微積分期末試卷1兀、.設f(x)=2cosx,g(x)=(—)sinx在區間(0,)內()。22Af(x)是增函數，g(x)是減函數Bf(x)是減函數，g(x)是增函數C二者都是增函數口二者都是減函數2、T0時，e2x-cosx與sinx相比是()A高階無窮小B低階無窮小C等價無窮小D同階但不等價無價小TOC\o"1-5"\h\z3、x0是函數y(1x的()A連續點B可去間斷點C跳躍間斷點D無窮型間斷點4、下列數列有極限并且極限為1的選項為()n冗AX=(-1)n-—BX=sinn-nnn2CX=(a>1)DX=cos—nannn5、若f"(x)在X處取得最大值，則必有()0A'(X)=oBfX)<o00CfX)=0且''(X)<0D''(X)不存在或'(X)=000006、曲線y=xe(x2)()A僅有水平漸近線B僅有鉛直漸近線C既有鉛直又有水平漸近線D既有鉛直漸近線1~6DDBDBD一、填空題1、()=-^―dxx2、求過點(2,0)的一條直線，使它與曲線y=1相切。這條直線方程為：x2x3、函數y=，^的反函數及其定義域與值域分別是：2x+14、y=&X的拐點為：5、若lim-:ax>"=2,則a/的值分別為：x-1X2+x2y—x3-2x2；3y=log--,(0,1),R；4(0,0)21-x(x-1)(x+m)x+m1+mlim=lim==25解：原式=彳-1(x-1)(x+3)x-1x+34m=7b=—7,a=6二、判斷題1、無窮多個無窮小的和是無窮小()2、limsi吧在區間(-如+8)是連續函數()xf0x3、f”(x)一定為的拐點()04、若f(X)在x處取得極值，則必有f(x)在x處連續不可導()005、設函數f(x)在[0,1]上二階可導且f'(x)<0令A=f'(0),B=f'(1),C=f(1)-f(0),則必有A>B>C()1~5FFFFT三、計算題-11用洛必達法則求極限limx2ex2xf0ex2ex2(-2x-3)1.一解：原式=lim丁=lim=limex2=+8xf0xf0-2x-3xf0x22若f(x)=(x3+10)4,求"(0)解：f'(x)=4(x3+10)3?3x2=12x2(x3+10)3f"(x)=24x-(x3+10)3+12x2?3?(x3+10)2?3x2=24x?(x3+10)3+108x4(x3+10)2??.f"(x)=03求極限lim(cosx)x2xf0

44,解：原式lime；2歷cosx=ex—0x21ncosxx—04Incosxlim_In4Incosxlim_Incosx=limx―0x2x—0x21(-sinx)=limcosxx—0x2=limx—0一tanx=limx=-2x—ox24求y4求y=(3x-1)；：士1的導數x-2解：I〃y=—In3x—1+—Inx解：I〃y=—In3x—1+—Inx—1一y，1=5y3331—十一?2113x一12x一12y'=(3x-1)x一213x-12(x-1)2(x一2)53BM+2Inx-2Jtan3xdx5解：原式JtanJtan3xdx5解：原式Jtan2xtanxdx=J(sec2x-1)tanxdx

=Jsec2xtanxdx-Jtanxdxsinxtanxdtanx-cosxJJ1tanxdtanx-cosxdxdcosxltan2x+Incosx+c2求jxarctanxdx解：原式1Jarctanxd(x2)=1(x2arctanx-Jx2darctanx)221,Jx2+1-1,、(x2arctanx-dx)21+x21x2arctanx-J(1-)dx1+x21+x2xarctanx--+c四、證明題。1、證明方程X3+x-1=0有且僅有一正實根。證明：設f(x)=x3+x-1/(0)=-1<0,f(1)=1>0,且f(x)在［0,1］上連續???至少存在自(0,1),使得化)=0即/(x)在(0,1)內至少有一根，即f(x)=0在(0,+8)內至少有一實根TOC\o"1-5"\h\z假設〃X)=0在(0,+8)有兩不同實根xx2,x2>x/(x)在[x,x]上連續，在(x,x)內可導2222且(X)=f(x)=0H至少mGe(x,x)，?/&)=022而化)=312+1>1與假設相矛盾???方程x3+x-1=0有且只有一個正實根兀/、2、證明arcsinx+arccosx=—(-1<x<1)2證明：設f(x)=arcsinx+arccosxf'(x)=:J1-x21=f'(x)=:J1-x2J1一X2，f(x)=c=f(0)=arcsin0+arccos0=.兀f(1)=arcsin1+arccos1二一2兀[-1,1]f(-1)=arcsin(-1)+anccos(-1)=—，綜上所述，f(x)=arcsinx+arccos[-1,1]五、應用題1、描繪下列函數的圖形°1y=x2+—x解：.Dy=(-8,0)u(0,+s)12X3—12.y=2x———=X2X2令y'=0得x={2y"=2+—X3令y"=0,得X=—13.X(-Ed)-1(-1Q)0(0,屈)(恒川)Y1不存在?+Y1'+0++y、凹拐點(-1,D)/凸'凹極小/凹/r