同一個函數？（1）

；（2）

；（3）

；

（4）

．（4）

（n∈（－∞，0）∪（0，＋∞）），它與函數y＝x（x∈R）的對應關系相同但定義域不相同，所以這個函數與函數y＝x（x∈R）不是同一個函數．解：知識應用追問1

兩個函數相等的含義是什么？答案：函數的三要素都相等．值域是由定義域和對應關系決定的，所以只要兩個函數的定義域和對應關系一致，這兩個函數就相等．知識應用追問2

你能總結判斷兩個函數是否相同的步驟嗎？答案：先求函數的定義域，如果定義域不相同，則不是相同函數，結束判斷；如果相等，則判斷對應關系是否相同，定義域和對應關系均相等才能得出相等的結論.高中階段對應關系一般都是以解析式的形式給出，我們一般需要先考慮化簡解析式再判斷，若解析式也相等，則是相同函數，若否，則不是相同函數.知識應用追問3

你如何理解函數u＝的對應關系?所以對于R中的任一實數v，通過對應關系u＝v，在R中都有唯一的一個實數u與之對應，因為u＝v，所以就是任一實數與它本身的對應．答案：因為u＝＝v（v∈R），知識應用只有圖（2）中的圖象與y=x的圖象完全相同.追問4

你能結合函數的圖象驗證你的判斷嗎？知識應用（1）區間是表示什么的符號？（2）在判斷兩個函數是否相同時，我們需要注意什么？區間是用于表示連續數集的符號．定義域相同是函