.PAGE.>第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，應用一元二次方程概念解決一些簡單問題．2．掌握一元二次方程的一般形式a*2＋b*＋c＝0(a≠0)及有關概念．3．會進展簡單的一元二次方程的試解；理解方程解的概念．重點：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．難點：由實際問題列出一元二次方程；準確認識一元二次方程的二次項和系數以及一次項和系數及常數項．一、自學指導．(10分鐘)問題1：如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出局部折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，則鐵皮各角應切去多大的正方形？分析：設切去的正方形的邊長為*cm，則盒底的長為__(100－2*)cm__，寬為__(50－2*)cm__．列方程__(100－2*)·(50－2*)＝3600__，化簡整理，得__*2－75*＋350＝0__．①問題2：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據場地和時間等條件，賽程方案安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？分析：全部比賽的場數為__4×7＝28__．設應邀請*個隊參賽，每個隊要與其他__(*－1)__個隊各賽1場，所以全部比賽共eq\f(*〔*－1〕,2)__場．列方程__eq\f(*〔*－1〕,2)＝28__，化簡整理，得__*2－*－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知數的個數各是多少？__1個__．(2)它們最高次數分別是幾次？__2次__．歸納：方程①②的共同特點是：這些方程的兩邊都是__整式__，只含有__一個__未知數(一元)，并且未知數的最高次數是__2__的方程．1．一元二次方程的定義等號兩邊都是__整式__，只含有__一__個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一個關于*的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：a*2＋b*＋c＝0(a≠0)．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__a*2__是二次項，__a__是二次項系數，__b*__是一次項，__b__是一次項系數，__c__是常數項．點撥精講：二次項系數、一次項系數、常數項都要包含它前面的符號．二次項系數a≠0是一個重要條件，不能漏掉．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(6分鐘)1．判斷以下方程，哪些是一元二次方程？(1)*3－2*2＋5＝0；(2)*2＝1；(3)5*2－2*－eq\f(1,4)＝*2－2*＋eq\f(3,5)；(4)2(*＋1)2＝3(*＋1)；(5)*2－2*＝*2＋1;(6)a*2＋b*＋c＝0.解：(2)(3)(4)．點撥精講：有些含字母系數的方程，盡管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知數，這樣的方程仍然是整式方程．2．將方程3*(*－1)＝5(*＋2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項．解：去括號，得3*2，合并同類項，得3*2，一次項系數是－8，常數項是－10.點撥精講：將一元二次方程化成一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)1．求證：關于*的方程(m2－8m＋17)*2＋2m*＋1＝0，無論m取何值，該方程都是一元二次方程．證明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴無論m取何值，該方程都是一元二次方程．點撥精講：要證明無論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些數是方程2*2＋10*＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：將上面的這些數代入后，只有－2和－3滿足等式，所以*＝－2或*＝－3是一元二次方程2*2＋10*＋12＝0的兩根．點撥精講：要判定一個數是否是方程的根，只要把這個數代入等式，看等式兩邊是否相等即可．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(9分鐘)1．判斷以下方程是否為一元二次方程．(1)1－*2＝0;(2)2(*2－1)＝3y；(3)2*2－3*－1＝0;(4)eq\f(1,*2)－eq\f(2,*)＝0；(5)(*＋3)2＝(*－3)2;(6)9*2＝5－4*.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．假設*＝2是方程a*2＋4*－5＝0的一個根，求a的值．解：∵*＝2是方程a*2＋4*－5＝0的一個根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－eq\f(3,4).3．根據以下問題，列出關于*的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：(1)4個完全一樣的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長*；(2)一個長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長*.解：(1)4*2＝25，4*2－25＝0；(2)*(*－2)＝100，*2－2*－100＝0.學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1．一元二次方程的概念以及怎樣利用概念判斷一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式a*2＋b*＋c＝0(a≠0)，特別強調a≠0.3．要會判斷一個數是否是一元二次方程的根．學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)21．2解一元二次方程21．配方法(1)1.使學生會用直接開平方法解一元二次方程．2.滲透轉化思想，掌握一些轉化的技能．重點：運用開平方法解形如(*＋m)2＝n(n≥0)的方程；領會降次——轉化的數學思想．難點：通過根據平方根的意義解形如*2＝n(n≥0)的方程，知識遷移到根據平方根的意義解形如(*＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自學指導．(10分鐘)問題1：一桶*種油漆可刷的面積為1500dm2，小李用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外外表，你能算出盒子的棱長嗎？設正方體的棱長為*dm，則一個正方體的外表積為__6*2__dm2，根據一桶油漆可刷的面積列出方程：__10×6*2＝1500__，由此可得__*2＝25__，根據平方根的意義，得*＝__±5__，即*1＝__5__，*2＝__－5__．可以驗證__5__和－5都是方程的根，但棱長不能為負值，所以正方體的棱長為__5__dm.探究：對照問題1解方程的過程，你認為應該怎樣解方程(2*－1)2＝5及方程*2＋6*＋9＝4"方程(2*－1)2＝5左邊是一個整式的平方，右邊是一個非負數，根據平方根的意義，可將方程變形為__2*－1＝±eq\r(5)__，即將方程變為__2*－1＝eq\r(5)和__2*－1＝－eq\r(5)__兩個一元一次方程，從而得到方程(2*－1)2＝5的兩個解為*1＝__eq\f(1＋\r(5),2)，*2＝__eq\f(1－\r(5),2)__．在解上述方程的過程中，實質上是把一個一元二次方程"降次〞，轉化為兩個一元一次方程，這樣問題就容易解決了．方程*2＋6*＋9＝4的左邊是完全平方式，這個方程可以化成(*＋__3__)2＝4，進展降次，得到__*＋3＝±2__，方程的根為*1＝__－1__，*2＝__－5__.歸納：在解一元二次方程時通常通過"降次〞把它轉化為兩個一元一次方程．如果方程能化成*2＝p(p≥0)或(m*＋n)2＝p(p≥0)的形式，則可得*＝±eq\r(p)或m*＋n＝±eq\r(p).二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(6分鐘)解以下方程：(1)2y2＝8；(2)2(*－8)2＝50；(3)(2*－1)2＋4＝0;(4)4*2－4*＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(*－8)2＝50，y2＝4，(*－8)2＝25，y＝±2，*－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；*－8＝5或*－8＝－5，∴*1＝13，*2＝3；(3)(2*－1)2＋4＝0，(4)4*2－4*＋1＝0，(2*－1)2＝－4<0，(2*－1)2＝0，∴原方程無解；2*－1＝0，∴*1＝*2＝eq\f(1,2).點撥精講：觀察以上各個方程能否化成*2＝p(p≥0)或(m*＋n)2＝p(p≥0)的形式，假設能，則可運用直接開平方法解．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)1．用直接開平方法解以下方程：(1)(3*＋1)2＝7;(2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)eq\f(－1±\r(7),3)；(2)－1±2eq\r(6)；(3)eq\f(4±\r(11),3).點撥精講：運用開平方法解形如(m*＋n)2＝p(p≥0)的方程時，最容易出錯的是漏掉負根．2．關于*的方程*2＋(a2＋1)*－3＝0的一個根是1，求a的值．解：±1.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(9分鐘)用直接開平方法解以下方程：(1)3(*－1)2－6＝0;(2)*2－4*＋4＝5；(3)9*2＋6*＋1＝4;(4)36*2－1＝0；(5)4*2＝81;(6)(*＋5)2＝25；(7)*2＋2*＋1＝4.解：(1)*1＝1＋eq\r(2)，*2＝1－eq\r(2)；(2)*1＝2＋eq\r(5)，*2＝2－eq\r(5)；(3)*1＝－1，*2＝eq\f(1,3)；(4)*1＝eq\f(1,6)，*2＝－eq\f(1,6)；(5)*1＝eq\f(9,2)，*2＝－eq\f(9,2)；(6)*1＝0，*2＝－10；(7)*1＝1，*2＝－3.學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1．用直接開平方法解一元二次方程．2．理解"降次〞思想．3．理解*2＝p(p≥0)或(m*＋n)2＝p(p≥0)中，為什么p≥0"學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)21．配方法(2)1．會用配方法解數字系數的一元二次方程．2．掌握配方法和推導過程，能使用配方法解一元二次方程．重點：掌握配方法解一元二次方程．難點：把一元二次方程轉化為形如(*－a)2＝b的過程．(2分鐘)1．填空：(1)*2－8*＋__16__＝(*－__4__)2；(2)9*2＋12*＋__4__＝(3*＋__2__)2；(3)*2＋p*＋__(eq\f(p,2))2__＝(*＋__eq\f(p,2)__)2.2．假設4*2－m*＋9是一個完全平方式，則m的值是__±12__．一、自學指導．(10分鐘)問題1：要使一塊矩形場地的長比寬多6m，并且面積為16m2，場地的長和寬分別是多少米？設場地的寬為*m，則長為__(*＋6)__m，根據矩形面積為16m2，得到方程__*(*＋6)＝16__，整理得到__*2＋6*－16＝0__．探究：怎樣解方程*2＋6*－16＝0"比照這個方程與前面討論過的方程*2＋6*＋9＝4，可以發現方程*2＋6*＋9＝4的左邊是含有*的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程；而方程*2＋6*－16＝0不具有上述形式，直接降次有困難，能設法把這個方程化為具有上述形式的方程嗎？解：移項，得*2＋6*＝16，兩邊都加上__9__即__(eq\f(6,2))2__，使左邊配成*2＋b*＋(eq\f(b,2))2的形式，得__*2__＋6__*__＋9＝16＋__9__，左邊寫成平方形式，得__(*＋3)2＝25__，開平方，得__*＋3＝±5__，(降次)即__*＋3＝5__或__*＋3＝－5__，解一次方程，得*1＝__2__，*2＝__－8__．歸納：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程．問題2：解以下方程：(1)3*2－1＝5；(2)4(*－1)2－9＝0；(3)4*2＋16*＋16＝9.解：(1)*＝±eq\r(2)；(2)*1＝－eq\f(1,2)，*2＝eq\f(5,2)；(3)*1＝－eq\f(7,2)，*2＝－eq\f(1,2).歸納：利用配方法解方程時應該遵循的步驟：(1)把方程化為一般形式a*2＋b*＋c＝0；(2)把方程的常數項通過移項移到方程的右邊；(3)方程兩邊同時除以二次項系數a；(4)方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；(5)此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(8分鐘)1．填空：(1)*2＋6*＋__9__＝(*＋__3__)2；(2)*2－*＋__eq\f(1,4)__＝(*－__eq\f(1,2)__)2；(3)4*2＋4*＋__1__＝(2*＋__1__)2.2．解以下方程：(1)*2＋6*＋5＝0;(2)2*2＋6*＋2＝0；(3)(1＋*)2＋2(1＋*)－4＝0.解：(1)移項，得*2＋6*＝－5，配方得*2＋6*＋32＝－5＋32，(*＋3)2＝4，由此可得*＋3＝±2，即*1＝－1，*2＝－5.(2)移項，得2*2＋6*＝－2，二次項系數化為1，得*2＋3*＝－1，配方得*2＋3*＋(eq\f(3,2))2＝(*＋eq\f(3,2))2＝eq\f(5,4)，由此可得*＋eq\f(3,2)＝±eq\f(\r(5),2)，即*1＝eq\f(\r(5),2)－eq\f(3,2)，*2＝－eq\f(\r(5),2)－eq\f(3,2).(3)去括號，整理得*2＋4*－1＝0，移項得*2＋4*＝1，配方得(*＋2)2＝5，*＋2＝±eq\r(5)，即*1＝eq\r(5)－2，*2＝－eq\r(5)－2.點撥精講：解這些方程可以用配方法來完成，即配一個含有*的完全平方式．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(5分鐘)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，CB＝6m，點P，Q同時由A，B兩點出發分別沿AC，BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半？解：設*秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半．根據題意可列方程：eq\f(1,2)(8－*)(6－*)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×8×6，即*2－14*＋24＝0，(*－7)2＝25，*－7＝±5，∴*1＝12，*2＝2，*1＝12，*2＝2都是原方程的根，但*1＝12不合題意，舍去．答：2秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半．點撥精講：設*秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半，△PCQ也是直角三角形．根據條件列出等式．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(8分鐘)1．用配方法解以下關于*的方程：(1)2*2－4*－8＝0；(2)*2－4*＋2＝0；(3)*2－eq\f(1,2)*－1＝0;(4)2*2＋2＝5.解：(1)*1＝1＋eq\r(5)，*2＝1－eq\r(5)；(2)*1＝2＋eq\r(2)，*2＝2－eq\r(2)；(3)*1＝eq\f(1,4)＋eq\f(\r(17),4)，*2＝eq\f(1,4)－eq\f(\r(17),4)；(4)*1＝eq\f(\r(6),2)，*2＝－eq\f(\r(6),2).2．如果*2－4*＋y2＋6y＋eq\r(z＋2)＋13＝0，求(*y)z的值．解：由方程得*2－4*＋4＋y2＋6y＋9＋eq\r(z＋2)＝0，即(*－2)2＋(y＋3)2＋eq\r(z＋2)＝0，∴*＝2，y＝－3，z＝－2.∴(*y)z＝[2×(－3)]－2＝eq\f(1,36).學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1．用配方法解一元二次方程的步驟．2．用配方法解一元二次方程的本卷須知．學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)21．公式法1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念．2.會熟練應用公式法解一元二次方程．重點：求根公式的推導和公式法的應用．難點：一元二次方程求根公式的推導．(2分鐘)用配方法解方程：(1)*2＋3*＋2＝0；(2)2*2－3*＋5＝0.解：(1)*1＝－2，*2＝－1；(2)無解．一、自學指導．(8分鐘)問題：如果這個一元二次方程是一般形式a*2＋b*＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？問題：a*2＋b*＋c＝0(a≠0)，試推導它的兩個根*1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，*2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).分析：因為前面具體數字已做得很多，現在不妨把a，b，c也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去．探究：一元二次方程a*2＋b*＋c＝0(a≠0)的根由方程的系數a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式a*2＋b*＋c＝0，當b2－4ac≥0時，將a，b，c代入式子*＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)就得到方程的根，當b2－4ac＜0時，方程沒有實數根．(2)*＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)叫做一元二次方程a*2＋b*＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2個實數根，也可能有__1__個實根或者__沒有__實根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程a*2＋b*＋c＝0(a≠0)的根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(5分鐘)用公式法解以下方程，根據方程根的情況你有什么結論？(1)2*2－3*＝0；(2)3*2－2eq\r(3)*＋1＝0；(3)4*2＋*＋1＝0.解：(1)*1＝0，*2＝eq\f(3,2)；有兩個不相等的實數根；(2)*1＝*2＝eq\f(\r(3),3)；有兩個相等的實數根；(3)無實數根．點撥精講：Δ＞0時，有兩個不相等的實數根；Δ＝0時，有兩個相等的實數根；Δ＜0時，沒有實數根．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)1．方程*2－4*＋4＝0的根的情況是(B)A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根C．有一個實數根D．沒有實數根2．當m為何值時，方程(m＋1)*2－(2m－3)*＋m＋1＝0，(1)有兩個不相等的實數根？(2)有兩個相等的實數根？(3)沒有實數根？解：(1)m＜eq\f(1,4)；(2)m＝eq\f(1,4)；(3)m＞eq\f(1,4).3.*2＋2*＝m－1沒有實數根，求證：*2＋m*＝1－2m必有兩個不相等的實數根.證明：∵*2＋2*－m＋1＝0沒有實數根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.對于方程*2＋m*＝1－2m，即*2＋m*＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴*2＋m*＝1－2m必有兩個不相等的實數根．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘)1．利用判別式判定以下方程的根的情況：(1)2*2－3*－eq\f(3,2)＝0;(2)16*2－24*＋9＝0；(3)*2－4eq\r(2)*＋9＝0;(4)3*2＋10*＝2*2＋8*.解：(1)有兩個不相等的實數根；(2)有兩個相等的實數根；(3)無實數根；(4)有兩個不相等的實數根．2．用公式法解以下方程：(1)*2＋*－12＝0;(2)*2－eq\r(2)*－eq\f(1,4)＝0；(3)*2＋4*＋8＝2*＋11;(4)*(*－4)＝2－8*；(5)*2＋2*＝0;(6)*2＋2eq\r(5)*＋10＝0.解：(1)*1＝3，*2＝－4；(2)*1＝eq\f(\r(2)＋\r(3),2)，*2＝eq\f(\r(2)－\r(3),2)；(3)*1＝1，*2＝－3；(4)*1＝－2＋eq\r(6)，*2＝－2－eq\r(6)；(5)*1＝0，*2＝－2;(6)無實數根．點撥精講：(1)一元二次方程a*2＋b*＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系數a，b，c確定的；(2)在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入*＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(b2－4ac≥0)中，可求得方程的兩個根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數根．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1.求根公式的推導過程．2.用公式法解一元二次方程的一般步驟：先確定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．3.用判別式判定一元二次方程根的情況．學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)21．因式分解法1.會用因式分解法(提公因式法、公式法)解*些簡單的數字系數的一元二次方程．2.能根據具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性．重點：用因式分解法解一元二次方程．難點：理解因式分解法解一元二次方程的根本思想．(2分鐘)將以下各題因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自學指導．(8分鐘)問題：根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，則經過*s物體離地的高度(單位：m2.s)設物體經過*s落回地面，這時它離地面的高度為0，即10*2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程①？分析：方程①的右邊為0，左邊可以因式分解得：*(10－4.9*)＝0，于是得*＝0或10－4.9*＝0，②∴*1＝__0__，*2≈．上述解中，*2≈表示物體約在2.04s時落回地面，而*1＝0表示物體被上拋離開地面的時刻，即0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0m.點撥精講：(1)對于一元二次方程，先將方程右邊化為0，然后對方程左邊進展因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積的形式，再使這兩個一次因式分別等于零，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，則a＝0或b＝0，這是因式分解法的根據．如：如果(*＋1)(*－1)＝0，則__*＋1＝0或__*－1＝0__，即__*＝－1__或__*＝1．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(5分鐘)1．說出以下方程的根：(1)*(*－8)＝0；(2)(3*＋1)(2*－5)＝0.解：(1)*1＝0，*2＝8；(2)*1＝－eq\f(1,3)，*2＝eq\f(5,2).2．用因式分解法解以下方程：(1)*2－4*＝0;(2)4*2－49＝0；(3)5*2－20*＋20＝0.解：(1)*1＝0，*2＝4;(2)*1＝eq\f(7,2)，*2＝－eq\f(7,2)；(3)*1＝*2＝2.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)1．用因式分解法解以下方程：(1)5*2－4*＝0；(2)3*(2*＋1)＝4*＋2；(3)(*＋5)2＝3*＋15.解：(1)*1＝0，*2＝eq\f(4,5)；(2)*1＝eq\f(2,3)，*2＝－eq\f(1,2)；(3)*1＝－5，*2＝－2.點撥精講：用因式分解法解一元二次方程的要點是方程的一邊是0，另一邊可以分解因式．2．用因式分解法解以下方程：(1)4*2－144＝0；(2)(2*－1)2＝(3－*)2；(3)5*2－2*－eq\f(1,4)＝*2－2*＋eq\f(3,4)；(4)3*2－12*＝－12.解：(1)*1＝6，*2＝－6；(2)*1＝eq\f(4,3)，*2＝－2；(3)*1＝eq\f(1,2)，*2＝－eq\f(1,2)；(4)*1＝*2＝2.點撥精講：注意本例中的方程可以試用多種方法．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘)1．用因式分解法解以下方程：(1)*2＋*＝0;(2)*2－2eq\r(3)*＝0；(3)3*2－6*＝－3;(4)4*2－121＝0；(5)(*－4)2＝(5－2*)2.解：(1)*1＝0，*2＝－1；(2)*1＝0，*2＝2eq\r(3)；(3)*1＝*2＝1；(4)*1＝eq\f(11,2)，*2＝－eq\f(11,2)；(5)*1＝3，*2＝1.點撥精講：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程右邊化為__0__；(2)將方程左邊分解成兩個一次式的__乘積__；(3)令每個因式分別為__0__，得到兩個一元一次方程；(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．2．把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑．解：設小圓形場地的半徑為*m.則可列方程2π*2＝π(*＋5)2.解得*1＝5＋5eq\r(2)，*2＝5－5eq\r(2)(舍去)．答：小圓形場地的半徑為(5＋5eq\r(2))m.學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)1．用因式分解法解方程的根據由ab＝0得a＝0或b＝0，即"二次降為一次〞．2．正確的因式分解是解題的關鍵．學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)21．一元二次方程的根與系數的關系1.理解并掌握根與系數的關系：*1＋*2＝－eq\f(b,a)，*1*2＝eq\f(c,a).2.會用根的判別式及根與系數的關系解題．重點：一元二次方程的根與系數的關系及運用．難點：一元二次方程的根與系數的關系及運用．一、自學指導．(10分鐘)自學1：完成下表：方程*1*2*1＋*2*1*2*2－5*＋6＝02356*2＋3*－10＝02－5－3－10問題：你發現什么規律？①用語言表達你發現的規律；答：兩根之和為一次項系數的相反數；兩根之積為常數項．②*2＋p*＋q＝0的兩根*1，*2用式子表示你發現的規律.答：*1＋*2＝－p，*1*2＝q.自學2：完成下表：方程*1*2*1＋*2*1*22*2－3*－2＝02－eq\f(1,2)eq\f(3,2)－13*2－4*＋1＝0eq\f(1,3)1eq\f(4,3)eq\f(1,3)問題：上面發現的結論在這里成立嗎？(不成立)請完善規律：①用語言表達發現的規律；答：兩根之和為一次項系數與二次項系數之比的相反數，兩根之積為常數項與二次項系數之比．②a*2＋b*＋c＝0的兩根*1，*2用式子表示你發現的規律．答：*1＋*2＝－eq\f(b,a)，*1*2＝eq\f(c,a).自學3：利用求根公式推導根與系數的關系．(韋達定理)a*2＋b*＋c＝0的兩根*1＝__eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)__，*2＝__eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)__．*1＋*2＝－eq\f(b,a)，*1*2＝eq\f(c,a).二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(5分鐘)根據一元二次方程的根與系數的關系，求以下方程的兩根之和與兩根之積．(1)*2－3*－1＝0；(2)2*2＋3*－5＝0；(3)eq\f(1,3)*2－2*＝0.解：(1)*1＋*2＝3，*1*2＝－1；(2)*1＋*2＝－eq\f(3,2)，*1*2＝－eq\f(5,2)；(3)*1＋*2＝6，*1*2＝0.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(10分鐘)1．不解方程，求以下方程的兩根之和與兩根之積．(1)*2－6*－15＝0;(2)3*2＋7*－9＝0；(3)5*－1＝4*2.解：(1)*1＋*2＝6，*1*2＝－15；(2)*1＋*2＝－eq\f(7,3)，*1*2＝－3；(3)*1＋*2＝eq\f(5,4)，*1*2＝eq\f(1,4).點撥精講：先將方程化為一般形式，找對a，b，c.2．方程2*2＋k*－9＝0的一個根是－3，求另一根及k的值．解：另一根為eq\f(3,2)，k＝3.點撥精講：此題有兩種解法，一種是根據根的定義，將*＝－3代入方程先求k，再求另一個根；一種是利用根與系數的關系解答．3．α，β是方程*2－3*－5＝0的兩根，不解方程，求以下代數式的值．(1)eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：(1)－eq\f(3,5)；(2)19；(3)eq\r(29)或－eq\r(29).二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(8分鐘)1．不解方程，求以下方程的兩根和與兩根積：(1)*2－3*＝15;(2)5*2－1＝4*2；(3)*2－3*＋2＝10;(4)4*2－144＝0.解：(1)*1＋*2＝3，*1*2＝－15；(2)*1＋*2＝0，*1*2＝－1；(3)*1＋*2＝3，*1*2＝－8；(4)*1＋*2＝0，*1*2＝－36.2．兩根均為負數的一元二次方程是(C)A．7*2－12*＋5＝0B．6*2－13*－5＝0C．4*2＋21*＋5＝0D．*2＋15*－8＝0點撥精講：兩根均為負數的一元二次方程根與系數的關系滿足兩根之和為負數，兩根之積為正數．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)不解方程，根據一元二次方程根與系數的關系和條件結合，可求得一些代數式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系數的值．1．先化成一般形式，再確定a，b，c.2．當且僅當b2－4ac≥0時，才能應用根與系數的關系．3．要注意比的符號：*1＋*2＝－eq\f(b,a)(比前面有負號)，*1*2＝eq\f(c,a)(比前面沒有負號)．學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)21．3實際問題與一元二次方程(1)1．會根據具體問題(按一定傳播速度傳播的問題、數字問題等)中的數量關系列一元二次方程并求解．2．能根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理．3．進一步掌握列方程解應用題的步驟和關鍵．重點：列一元二次方程解決實際問題．難點：找出實際問題中的等量關系．一、自學指導．(12分鐘)問題1：有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？分析：①設每輪傳染中平均一個人傳染了*個人，則患流感的這一個人在第一輪中傳染了__*__人，第一輪后共有__(*＋1)__人患了流感；②第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了__*__人，第二輪后共有__(*＋1)(*＋1)__人患了流感．則列方程：__(*＋1)2＝121__，解得__*＝10或*＝－12(舍)__，即平均一個人傳染了__10__個人．再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？問題2：一個兩位數，它的兩個數字之和為6，把這兩個數字交換位置后所得的兩位數與原兩位數的積是1008，求原來的兩位數．分析：設原來的兩位數的個位數字為__*__，則十位數字為__(6－*)__，則原兩位數為__10(6－*)＋*，新兩位數為__10*＋(6－*)__．依題意可列方程：[10(6－*)＋*][10*＋(6－*)]＝1008__，解得*1＝__2__，*2＝__4__，∴原來的兩位數為24或42.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(5分鐘)*初中畢業班的每一個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送了2550張相片，如果全班有*名學生，根據題意，列出方程為()A．*(*＋1)＝2550B．*(*－1)＝2550C．2*(*＋1)＝2550D．*(*－1)＝2550×2分析：由題意，每一個同學都將向全班其他同學各送一張相片，則每人送出(*－1)張相片，全班共送出*(*－1)張相片，可列方程為*(*－1)＝2550.應選B.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)1．*種植物的主干長出假設干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，求每個支干長出多少小分支？解：設每個支干長出*個小分支，則有1＋*＋*2＝91，即*2＋*－90＝0，解得*1＝9，*2＝－10(舍去)，故每個支干長出9個小分支．點撥精講：本例與傳染問題的區別．2．一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，且個位數字與十位數字的平方和比這個兩位數小4，設個位數字為*，則列方程為：__*2＋(*＋4)2＝10(*＋4)＋*－4__．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(7分鐘)1．兩個正數的差是2，它們的平方和是52，則這兩個數是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2題、第3題學生總結本堂課的收獲與困惑．(3分鐘)1．列一元二次方程解應用題的一般步驟：(1)"審〞：即審題，讀懂題意弄清題中的量和未知量；(2)"設〞：即設__未知數__，設未知數的方法有直接設和間接設未知數兩種；(3)"列〞：即根據題中__等量__關系列方程；(4)"解〞：即求出所列方程的__根__；(5)"檢驗〞：即驗證根是否符合題意；(6)"答〞：即答復題目中要解決的問題．2.對于數字問題應注意數字的位置．學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)21．3實際問題與一元二次方程(2)1.會根據具體問題(增長率、降低率問題和利潤率問題)中的數量關系列一元二次方程并求解．2．能根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理．3．進一步掌握列方程解應用題的步驟和關鍵．重點：如何解決增長率與降低率問題．難點：理解增長率與降低率問題的公式a(1±*)n＝b，其中a是原有量，*為增長(或降低)率，n為增長(或降低)的次數，b為增長(或降低)后的量．一、自學指導．(10分鐘)自學：兩年前生產1噸甲種藥品的本錢是5000元，生產1噸乙種藥品的本錢是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1噸甲種藥品的本錢是3000元，生產1噸乙種藥品的本錢是3600元，哪種藥品本錢的年平均下降率較大？(準確到0.01)絕對量：甲種藥品本錢的年平均下降額為(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙種藥品本錢的年平均下降額為(6000－3600)÷2＝1200(元)，顯然，乙種藥品本錢的年平均下降額較大．相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢？也就是能否說明乙種藥品本錢的年平均下降率大呢？下面我們通過計算來說明這個問題．分析：①設甲種藥品本錢的年平均下降率為*，則一年后甲種藥品本錢為__5000(1－*)__元，兩年后甲種藥品本錢為__5000(1－*)2__元．依題意，得__5000(1－*)2＝3000__．解得__*1≈0.23，*2≈__．根據實際意義，甲種藥品本錢的年平均下降率約為____．②設乙種藥品本錢的年平均下降率為，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈(舍)__．答：兩種藥品本錢的年平均下降率__一樣__．點撥精講：經過計算，本錢下降額較大的藥品，它的本錢下降率不一定較大，應比較降前及降后的價格．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(8分鐘)*商店10月份的營業額為5000元，12月份上升到7200元，平均每月增長百分率是多少？【分析】如果設平均每月增長的百分率為*，則11月份的營業額為__5000(1＋*)__元，12月份的營業額為__5000(1＋*)(1＋*)__元，即__5000(1＋*)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋*)2＝7200__．點撥精講：此例是增長率問題，如題目無特別說明，一般都指平均增長率，增長率是增長數與基準數的比．增長率＝增長數∶基準數設基準數為a，增長率為*，則一月(或一年)后產量為a(1＋*)；二月(或二年)后產量為a(1＋*)2；n月(或n年)后產量為a(1＋*)n；如果n月(n年)后產量為M，則有下面等式：M＝a(1＋*)n.解這類問題一般多采用上面的等量關系列方程．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)*人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，假設存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．(利息稅20%)分析：設這種存款方式的年利率為*，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000*·80%；第二次存，本金就變為1000＋2000*·80%，其他依此類推．解：設這種存款方式的年利率為*，則1000＋2000*·80%＋(1000＋2000*·80%)*·80%＝1320，整理，得1280*2＋800*＋1600*＝320，即8*2＋15*－2＝0，解得*1＝－2(不符，舍去)，*2%.答：所求的年利率是%.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(6分鐘)青山村種的水稻2011年平均每公頃產7200kg，2013年平均每公頃產8460kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率．解：設年平均增長率為*，則有7200(1＋*)2＝8460，解得*1，*2＝－2.08(舍)．即年平均增長率為8%.答：水稻每公頃產量的年平均增長率為8%.點撥精講：傳播或傳染以及增長率問題的方程適合用直接開平方法來解．學生總結本堂課的收獲與困惑．(3分鐘)1.列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、找、列、解、答．最后要檢驗根是否符合實際意義．2.假設平均增長(降低)率為*，增長(或降低)前的基數是a，增長(或降低)n次后的量是b，則有：a(1±*)n＝b(常見n＝2)．學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)21．3實際問題與一元二次方程(3)1.能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型．并能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理．2.列一元二次方程解有關特殊圖形問題的應用題．重點：根據面積與面積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型并運用它解決實際問題．難點：根據面積與面積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型．一、自學指導．(10分鐘)問題：如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例一樣的矩形．如果要使四周的陰影邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？(準確到0.1cm)分析：封面的長寬之比是27∶21＝__9∶7，中央的長方形的長寬之比也應是__9∶7__，假設設中央的長方形的長和寬分別是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．探究：怎樣設未知數可以更簡單的解決上面的問題？請試一試．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(5分鐘)在一幅長8分米，寬6分米的矩形風景畫(如圖①)的四周鑲寬度一樣的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖(如圖②)．如果要使整個掛圖的面積是80平方分米，求金色紙邊的寬．解：設金色紙邊的寬為*分米，根據題意，得(2*＋6)(2*＋8)＝80.解得*1＝1，*2＝－8(不合題意，舍去)．答：金色紙邊的寬為1分米．點撥精講：此題和上題一樣，利用矩形的面積公式做為相等關系列方程．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)如圖，*小區規劃在一個長為40m、寬為26m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬度的馬路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余局部種草．假設使每一塊草坪的面積都是144m2，求馬路的寬．解：假設三條馬路修在如下列圖位置．設馬路寬為*，則有(40－2*)(26－*)＝144×6，化簡，得*2－46*＋88＝0，解得*1＝2，*2＝44，由題意：40－2*＞0，26－*＞0,則*＜20.故*2＝44不合題意，應舍去，∴*＝2.答：馬路的寬為2m.點撥精講：這類修路問題，通常采用平移方法，使剩余局部為一完整矩形．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘)1．如圖，要設計一幅寬20cm、長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條(圖中陰影局部)，橫、豎彩條的寬度比為3∶2，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度．(準確到0.1cm)解：設橫彩條的寬度為3*cm，則豎彩條的寬度為2*cm.根據題意，得(30－4*)(20－6*)＝(1－eq\f(1,4))×20×30.解得*1≈0.6，*2≈(不合題意，舍去)．，2*＝1.2.答：橫彩條寬為1.8cm，豎彩條寬為1.2cm.2．用一根長40cm的鐵絲圍成一個長方形，要求長方形的面積為75cm2.(1)求此長方形的寬是多少？(2)能圍成一個面積為101cm2的長方形嗎？假設能，說明圍法．(3)假設設圍成一個長方形的面積為S(cm2)，長方形的寬為*(cm)，求S與*的函數關系式，并求出當*為何值時，S的值最大？最大面積為多少？解：(1)設此長方形的寬為*cm，則長為(20－*)cm.根據題意，得*(20－*)＝75，解得*1＝5，*2＝15(舍去)．答：此長方形的寬是5cm.(2)不能．由*(20－*)＝101，即*2－20*＋101＝0，知Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程無解，故不能圍成一個面積為101cm2的長方形．(3)S＝*(20－*)＝－*2＋20*.由S＝－*2＋20*＝－(*－10)2＋100知，當*＝10時，S的值最大，最大面積為100cm2.點撥精講：注意一元二次方程根的判別式和配方法在第(2)(3)問中的應用．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)用一元二次方程解決特殊圖形問題時，通常要先畫出圖形，利用圖形的面積找相等關系列方程．學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)第二十二章二次函數22．1二次函數的圖象和性質22．二次函數結合具體情境體會二次函數的意義，理解二次函數的有關概念；能夠表示簡單變量之間的二次函數關系．重點：能夠表示簡單變量之間的二次函數關系．難點：理解二次函數的有關概念．一、自學指導．(10分鐘)自學：自學課本P28～29，自學"思考〞，理解二次函數的概念及意義，完成填空．總結歸納：一般地，形如y＝a*2＋b*＋c(a，b，c是常數，且a≠0)的函數叫做二次函數，其中二次項系數、一次項系數和常數項分別為a，b，c．現在我們已學過的函數有一次函數、二次函數，其表達式分別是y＝a*＋b(a，b為常數，且a≠0)、y＝a*2＋b*＋c(a，b，c為常數，且a≠0)．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(5分鐘)1．以下函數中，是二次函數的有__A，B，C__．A．y＝(*－3)2－1B．y＝1－eq\r(2)*2C．y＝eq\f(1,3)(*＋2)(*－2)D．y＝(*－1)2－*22．二次函數y＝－*2＋2*中，二次項系數是__－1__，一次項系數是__2__，常數項是__0__．3．半徑為R的圓，半徑增加*，圓的面積增加y，則y與*之間的函數關系式為y＝π*2＋2πR*(*≥0)．點撥精講：判斷二次函數關系要緊扣定義．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(10分鐘)探究1假設y＝(b－2)*2＋4是二次函數，則__b≠2__．探究2*超市購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元出售，則每月可售出500個，根據銷售經歷，售價每提高1元，銷售量相應減少10個，如果超市將籃球售價定為*元(*>50)，每月銷售這種籃球獲利y元．(1)求y與*之間的函數關系式；(2)超市方案下月銷售這種籃球獲利8000元，又要吸引更多的顧客，則這種籃球的售價為多少元？解：(1)y＝－10*2＋1400*－40000(50<*<100)．(2)由題意得：－10*2＋1400*－40000＝8000，化簡得*2－140*＋4800＝0，∴*1＝60，*2＝80.∵要吸引更多的顧客，∴售價應定為60元．二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(8分鐘)1．如果函數y＝(k＋1)*k2＋1是y關于*的二次函數，則k的值為多少？2．設y＝y1－y2，假設y1與*2成正比例，y2與eq\f(1,*)成反比例，則y與*的函數關系是(A)A．二次函數B．一次函數C．正比例函數D．反比例函數3．，函數y＝(m－4)*m2－m＋2*2－3*－1是關于*的函數．(1)m為何值時，它是y關于*的一次函數？(2)m為何值時，它是y關于*的二次函數？點撥精講：第3題的第(2)問，要分情況討論．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，P是BC上的一動點，動點Q僅在PC或其延長線上，且BP＝PQ，以PQ為一邊作正方形PQRS，點P從B點開場沿射線BC方向運動，設BP＝*cm，正方形PQRS與矩形ABCD重疊局部面積為ycm2，試分別寫出0≤*≤2和2≤*≤4時，y與*之間的函數關系式．≠0.2．有時候要根據自變量的取值范圍寫函數關系式．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)學習至此，請使用本課時的對應訓練局部．(10分鐘)22．二次函數y＝a*2的圖象和性質1．能夠用描點法作出函數的圖象，并能根據圖象認識和理解其性質．2．初步建立二次函數表達式與圖象之間的聯系，體會數形的結合與轉化，體會數學內在的美感．重點：描點法作出函數的圖象．難點：根據圖象認識和理解其性質．一、自學指導．(7分鐘)自學：自學課本P30～31"例1〞"思考〞"探究〞，掌握用描點法作出函數的圖象，理解其性質，完成填空．(1)畫函數圖象的一般步驟：取值－描點－連線；(2)在同一坐標系中畫出函數y＝*2，y＝eq\f(1,2)*2和y＝2*2的圖象；點撥精講：根據y≥0，可得出y有最小值，此時*＝0，所以以(0，0)為對稱點，對稱取點．(3)觀察上述圖象的特征：形狀是拋物線，開口向上，圖象關于y軸對稱，其頂點坐標是(0，0)，其頂點是最低點(最高點或最低點)；(4)找出上述三條拋物線的異同：__________．(5)在同一坐標系中畫出函數y＝－*2，y＝－eq\f(1,2)*2和y＝－2*2的圖象，找出圖象的異同．點撥精講：可從頂點、對稱軸、開口方向、開口大小去比較尋找規律．總結歸納：一般地，拋物線的對稱軸是y軸，頂點是(0，0)，當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點．a越大，拋物線的開口越小；當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點，a越大，拋物線的開口越大．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(5分鐘)1．教材P41，4題．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(13分鐘)探究1填空：(1)函數y＝(－eq\r(2)*)2的圖象形狀是______，頂點坐標是______，對稱軸是______，開口方向是______．(2)函數y＝*2，y＝eq\f(1,2)*2和y＝－2*2的圖象如下列圖，請指出三條拋物線的解析式．解：(1)拋物線，(0，0)，y軸，向上；(2)根據拋物線y＝a*2中，a的值來判斷，在*軸上方開口小的拋物線為y＝*2，開口大的為y＝eq\f(1,2)*2，在*軸下方的為y＝－2*2.點撥精講：解析式需化為一般式，再根據圖象特征解答，防止發生錯誤．拋物線y＝a*2中，a>0時，開口向上；a<0時，開口向下；|a|越大，開口越?。骄?函數y＝(m＋2)*m2＋m－4是關于*的二次函數．(1)求滿足條件的m的值；(2)m為何值時，拋物線有最低點？求這個最低點；當*為何值時，y隨*的增大而增大？(3)m為何值時，函數有最大值？最大值為多少？當*為何值時，y隨*的增大而減?。拷猓?1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m－4＝2，,m＋2≠0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2或m＝－3，,m≠－2.))∴當m＝2或m＝－3時，原函數為二次函數．(2)假設拋物線有最低點，則拋物線開口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴只能取m＝2.∵這個最低點為拋物線的頂點，其坐標為(0，0)，∴當*>0時，y隨*的增大而增大．(3)假設函數有最大值，則拋物線開口向下，∴m＋2<0，即m<－2，∴只能取m＝－3.∵函數的最大值為拋物線頂點的縱坐標，其頂點坐標為(0，0)，∴m＝－3時，函數有最大值為0.∴*>0時，y隨*的增大而減?。⒏櫨毩暎簩W生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(5分鐘)1．二次函數y＝a*2與y＝－a*2的圖象之間有何關系？2．函數y＝a*2經過點(－1，3)．(1)求a的值；(2)當*<0時，y的值隨*值的增大而變化的情況．3．二次函數y＝－eq\r(2)*2，當*1>*2>0，則y1與y2的關系是__y1＜y2__．4．二次函數y＝a*2與一次函數y＝－a*(a≠0)在同一坐標系中的圖象大致是(B)點撥精講：1.二次函數y＝a*2的圖象的畫法是列表、描點、連線，列表時一般取5～7個點，描點時可描出一側的幾個點，再根據對稱性找出另一側的幾個點，連線將幾個點用平滑的曲線順次連接起來，拋物線的兩端要無限延伸，要"出頭〞；2．拋物線y＝a*2的開口大小與|a|有關，|a|越大，開口越小，|a|相等，則其形狀一樣．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)22．二次函數y＝a(*－h)2＋k的圖象和性質(1)1．會作函數y＝a*2和y＝a*2＋k的圖象，能比較它們的異同；理解a，k對二次函數圖象的影響，能正確說出兩函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．2．了解拋物線y＝a*2上下平移規律．重點：會作函數的圖象．難點：能正確說出兩函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．一、自學指導．(10分鐘)自學：自學課本P32～33"例2〞及兩個思考，理解y＝a*2＋k中a，k對二次函數圖象的影響，完成填空．總結歸納：二次函數y＝a*2的圖象是一條拋物線，其對稱軸是y軸，頂點是(0，0)，開口方向由a的符號決定：當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向__下__．當a>0時，在對稱軸的左側，y隨*的增大而減小；在對稱軸的右側，y隨*的增大而增大．拋物線有最__低__點，函數y有最__小__值．當a<0時，在對稱軸的左側，y隨*的增大而增大；在對稱軸的右側，y隨*的增大而減小．拋物線有最__高__點，函數y有最__大__值．拋物線y＝a*2＋k可由拋物線y＝a*2沿__y__軸方向平移__|k|__單位得到，當k>0時，向__上__平移；當k<0時，向__下__平移．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(7分鐘)1．在拋物線y＝*2－2上的一個點是(C)A．(4，4)B．(1，－4)C．(2，2)D．(0，4)2．拋物線y＝*2－16與*軸交于B，C兩點，頂點為A，則△ABC的面積為__64__．點撥精講：與*軸的交點的橫坐標即當y等于0時*的值，即可求出兩個交點的坐標．3．畫出二次函數y＝*2－1，y＝*2，y＝*2＋1的圖象，觀察圖象有哪些異同？點撥精講：可從開口方向、對稱軸、形狀大小、頂點、位置去找．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(5分鐘)探究1拋物線y＝a*2與y＝a*2±c有什么關系？解：(1)拋物線y＝a*2±c的形狀與y＝a*2的形狀完全一樣，只是位置不同；(2)拋物線y＝a*2向上平移c個單位得到拋物線y＝a*2＋c；拋物線y＝a*2向下平移c個單位得到拋物線y＝a*2－c.探究2拋物線y＝a*2＋c向下平移2個單位后，所得拋物線為y＝－2*2＋4，試求a，c的值．解：根據題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,c－2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,c＝6.))二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(13分鐘)1．函數y＝a*2－a與y＝a*－a(a≠0)在同一坐標系中的圖象可能是(D)2．二次函數的圖象如下列圖，則它的解析式為(B)A．y＝*2－4B．y＝－eq\f(3,4)*2＋3C．y＝eq\f(3,2)(2－*)2D．y＝eq\f(3,2)(*2－2)3．二次函數y＝－*2＋4圖象的對稱軸是y軸，頂點坐標是(0，4)，當*<0，y隨*的增大而增大．4．拋物線y＝a*2＋c與y＝－3*2的形狀大小，開口方向都一樣，且其頂點坐標是(0，5)，則其表達式為y＝－3*2＋5，它是由拋物線y＝－3*2向__上__平移__5__個單位得到的．5．將拋物線y＝－3*2＋4繞頂點旋轉180°，所得拋物線的解析式為y＝3*2＋4．6．函數y＝a*2＋c的圖象與函數y＝5*2＋1的圖象關于*軸對稱，則a＝__－5__，c＝__－1__．點撥精講：1.函數的圖象與性質以及拋物線上下平移規律．(可結合圖象理解)2．拋物線平移多少個單位，主要看兩頂點坐標，確定兩頂點相隔的距離，從而確定平移的方向與單位長，有時也可以比較兩拋物線上橫坐標一樣的兩點相隔的距離，從而確定平移的方向與單位長．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)22．二次函數y＝a(*－h)2＋k的圖象和性質(2)1．進一步熟悉作函數圖象的主要步驟，會作函數y＝a(*－h)2的圖象．2．能正確說出y＝a(*－h)2的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．3．掌握拋物線y＝a(*－h)2的平移規律．重點：熟悉作函數圖象的主要步驟，會作函數y＝a(*－h)2的圖象．難點：能正確說出圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，掌握拋物線y＝a(*－h)2的平移規律．一、自學指導．(10分鐘)自學：自學課本P33～34"探究〞與"思考〞，掌握y＝a(*－h)2與y＝a*2之間的關系，理解并掌握y＝a(*－h)2的相關性質，完成填空．畫函數y＝－eq\f(1,2)*2、y＝－eq\f(1,2)(*＋1)2和y＝－eq\f(1,2)(*－1)2的圖象，觀察后兩個函數圖象與拋物線y＝－eq\f(1,2)*2有何關系？它們的對稱軸、頂點坐標分別是什么？點撥精講：觀察圖象移動過程，要特別注意特殊點(如頂點)的移動情況．總結歸納：二次函數y＝a(*－h)2的頂點坐標為(h，0)，對稱軸為直線*＝h．當a>0時，在對稱軸的左側y隨*的增大而減小，在對稱軸的右側y隨*的增大而增大，拋物線有最低點，函數y有最小值；當a<0時，在對稱軸的左側y隨*的增大而增大，在對稱軸的右側y隨*的增大而減小，拋物線有最高點，函數y有最大值．拋物線y＝a*2向左平移h個單位，即為拋物線y＝a(*＋h)2(h>0)；拋物線y＝a*2向右平移h個單位，即為拋物線y＝a(*－h)2(h>0)．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(7分鐘)1．教材P35練習題；2．拋物線y＝－eq\f(1,2)(*－1)2的開口向下，頂點坐標是(1，0)，對稱軸是*＝1，通過向左平移1個單位后，得到拋物線y＝－eq\f(1,2)*2.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘)探究1在直角坐標系中畫出函數y＝eq\f(1,2)(*＋3)2的圖象．(1)指出函數圖象的對稱軸和頂點坐標；(2)根據圖象答復，當*取何值時，y隨*的增大而減小？當*取何值時，y隨*的增大而增大？當*取何值時，y取最大值或最小值？(3)怎樣平移函數y＝eq\f(1,2)*2的圖象得到函數y＝eq\f(1,2)(*＋3)2的圖象？解：(1)對稱軸是直線*＝－3，頂點坐標(－3，0)；(2)當*<－3時，y隨*的增大而減小；當*>－3時，y隨*的的增大而增大；當*＝－3時，y有最小值；(3)將函數y＝eq\f(1,2)*2的圖象沿*軸向左平移3個單位得到函數y＝eq\f(1,2)(*＋3)2的圖象．點撥精講：二次函數的增減性以對稱軸為分界，畫圖象取點時以頂點為分界對稱取點．探究2直線y＝*＋1與*軸交于點A，拋物線y＝－2*2平移后的頂點與點A重合．(1)求平移后的拋物線l的解析式；(2)假設點B(*1，y1)，C(*2，y2)在拋物線l上，且－eq\f(1,2)<*1<*2，試比較y1，y2的大小．解：(1)∵y＝*＋1，∴令y＝0，則*＝－1，∴A(－1，0)，即拋物線l的頂點坐標為(－1，0)，又拋物線l是由拋物線y＝－2*2平移得到的，∴拋物線l的解析式為y＝－2(*＋1)2.(2)由(1)可知，拋物線l的對稱軸為*＝－1，∵a＝－2<0，∴當*>－1時，y隨*的增大而減小，又－eq\f(1,2)<*1<*2，∴y1>y2.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘)1．不畫圖象，答復以下問題：(1)函數y＝3(*－1)2的圖象可以看成是由函數y＝3*2的圖象作怎樣的平移得到的？(2)說出函數y＝3(*－1)2的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．(3)函數有哪些性質？(4)假設將函數y＝3(*－1)2的圖象向左平移3個單位得到哪個函數圖象？點撥精講：性質從增減性、最值來說．2．與拋物線y＝－2(*＋5)2頂點一樣，形狀也一樣，而開口方向相反的拋物線所對應的函數關系式是y＝2(*＋5)2．3．對于函數y＝－3(*＋1)2，當*>－1時，函數y隨*的增大而減小，當*＝－1時，函數取得最大值，最大值y＝0．4．二次函數y＝a*2＋b*＋c的圖象向左平移2個單位長度得到y＝*2－2*＋1的圖象，則b＝－6，c＝9．點撥精講：比較函數值的大小，往往可根據函數的性質，結合函數圖象，能使解題過程簡潔明了．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)22．二次函數y＝a(*－h)2＋k的圖象和性質(3)1．進一步熟悉作函數圖象的主要步驟，會作函數y＝a(*－h)2＋k的圖象．2．能正確說出y＝a(*－h)2＋k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．3．掌握拋物線y＝a(*－h)2＋k的平移規律．重點：熟悉作函數圖象的主要步驟，會作函數y＝a(*－h)2＋k的圖象．難點：能正確說出y＝a(*－h)2＋k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，掌握拋物線y＝a(*－h)2＋k的平移規律．一、自學指導．(10分鐘)自學：自學課本P35～36"例3、例4〞，掌握y＝a(*－h)2＋k與y＝a*2之間的關系，理解并掌握y＝a(*－h)2＋k的相關性質，完成填空．總結歸納：一般地，拋物線y＝a(*－h)2＋k與y＝a*2的形狀一樣，位置不同，把拋物線y＝a*2向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線y＝a(*－h)2＋k，平移的方向、距離要根據h，k的值來決定：當h>0時，說明將拋物線向右平移h個單位；當k<0時，說明將拋物線向下平移|k|個單位．拋物線y＝a(*－h)2＋k的特點是：當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下；對稱軸是直線*＝h；頂點坐標是(h，k)．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(7分鐘1．教材P37練習題2．函數y＝2(*＋3)2－5的圖象是由函數y＝2*2的圖象先向左平移3個單位，再向下平移5個單位得到的；3．拋物線y＝－2(*－3)2－1的開口方向是向下，其頂點坐標是(3，－1)，對稱軸是直線*＝3，當*>3時，函數值y隨自變量*的值的增大而減?。弧⑿〗M討論：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(13分鐘)探究1填寫下表：解析式開口方向對稱軸頂點坐標y＝－2*2向下y軸(0，0)y＝eq\f(1,2)*2＋1向上y軸(0，1)y＝－5(*＋2)2向下*＝－2(－2，0)y＝3(*＋1)2－4向上*＝－1(－1，－4)點撥精講：解這類型題要將不同形式的解析式統一為y＝a(*－h)2＋k的形式，便于解答．探究2y＝a(*－h)2＋k是由拋物線y＝－eq\f(1,2)*2向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到的拋物線．(1)求出a，h，k的值；(2)在同一坐標系中，畫出y＝a(*－h)2＋k與y＝－eq\f(1,2)*2的圖象；(3)觀察y＝a(*－h)2＋k的圖象，當*取何值時，y隨*的增大而增大；當*取何值時，y隨*的增大而減小，并求出函數的最值；(4)觀察y＝a(*－h)2＋k的圖象，你能說出對于一切*的值，函數y的取值范圍嗎？解：(1)∵拋物線y＝－eq\f(1,2)*2向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到的拋物線是y＝－eq\f(1,2)(*－1)2＋2，∴a＝－eq\f(1,2)，h＝1，k＝2；(2)函數y＝－eq\f(1,2)(*－1)2＋2與y＝－eq\f(1,2)*2的圖象如圖；(3)觀察y＝－eq\f(1,2)(*－1)2＋2的圖象可知，當*<1時，y隨*的增大而增大；*>1時，y隨*的增大而減??；(4)由y＝－eq\f(1,2)(*－1)2＋2的圖象可知，對于一切*的值，y≤2.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路．(5分鐘)1．將拋物線y＝－2*2向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線解析式是y＝－2(*－3)2＋2．點撥精講：拋物線的移動，主要看頂點位置的移動．2．假設直線y＝2*＋m經過第一、三、四象限，則拋物線y＝(*－m)2＋1的頂點必在第二象限．點撥精講：此題為二次函數簡單的綜合題，要注意它們的圖象與性質的區別．3．把y＝2*2－1的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的新拋物線的解析式是y＝2(*－1)2－3．4．A(1，y1)，B(－eq\r(2)，y2)，C(－2，y3)在函數y＝a(*＋1)2＋k(a>0)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是y2<y3<y1．點撥精講：本節所學的知識是：二次函數y＝a(*－h)2＋k的圖象畫法及其性質的總結；平移的規律．所用的思想方法：從特殊到一般．學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)學習至此，請使用本課時對應訓練局部．(10分鐘)22．二次函數y＝a*2＋b*＋c的圖象和性質(1)1．會畫二次函數y＝a*2＋b*＋c的圖象，能將一般式化為頂點式，掌握頂點坐標公式，對稱軸的求法．2．能將一般式化為交點式，掌握拋物線與坐標軸交點坐標的求法．3．會求二次函數的最值，并能利用它解決簡單的實際問題．重點：會畫二次函數y＝a*2＋b*＋c的圖象，能將一般式化為頂點式，掌握頂點坐標公式，對稱軸的求法．難點：能將一般式化為交點式，掌握拋物線與坐標軸交點坐標的求法．一、自學指導．(10分鐘)自學：自學課本P37～39"思考、探究〞，掌握將一般式化成頂點式的方法，完成填空．總結歸納：二次函數y＝a(*－h)2＋k的頂點坐標是(h，k)，對稱軸是*＝h，當a>0時，開口向上，此時二次函數有最小值，當*>h時，y隨*的增大而增大，當*<h時，y隨*的增大而減??；當a<0時，開口向下，此時二次函數有最大值，當*<h時，y隨*的增大而增大，當*>h時，y隨*的增大而減?。挥门浞椒▽＝a*2＋b*＋c化成y＝a(*－h)2＋k的形式，則h＝－eq\f(b,2a)，k＝eq\f(4ac－b2,4a)；則二次函數的圖象的頂點坐標是(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))，對稱軸是*＝－eq\f(b,2a)；當*＝－eq\f(b,2a)時，二次函數y＝a*2＋b*＋c有最大(最小)值，當a<0時，函數y有最大值，當a>0時，函數y有最小值．二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視．(5分鐘)1．求二次函數y＝*2＋2*－1頂點的坐標、對稱軸、最值，畫出其函數圖