第一章行列式行列式的概念最早是由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出的。他在1683年寫了一部《解伏題之法》，標(biāo)題的意思是“解行列式問題的方法”，書中對行列式的概念和展開已有清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲，德國數(shù)學(xué)家雅戈比于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。本章主要內(nèi)容行列式的概念行列式的性質(zhì)行列式展開定理Cramer法則—行列式的一個簡單應(yīng)用2§1.1行列式的概念本節(jié)將從低價(二、三階)行列式引出高階(n階)行列式基本內(nèi)容：二階與三階行列式排列及其逆序數(shù)n階行列式定義轉(zhuǎn)置行列式3返回5為便于記憶，引進如下記號：

稱其為二階行列式.若記：例1解二元線性方程組解:方程組未知量的系數(shù)所構(gòu)成的二階行列式6方程組有惟一解.又于是方程組的解為(2)三階行列式7

稱為三階行列式.‘—’三元素乘積取“+”號；‘…’三元素乘積取“-”號。主對角線法被稱為行列式的元素注意：主對角線法只對二、三階行列式有效例2

計算三階行列式解:由主對角線法，有82.排列及其逆序數(shù)10(1)排列：由1,2,…,n

組成的一個有序數(shù)組i1i2…in稱為一個n級排列.如：由1,2,3可組成的三級排列有3！=6個：123132213231312321（總數(shù)為n!個）注意:上述排列中只有第一個為自然順序(小大),其他則或多或少地破壞了自然順序(元素大小與位置相反)——構(gòu)成逆序.對換：

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在一個排列i1…is…it…in中，若其中某兩數(shù)is和it互換位置,其余各數(shù)位置不變得到另一排列i1…it…is…in,這種變換稱為一個對換,記為(isit).例6結(jié)論：①對換改變排列的奇偶性.

②任意一個n級排列與標(biāo)準排列12…n都可以經(jīng)過一系列對換互變.思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)）1.(542163)(24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31）2.若排列的x1x2…xn逆序數(shù)為I，求排列xn

xn-1…x1的逆序數(shù).14答案詳解繼續(xù)15思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)詳解）方法1

在排列x1x2…xn中，任取兩數(shù)xs和xt(s<t),則它們必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中構(gòu)成逆序，且只能在其中的一個排列中構(gòu)成逆序.又在排列x1x2…xn中取兩數(shù)的方法共有

依題意，有故排列x1x2…xn與xnxn-1…x1中逆序之和為此即方法2n個數(shù)中比i大的數(shù)有n-i個(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中對i構(gòu)成的逆序為li個,則在xnxn-1…x1中對i構(gòu)成的逆序為(n-i)-li,于是兩排列中對i構(gòu)成的逆序之和為16li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即3.n階行列式定義分析：17(i)每一項均是由“不同行不同列”的三個元素的乘積構(gòu)成，除符號外可寫為：(ii)符號為“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)項數(shù)為3！=6推廣之，有如下n階行列式定義定義：

n階行列式18是所有“不同行不同列”的n個元素之乘并冠以符號的項的和.(i)是“不同行不同列”的n個元素之積；(ii)行標(biāo)排列按自然順序，列標(biāo)排列的奇偶性決定每一項的符號；(iii)表示對所有列標(biāo)排列(共n!項)求和.例5計算20解由行列式定義,和式中僅當(dāng)由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行列式各項中n個元素的順序可以任意交換：定理:n階行列式D=det(aij)的項可以寫為21其中i1i2…in和j