高中數學數列十種求通項及七種求及方法計劃練習及高中數學數列十種求通項及七種求及方法計劃練習及高中數學數列十種求通項及七種求及方法計劃練習及高中數列知識點總結(一)等差數列的公式及性質等差數列的定義：anan1d（d為常數）（）；2．等差數列通項公式：ana1(n1)ddna1d(nN*)，首項:，公差:d，末項:實行：anam(nm)d．從而danam；nm3．等差數列的判斷方法（1）定義法：若anan1d或an1and(常數nN)是等差數列．（2）等差中項法：數列是等差數列2anan-1an1(n2)2an1anan2．3）數列是等差數列anknb（其中是常數）。4）數列是等差數列SnAn2Bn（,其中A、B是常數）。等差數列的性質：1）當公差時，等差數列的通項公式ana1(n1)ddna1d是關于n的一次函數，且斜率為公差；前n和Snna1n(n1)ddn2(a1d)n是關于n的二次函數且常222數項為0.2）若公差，則為遞加等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。（3）當mnpq時,則有amanapaq，特別地，當m時，則有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2。

n

2p（4）若、等差數列，anb，1an2bn都等差數列。（5）在等差數列中，等距離取出若干也構成一個等差數列，即an,an+m,an+2m,?,等差數列，公差md。（6）是公差d的等差數列，是前n和，那么數列Sk,S2kSk,S3kS2k,?成公差k2d的等差數列。7）數列是等差數列，d公差，是奇數的和，是偶數的和，是前n的和1）當數偶數，S2nn(anan1)，S偶S奇nd,S奇anS偶an1S奇a1a3a5na1a2n1nana2n12S偶a2a4a6na2a2nnan1a2n22）當數奇數2n-1，S2n-1S奇S偶(2n1)anS奇nanS奇nS奇S偶anS偶（n-1)anS偶n1(9)若a1>0，d<0，Sn有最大，可由不等式an0來an10確定n。若a1，，nan0來<0d>0S有最小，可由不等式an10確定n。（10）等差數列前n和An,Bn，二)等比數列的公式及性質等比數列的定義：比

anqq0n2,且nN*an1，q稱為公2.通項公式：ana1qn1a1qnABna1q0,AB0qnmanan實行：anamqnm，從而得qam或qnmam等比中項:數列是等比數列an2an1an14.等比數列的前n項和公式：5.等比數列的判斷方法（1）定義：對任意的n,都有an1qan或an1q(q為常數，an0)an為等比數列2）等比中項：an2an1an1（an1an10）為等比數列3）通項公式：anABnAB0為等比數列（4）前n項和公式：SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'為常數為等比數列等比數列的性質若m+n=s+t(m,n,s,t),則anamasat.特其他,當n+m=2k時,得anamak2注：a1ana2an1a3an2{k}{an}(2)數列,為等比數列,則數列an,{kan},,{kanbn}，bn(k為非零常數)均為等比數列.且公比分別為1/q，q，qk，q1·q2，q1/q2.數列為等比數列,每隔k(k)項取出一項(am,amk,am2k,am3k,)仍為等比數列,公比為qk若是是各項均為正數的等比數列,則數列{logaan}是等差數列若為等比數列,則數列，S2nSn，S3nS2n,，成等比數列（當q=－1且k為偶數時不成立）。(6)若為等比數列,則數列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比數列{a1，則為遞加數列(7)①當時，0{an}為遞減數列，則a0，則{a}為遞減數列1n②當0<q1時，{a10，則{an}為遞加數列③當q=1時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）;④當q<0時,該數列為搖動數列.(8)在等比數列中,當項數為2n(nS奇q1.)時,S偶(9)若是公比為q的等比數列,則SnmSnqnSm3．求數列通項公式的常用方法一、公式法例1已知數列{an}滿足an12an32n，a12，求數列{an}的通項公式。解：an1n兩邊除以2n1，得an1an3an1an3，2an322n12n2，則2n12n2故數列{2nn}是以2121為首項，以2為公差的等差數列，aa123由等差數列的通項公式，得2n1(n1)2，因此數列{an}的an3通項公式為an(3n1)2n。22二、累加法anan1f(n)例2已知數列{an}滿足an1an2n1，a11，求數列{an}的通項公式。解：由an1an2n1得an1an2n1則an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此數列{an}的通項公式為ann2。例3已知數列{an}滿足an13an23n1，a13，求數列{an}的通項公式。解：an13an231兩邊除以3，得n1n2n1，nn1an1an13333則an1an213n13n33n1三、累乘法anf(n)an1例4已知數列{an}滿足an12(n1)5nan，a13，求數列{an}的通項公式。解：因為an12(n1)5nan，a13，因此an0，則aann12(n1)5n，故ananan1La3a2a1an1an2a2a1[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!因此數列{an}的通項公式為an32n15n(n1)2n!.例5（2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數列{an}滿足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求{an}的通項公式。解：因為ana12a23a3L(n1)an1(n2)①因此an1a12a23a3L(n1)an1nan②用②式－①式得an1annan.則an1(n1)an(n2)故an1n1(n2)an四、待定系數法（重點）例6已知數列{an}滿足an12an35n，a16，求數列an的通項公式。解：設an1x5n12(anx5n)④將an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式兩邊消去2an，得35nx5n12x5n，兩邊除以5n，得35x2x,則x1,代入④式得an15n12(an5n)例7已知數列{an}滿足an13an52n4，a11，求數列{an}的通項公式。解：設an1x2n1y3(anx2ny)⑥將an13an52n4代入⑥式，得3an52n4x2n1y3(anx2ny)整理得(52x)2n4y3x2n3y。令52x3x，則x5，代入⑥式得an152n123(an52n2)4y3yy2⑦例8已知數列{an}滿足an12an3n24n5，a11，求數列{an}的通項公式。解：設an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)⑧將an12an3n24n5代入⑧式，得2an3n24n5x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，則2an(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2an2xn22yn2z等式兩邊消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z，3x2xx3，代入⑧式，得解方程組2xy42y，則y10xyz52zz18an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)⑨五、對數變換法例9已知數列{an}滿足an123nan5，a17，求數列{an}的通項公式。解：因為an123nan5，a17，因此an0，an10。在an123nan5式兩邊取常用對數得lgan15lgannlg3lg2⑩設lgan1x(n1)y5(lganxny)11○六、迭代法例10已知數列{an}滿足an1an3(n1)2n，a15，求數列{an}的通項公式。解：因為an1an3(n1)2n，因此anan3n12n1[an3(n21)2n2]3n2n1七、數學歸納法例11已知an1an21)2，a18，求數列{an}的通項公8(n(2n1)(2n3)9式。（其他方法呢）解：由an1an(2n1)2(2n3)2及a19，得8(n1)8a2a18(11)8822411)2(213)2992525(2a3a28(21)24834821)2(223)225254949(2a4a38(31)48848031)2(233)249498181(2由此可猜想an(2n1)221，往下用數學歸納法證明這(2n1)個結論。（1）當n1時，a1(211)2218，因此等式成立。(211)9（2）假設當nk時等式成立，即ak(2k1)221，則當nk1(2k1)時，ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，當nk1時等式也成立。依照（1），（2）可知，等式對任何nN*都成立。八、換元法例12已知數列{an}滿足an11(14an124an)，a11，求數列16{an}的通項公式。解：令bn124an，則an1(bn21)24故an11(bn211)，代入an11(14an124an)得24161(bn211)1[141(bn21)bn]241624即4bn21(bn3)2因為bn124an0，故bn1124an10則2bn1bn3，即bn11bn3，可化為bn131(bn3)，222九、不動點法例13已知數列{an}滿足an121an24，a14，求數列{an}的4an1通項公式。解：令x21x24，得4x220x240，則x12，x23是函數f(x)21x244x14x1的兩個不動點。因為21an242an124an121an242(4an1)13an2613an2an1321an24321an243(4an1)9an279an34an1十、倒數法a11，an12an，求an2求數列前n項和的常用方法一、公式法利用以下常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.1、等差數列求和公式：Snn(a1an)n(n1)2na12d2、等比數列求和公式：Snna1qn)a1(q1)a1(1anq(q1)1q1q3、Snn14、k1kn(n1)2nk21Snn(n1)(2n1)k165、Snnk31n(n1)]2[k12[例1]求xx2x3xn的前n項和.[例2]n*Sn的最n1S＝1+2+3+?+n，n∈N,求f(n)大.二、位相減法（等差乘等比）[例3]求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1[例4]求數列2,22,23,,2n,前n的和.2462n解：由可知，{通與等比數列{

2n2n12n

}的通是等差數列{2n}的}的通之Sn2462n?????????????①222232n12462n????????????②Sn2223242n12（設制錯位）①－②得1222222n(12)Sn22223242n2n1（錯位相減）212n2n12n1∴Sn4n22n1三、倒序相加法n和公式所用的方是推等差數列的前法，就是將一個數列倒來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以獲取n個(a1an).[例5]求：3Cn15Cn2(2n1)CnnCn0(n1)2n明：SnCn03C1n5Cn2(2n1)Cnn??????????①..把①式右倒來得Sn(2n1)Cnn(2n1)Cnn13Cn1Cn0（反序）又由CnmCnnm可得Sn(2n1)Cn0(2n1)Cn13Cnn1Cnn????..??②..①+②得2Sn(2n2)(Cn0Cn1Cnn1Cnn)2(n1)2n（反序相加）∴S(n1)2nn[例6]求sin21sin22sin23sin288sin289的解：Ssin21sin22sin23sin288sin289????①.將①式右反序得Ssin289sin288sin23sin22sin21????②..（反序）又因

sinx

cos(90

x),sin2x

cos2

x

1①

+

②

得（反序相加）2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89S＝四、分法求和有一數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將數列合適翻開，可分幾個等差、等比或常的數列，爾后分求和，再將其合并即可.[例7]111，?求數列的前n和：11,a4,a27,,an13n2[例8]求數列{n(n+1)(2n+1)}的前n和.解：akk(k1)(2k1)2k33k2k∴Snnk(k1)(2k1)＝n(2k33k2k)k1k1將其每一翻開再重新合得Sn＝nk3nk2n23kk1k1k1（分）五、裂法求和是分解與合思想在數列求和中的詳盡用.裂法的是將數列中的每（通）分解，爾后重新合，使之能消去一些，最達到求和的目的.通分解（裂項）如：（1）anf(n1)f(n)（2）sin1tan(n1)tanncosncos(n1)（3）an111（4）an(2n)2111n(n1)nn1(2n1)(2n1)12(2n12n1)（5）an12)1[11]n(n1)(n2n(n1)(n1)(n2)(6)ann212(n1)n11111n(n1)nn(n1)nnn1(nn,則Sn(nn[例9]2221)21)2求數列11223nn1的前n和.,1,,1,[例10]在數列{an}中，ann11n21nn1，又bnan2an1，求數列{bn}的前n的和.[例11]求：cos0111cos1cos1cos1cos2cos88cos89sin21解：設S111cos1cos1cos2cos88cos89cos0∵sin1tanntan(n1)cosncos(n1)（裂項）∴S111cos1cos2cos88cos89cos0cos1（裂項求和）＝1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]}sin111cos1＝sin1(tan89tan0)＝sin1cot1＝sin21∴原等式成立六、合并法求和針對一些特其他數列，將某些項合并在一起就擁有某種特其他性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，爾后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵

cosncos(180n)（找特別性質項）Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）0[例13]數列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.解：S2002＝a1a2a3a2002由a11,a23,a32,an2an1an可得a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,??a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62∵a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60（找特別性質項）∴S2002＝a1a2a3a2002（合并求和）＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002＝a1999a2000a2001a2002＝a6k1a6k2a6k3a6k4＝5[例14]在各均正數的等比數列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的.解：Snlog3a1log3a2log3a10由等比數列的性mnpqamanapaq（找特別性質項）和數的運算性logaMlogaNlogaMN得Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)（合并求和）＝

(log3

a1

a10)

(log3

a2

a9)

(log3

a5

a6)＝

log39

log3

9

log3910七、利用數列的通項求和先依照數列的結構及特色進行解析，找出數列的通項及其特色，爾后再利用數列的通項揭穿的規律來求數列的前n項和，是一個重要的方法.[例15]求1111111111之和.n個1解：由于1111199991(10k1)k個19k個19（找通項及特色）∴1111111111n個1＝1(1011)1(1021)1(1031)1(10n1)9999（分組求和）＝1(10110210310n)1(1111)99n個1＝110(10n1)n91019＝1(10n1109n)81[例16]已知數列n：an8(n1)(anan1)的值.(n,求{a}1)(n3)n1數列練習一、選擇題1.已知等比數列的公比為正數，且·=2，=1，則=A.1B.2C.222.已知為等差數列，，則等于A.-1B.1C.33.公差不為零的等差數列的前n項和為.若是a3與a7的等比中項,S832,則等于A.18B.24C.60D.90.4設是等差數列的前n項和，已知a23，a611，則等于A．13B．35C．49D．635.已知為等差數列，且－2＝－1,＝0,則公差d＝（A）－2（B）－1（C）1（D）2226.等差數列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數列的前10項之和A.90B.100C.145D.1907.等差數列的前n項和為，已知am1am1am20，S2m138,則（A）38（B）20（C）10（D）9.8.設是公差不為0的等差數列，a12且a1,a3,a6成等比數列，則的前n項和=A．n27nB．n25nC．n23nD．n2n4433249.等差數列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空題1設等比數列的公比q1，前n項和為，則S4．2a42.設等差數列的前n項和為，則，S8S4，S12S8，S16S12成等差數列．類比以上結論有：設等比數列的前n項積為，則，，，T16成等比數列．T123.在等差數列中,a37,a5a26,則a6____________.4.等比數列{}的公比,已知=1，an2an16an，則{}的前4項和=.數列練習參照答案一、選擇題【答案】【解析】設公比為q,由已知得a1q2a1q82a1q42,1.B即q22,又因為等比數列的公比為正數，因此q2,故a1a212,選Bq222.【解析】∵a1a3a5105即3a3105∴a335同理可得a433∴公差da