圓錐曲線與平面向量考綱透析考試大綱：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質以及直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的概念，向量的坐標運算.圓錐曲線與平面向量的綜合.新題型分類例析1.中心在原點的雙曲線C的右焦點為〔2，0〕，右頂點為〔1〕求雙曲線C的方程；〔2〕假設直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且〔其中O為原點〕.求k的取值范圍.解：〔Ⅰ〕設雙曲線方程為由得故雙曲線C的方程為〔Ⅱ〕將由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即①設，那么而于是②由①、②得故k的取值范圍為2..橢圓C：＋＝1〔a＞b＞0〕的左．右焦點為F1、F2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關于直線l的對稱點，設＝λ.〔Ⅰ〕證明：λ＝1－e2；〔Ⅱ〕確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.〔Ⅰ〕證法一：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是.所以點M的坐標是〔〕.由即證法二：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設M的坐標是所以因為點M在橢圓上，所以即解得〔Ⅱ〕解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即設點F1到l的距離為d，由得所以即當△PF1F2為等腰三角形.解法二：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設點P的坐標是，那么，由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時除以4a2，化簡得從而于是即當時，△PF1F2為等腰三角形.3.設，為直角坐標平面內軸、軸正方向上的單位向量，假設，且.〔Ⅰ〕求點的軌跡C的方程；〔Ⅱ〕假設A、B為軌跡C上的兩點，滿足，其中M〔0，〕，求線段AB的長.[啟思]4.橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線.〔Ⅰ〕求橢圓的離心率；〔Ⅱ〕設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值.解：本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質等根本知識，考查綜合運用數學知識解決問題及推理的能力.總分值12分.〔1〕解：設橢圓方程為那么直線AB的方程為，代入，化簡得.令A〔〕，B〕，那么由與共線，得又，即，所以，故離心率〔II〕證明：〔1〕知，所以橢圓可化為設，由得在橢圓上，即①由〔1〕知[變式新題型3]拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，準線l與x軸相交于點A(–1，0)，過點A的直線與拋物線相交于P、Q兩點.〔1〕求拋物線的方程；〔2〕假設?=0，求直線PQ的方程；〔3〕設=λ〔λ>1〕，點P關于x軸的對稱點為M，證明：=-λ..6.在平面直角坐標系中，向量，且.〔I〕設的取值范圍；〔II〕設以原點O為中心，對稱軸在坐標軸上，以F為右焦點的橢圓經過點M，且取最小值時，求橢圓的方程.7.，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，，.〔Ⅰ〕當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；〔Ⅱ〕過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.8.點C為圓的圓心，點A〔1，0〕，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且〔Ⅰ〕當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；〔Ⅱ〕假設直線與〔Ⅰ〕中所求點Q的軌跡交于不同兩點F，H，O是坐標原點，且，求△FOH的面積橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過、、三點．〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕假設直線：〔〕與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．10．如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點。(Ⅰ)設點P分有向線段所成的比為λ，證明(Ⅱ)設直線AB的方程是x—2y+12=0,過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程。10.平面上一定點和一定直線Ｐ為該平面上一動點，作垂足為，.(1)問點Ｐ在什么曲線上？并求出該曲線方程；點Ｏ是坐標原點，兩點在點Ｐ的軌跡上，假設求的取值范圍．11.如圖，E、F為平面上的兩個定點，，且，·，〔G為動點，P是HP和GF的交點〕〔1〕建立適當的平面直角坐標系求出點的軌跡方程；〔2〕假設點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與GFPHE〔或的延長線〕相交于一點，那么＜〔為的中點〕．GFPHE12．動圓過定點，且與直線相切.(1)求動圓的圓心軌跡的方程；(2)是否存在直線，使過點〔0，1〕，并與軌跡交于兩點，且滿足？假設存在，求出直線的方程；假設不存在，說明理由.13．假設動點P滿足〔1〕求動點P的軌跡方C的方程；〔2〕設Q是曲線C上任意一點，求Q到直線的距離的最小值.19．如圖，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=CBCBDA〔Ⅰ〕建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；〔Ⅱ〕假設點E滿足,是否存在斜率兩點，且，假設存在，求K的取值范圍；假設不存在，說明理由。解〔1〕雙曲線實半軸a1=4，虛半軸b1=2，半焦距c1=，∴橢圓的長半軸a2=c1=6，橢圓的半焦距c2=a1=4，橢圓的短半軸=，∴所求的橢圓方程為〔2〕由,，設點P的坐標為，那么由得那么，解之得，由于y>0，所以只能取，于是，所以點P的坐標為9分〔3〕直線，設點M是，那么點M到直線AP的距離是，于是，又∵點M在橢圓的長軸上，即∴當時，橢圓上的點到的距離又∴當時，d取最小值2．解：〔1〕由，得…………………3分∴夾角的取值范圍是〔〕………………6分〔2〕…………………………8分………………10分∴當且僅當或…………12分橢圓長軸或故所求橢圓方程為.或…………14分解：〔Ⅰ〕∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，那么x1x2＋y1y2＝0，……1分又P、Q在拋物線上，∴y12＝2px1，y22＝2px2，∴eq\f(y12,2p)·\f(y22,2p)＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2，∴|y1y2|＝4p2，……3分又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1．……4分〔Ⅱ〕設E(a,0〕，直線PQ方程為x＝my＋a,聯立方程組eq\b\lc\{(\a\al\col(x＝my＋a,y2＝2px)),……5分消去x得y2－2pmy－2pa＝0,……6分∴y1y2＝－2pa,①……7分設F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：y1y3＝－2pb,②……8分由①、②可得eq\f(y3,y2)＝eq\f(b,a),③……9分假設eq\o(TR,\s\up6(→))＝3eq\o(TQ,\s\up6(→))，設T(c,0)，那么有(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0),∴y3＝3y2即eq\f(y3,y2)＝3,④……10分將④代入③，得b＝3a．……11分又由〔Ⅰ〕知，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0,∴y1y2＝－4p2，代入①，得－2pa＝－4p2∴a＝2p,……13分∴b＝6p,故，在x軸上，存在異于E的一點F(6p,0)，使得eq\o(TR,\s\up6(→))＝3eq\o(TQ,\s\up6(→))．………………14分注：假設設直線PQ的方程為y＝kx＋b，不影響解答結果．〔Ⅰ〕解：設那么……………...2分由得，……………..4分又即，……………6分由得……………………..8分〔Ⅱ〕設，因為，故兩切線的斜率分別為、……………10分由方程組得………..12當時，，，所以所以，直線的方程是…………解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：，--------2分∵，∴，-----------------------------------4分又得∴∴，-------------------------------6分∴所求橢圓C的方程為．------------------------------------------------7分(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知點A(－2,0)，點B為〔0，－1〕，設點P的坐標為那么，,由－4得－，∴點P的軌跡方程為------------------------------------9分設點B關于P的軌跡的對稱點為，那么由軸對稱的性質可得：，解得：，------------------------------11分∵點在橢圓上，∴，整理得解得或∴點P的軌跡方程為或，-------------------------------------------13分經檢驗和都符合題設，∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．---解(Ⅰ)依題意,可設直線AB的方程為,代入拋物線方程得①設A、B兩點的坐標分別是〔x1,y1〕、(x2,y2),那么x1、x2是方程①的兩根。所以由點P〔0，m〕分有向線段所成的比為，得，即又點Q是點P關于原點的以稱點，故點Q的坐標是〔0，--m〕,從而=====0，所以(Ⅱ)由得點A、B的坐標分別是〔6，9〕、〔--4，4〕。由得，所以拋物線在點A處切線的斜率為。設圓C的方程是，那么解之得所以圓C的方程是，解:(1)由,得:,………〔2分〕設,那么,化簡得:,………〔4分〕點P在橢圓上,其方程為.………〔6分〕(2)設、，由得：，所以，、B、C三點共線.且,得:,即:…〔8分〕因為,所以①………〔9分〕又因為,所以②………〔10分〕由①-②得:,化簡得:,………〔12分〕因為,所以.解得:所以的取值范圍為.解：〔1〕如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系。----------------------------------------1分由題設，∴，而-------------3分∴點是以、為焦點、長軸長為10的橢圓，故點的軌跡方程是：-----------------4分〔2〕如圖2，設，，，PBGEAHFOPBGEAHFOC圖2即又、在軌跡上，∴，即，---------------8分代入整理得：∵，∴．---------------------10分∵，，∴．