試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆廣西南寧市高三上學期摸底測試數學（理）試題一、單選題1．設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由交集、補集的定義，直接求解.【詳解】，，則，全集，則故選：D2．已知i是虛數單位，若復數，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由共軛復數的概念及復數除法運算求結果.【詳解】由題設，.故選：B3．我國古代數學著作《九章算術》中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積（弦×矢＋矢2）．弧田（如圖）由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指圓弧頂到弦的距離（等于半徑長與圓心到弦的距離之差），現有一弧田圓心角為120°，半徑為4的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解直角三角形可得弦、矢的值，求出弧田面積.【詳解】如圖：由題意可得，，在中，可得，，，可得矢，由，可得弦，所以弧田面積（弦矢矢．故選：A4．某一棱錐的三視圖如圖所示，則其側面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據三視圖還原其直觀圖，然后可算出答案.【詳解】由三視圖可得該棱錐為四棱錐，其直觀圖如下：其中底面是矩形，頂點在底面的投影是矩形對角線的交點，所以所以，所以其側面積為故選：C5．若函數的極值點是1，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】求導，利用求得，進而求出.【詳解】因為，所以，由題意，得，即，解得，即，則.故選：B.6．函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到的奇偶性，排除CD，再利用導函數得到時，恒成立，排除A，選出正確答案.【詳解】的定義域為R，且，所以為偶函數，排除CD；令，，則恒成立，故當時，，又在上恒成立，所以在上恒成立，排除A，B選項正確.,故選：B7．在長方體中，，，點在棱上，若直線與平面所成的角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由長方體性質確定線面角且求，進而求出長度.【詳解】根據長方體性質知面，故為直線與平面所成的角的平面角，所以，則，可得，如下圖示，所以在中，符合題設.故選：B8．兩個圓錐有等長的母線，它們的側面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側面積之比為，則它們的體積比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設圓錐母線長為，小圓錐半徑為、高為，大圓錐半徑為，高為，根據側面積之比可得，再由圓錐側面展開扇形圓心角的公式得到，利用勾股定理得到關于的表達式，從而將兩個圓錐的體積都表示成的表達式，求出它們的比值即可.【詳解】設圓錐母線長為，側面積較小的圓錐半徑為，側面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為、，則，得，因為兩圓錐的側面展開圖恰好拼成一個圓，所以，得，再由勾股定理，得，同理可得，所以兩個圓錐的體積之比為：.故選：A.9．已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為，上頂點為，點滿足（是坐標原點），則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，即可得到，從而得到，再根據，轉化為的一元二次方程，解得即可.【詳解】解：依題意，，，所以，又，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，解得或（舍去）；故選：B10．已知函數，若在區間上有且僅有4個零點和1個極大值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用輔助角公式得到，設，將問題轉化為在區間上有且僅有4個零點和1個極大值點，再結合圖象進行求解.【詳解】，令，由，則；因為在區間上有且僅有4個零點和1個極大值點，即在上有且僅有4個零點和1個極大值點.作出的圖象（如圖所示），則，解得，故的取值范圍是.故選：D.11．設，，，則a、b、c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，構造且研究單調性比較大小，構造且研究單調性判斷函數值符號比較的大小，即可得結果.【詳解】由，因為，，則，，令且，則，則遞減，所以，即，則，故；因為，，由，令且，則，則遞增；故，，而，所以，則，即，綜上，.故選：D【點睛】關鍵點點睛：利用中間值得到，構造利用導數研究單調性比較，作差法并構造研究函數值符號比較大小.二、多選題12．PM2.5是衡量空氣質量的重要指標，下圖是某地9月1日至10日的PM2.5日均值（單位：）的折線圖，則下列關于這10天中PM2.5日均值的說法錯誤的是（

）A．眾數為30 B．中位數為31.5C．平均數小于中位數 D．后4天的方差小于前4天的方差【答案】ABD【分析】根據數據中30出現了2次，其他數均出現了1次，故眾數為30；將數據排序，得到第5個數和第6個數的平均數為中位數，B正確；計算出數據的平均數，從而判斷出C錯誤；法一：根據數據的集中趨勢和分散情況，得到D正確；法二：計算出后4天的方差和前4天的方差，從而作出判斷.【詳解】將數據從小到大排序，依次為17，25，30，30，31，32，34，38，42，126，30出現了2次，其他數均出現了1次，故眾數為30，A正確；第5個數和第6個數的平均數為中位數，即，B正確；平均數為，，所以平均數大于中位數，C錯誤；法一：從圖象可以看出后4天的數據更加集中，前4天的數據更加分散，故后4天的方差小于前4天的方差，D正確.法二：可通過計算驗證，如下：后4天的平均數為，故后4天的方差為，前4天的平均數為，故前4天的方差為，因為，故后4天的方差小于前4天的方差，D正確.故選：ABD三、填空題13．已知向量與的夾角為，，，則______．【答案】【分析】由化簡后結合已知條件求解即可,【詳解】因為向量與的夾角為，，，所以，故答案為：14．若雙曲線的漸近線被圓所截的弦長為2，則的值為______．【答案】【分析】圓的半徑和弦長已知，可求圓心到直線的距離，由點到直線距離公式解得的值【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，圓的圓心為，半徑為，漸近線被圓所截的弦長為2，有圓心到漸近線距離，解得，故答案為：15．從正方體的頂點及其中心共9個點中任選4個點，則這4個點在同一個平面的概率為______．【答案】【分析】由正方體性質，結合組合數求出所有共面的4個點的選法，而所有可能情況有種，應用古典概型的概率求法求概率.【詳解】如下圖，選正方體6個側面上的頂點，共有6種共面的情況；過中心的平面共有6個平面，每個平面含9個點中的5個，則共有種；所有可能情況有種，所以這4個點在同一個平面的概率為.故答案為：16．已知中，點在邊上，，，，當取最大值時，______．【答案】1【分析】三角形中用余弦定理求得各邊之間的關系,利用基本不等式求取最大值和取最大值的條件.求得此時的.【詳解】設，，，則，，在中，由余弦定理，有，在中，由余弦定理，有，由和互補，所以，即，化簡得，在中，由余弦定理，有，即兩式消去t，得，即，由基本不等式，，∴，即，，當且僅當，即，時等號成立.∴的最大值為，由，解得此時，即.故答案為：1四、解答題17．已知數列的前項和滿足：且數列最小項為．(1)求的取值范圍；(2)若，設，是數列的前項和，求的前15項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用的二次函數的性質有時最小，結合已知即可求范圍；（2）由（1）得，根據關系求得，再應用裂項相消法求.【詳解】(1)由題設，，則時最小，而最小項為，所以，則.(2)由（1）及，則，則由，且，顯然也滿足，所以，則，故.所以.18．如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面．(1)證明：；(2)求直線與面所成角的正弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）取中點，連，易得為正方形，為等腰直角三角形，再根據面面垂直的性質有平面，最后由線面垂直的性質證結論.（2）連接，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解.【詳解】(1)取中點，連，因為，，，，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則，因為，所以為等腰直角三角形，且，因為面面，面面，面，所以平面，又平面，所以.(2)連接，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設直線與面所成角為，則，即直線與面所成角的正弦值為.19．廣西新高考改革方案已正式公布，根據改革方案，將采用“3+2+1”的高考模式．其中，“3”為語文、數學、外語3門參加全國統一考試．選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門．由考生根據報考高校以及專業要求，結合自身實際情況，首先在物理和歷史中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物中選擇2門，形成自己的“高考選考組合”．(1)由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求，隨機選取100名高一新生進行調查，得到如下統計數據，判斷是否有的把握認為“選科與性別有關”？選擇物理選擇歷史合計男生4050女生合計30100(2)該校將從參與調查的學生中抽取2人進行訪談，設選到“選擇歷史”的人數為，求的分布列和數學期望．附：．0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1)有的把握認為“選科與性別有關”；(2)分布列見解析，期望為.【分析】（1）將列聯表補充完整，計算，根據獨立性檢驗判斷；（2）寫出取值并由超幾何分布計算對應值的概率，列出分布列，根據公式求解期望.【詳解】(1)將列聯表補充完整得，選擇物理選擇歷史合計男生401050女生302050合計7030100由獨立性檢驗得所以有的把握認為“選科與性別有關”(2)由題意，的取值為.，則的分布列為20．已知拋物線：的焦點為，直線分別與軸交于點，與拋物線交于點，且．(1)求拋物線的方程；(2)設橫坐標依次為，，的三個點A，B，C都在拋物線上，且，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值．【答案】(1)，(2)32【分析】（1）設點，根據點在拋物線上，且，列方程組求出的值，從而可求出拋物線的方程；（2）設直線的斜率為，由可得，然后結合，可得，然后由可得答案.【詳解】(1)設點，因為點在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線的方程為，(2)由題可設直線的斜率為，因為，所以直線的斜率為，因為，所以，所以，因為，所以，得，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，當且僅當時取等號，所以，所以的最小值為32.21．已知函數，．(1)若恒成立，求實數的取值范圍；(2)若，，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由分離參數得，構造函數，求函數的最值，即可得的取值范圍；（2）由，可知與至少有一個大于，假設，則，求導，可得函數單調遞增，所以，證明即可.【詳解】(1)由，即，，所以，設，則，令，解得，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時，取最大值為，所以；(2)由，可知與至少有一個大于，假設，則，又，則，，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以，則，又在時單調遞增，所以當時，，設，，則恒成立，所以在上單調遞增，則，所以當時，，所以，即.【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用．22．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（t為參數）．(1)寫出和的直角坐標方程；(2)設為曲線上的動點，求點到曲線的距離的最小值．【答案】(1)：，：；(2).【分析】（1）應