第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式第四章內容索引0102基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升03學以致用·隨堂檢測全達標課標要求1.理解等差數(shù)列的概念,理解等差中項的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式,能運用公式解決相關問題.3.掌握等差數(shù)列的判斷與證明方法.基礎落實·必備知識全過關知識點1

等差數(shù)列

順序不能顛倒一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母

d表示.名師點睛

等差數(shù)列概念的理解(1)定義中強調“從第2項起”,因為第1項沒有前一項.(2)每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(因為同一個常數(shù)體現(xiàn)了等差數(shù)列的基本特征).(3)公差d是每一項(從第2項起)與它的前一項的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.(4)公差可以是正數(shù)、負數(shù)、零.(5)等差數(shù)列的單調性與公差d的關系:當d>0時,是遞增數(shù)列;當d<0時,是遞減數(shù)列;當d=0時,是常數(shù)列.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)常數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)等差數(shù)列的公差不能為負數(shù).(

)(3)若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(4)若數(shù)列{an}滿足an+1-an=1(n>1,n∈N*),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(

)√×××2.判斷下列各組數(shù)列是不是等差數(shù)列.如果是,寫出首項a1和公差d.①1,3,5,7,9,…;②9,6,3,0,-3,…;③1,3,4,5,6,…;④7,7,7,7,7,…;⑤1,12,13,14,15,….解

①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.知識點2

等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項.這三個數(shù)滿足關系式

2A=a+b.

任意兩個數(shù)均有等差中項且唯一過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)不是所有的兩個實數(shù)都有等差中項.(

)(2)兩個實數(shù)的等差中項不小于這兩個實數(shù)的任意一個.(

)(3)若三個數(shù)m,n,p滿足2n=m+p,則數(shù)列m,n,p一定是等差數(shù)列.(

)2.在數(shù)列{an}中,當n≥2時,an是an-1和an+1的等差中項,那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?為什么?××√提示

是.因為an是an-1和an+1的等差中項,所以an-an-1=an+1-an,由等差數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.知識點3

等差數(shù)列的通項公式首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為

an=a1+(n-1)d.名師點睛(1)等差數(shù)列的通項公式是關于三個基本量a1,d和n的表達式,所以由首項a1和公差d可以求出數(shù)列中的任意一項.(2)等差數(shù)列的通項公式可以推廣為an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差數(shù)列中的任意兩項,就可以求出其他的任意一項.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列{1-3n}的公差d=1.(

)(2)所有的等差數(shù)列都有通項公式.(

)(3)若數(shù)列{an}的通項公式為

則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(

)2.(1)等差數(shù)列{an}:5,0,-5,-10,…的通項公式是

.

(2)若等差數(shù)列{an}的通項公式是an=4n-1,則其公差d=

.

×√×答案

(1)an=10-5n

(2)4

解析(1)易知首項a1=5,公差d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一等差數(shù)列的通項公式及其應用【例1】(1)已知數(shù)列{an}是首項為2,公差為4的等差數(shù)列,若an=2022,則n=(

)A.504 B.505C.506 D.507(2)在等差數(shù)列40,37,34,…中,第一個負數(shù)項是(

)A.第13項

B.第14項C.第15項

D.第16項(3)在等差數(shù)列{an}中,若a3=12,a6=27,則其通項公式為

.

分析(1)(2)均可先求通項公式,再利用通項公式解決相應問題;(3)可根據(jù)已知條件建立關于a1和d的方程組,求得a1和d即可得到通項公式.答案

(1)C

(2)C

(3)an=5n-3解析

(1)根據(jù)題意,數(shù)列{an}是首項a1=2,公差d=4的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,則有4n-2=2

022,解得n=506.(2)首項a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.令an=43-3n<0,解得n>.因為n∈N*,所以n≥15,即第一個負數(shù)項是第15項.規(guī)律方法等差數(shù)列通項公式的求法與應用技巧(1)等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定,所以要求等差數(shù)列的通項公式,只需求出首項與公差.(2)等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個參數(shù),即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個數(shù),那么就可以由通項公式求出第四個數(shù),這一求未知量的過程,我們通常稱之為“知三求一”.(3)通項公式可變形為an=dn+(a1-d),可把an看作自變量為n的一次函數(shù).變式訓練

1在等差數(shù)列{an}中,求解下列各題:探究點二等差中項及其應用【例2】(1)若等差數(shù)列的前三項分別為a,2a-1,3-a,求其第2020項.(2)在-1和7之間插入三個數(shù)a,b,c,使這五個數(shù)成等差數(shù)列,求這三個數(shù).分析(1)先根據(jù)條件由等差中項概念列方程求a,然后求出通項公式,再代入n=2

020求解;(2)先根據(jù)等差中項求出b,再依次利用等差中項求出a,c.(2)(方法1)這五個數(shù)構成的等差數(shù)列是{an},依題意知a1=-1,a5=7,設公差為d,則-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4項即a,b,c的值分別為a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.(方法2)依題意,得-1,a,b,c,7成等差數(shù)列,所以b是-1和7的等差中項,即規(guī)律方法等差中項的應用策略(1)求兩個數(shù)x,y的等差中項,根據(jù)等差中項的定義得(2)證明三項成等差數(shù)列,只需證明中間一項為兩邊兩項的等差中項即可,即若a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b;反之,若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.變式訓練

2(1)(2021海南天一大聯(lián)考高三模擬)等差數(shù)列1,2a,4a2,…的第五項等于(

)答案

(1)B

(2)等邊三角形

探究點三等差數(shù)列的判斷與證明角度1

等差數(shù)列的判斷【例3】判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列.(1)在數(shù)列{an}中,an=3n+2;(2)在數(shù)列{an}中,an=n2+n.分析根據(jù)等差數(shù)列的定義,判斷an+1-an是不是常數(shù).解

(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故該數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故該數(shù)列不是等差數(shù)列.規(guī)律方法用定義法判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本步驟:(1)作差an+1-an;(2)對差式進行變形;(3)當an+1-an是一個與n無關的常數(shù)時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列;當an+1-an不是常數(shù),而是與n有關的代數(shù)式時,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.變式訓練

3已知數(shù)列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判斷數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列,并說明理由;(2)求{an}的通項公式.解

(1)當n≥3時,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不滿足an-an-1=2,∴{an}不是等差數(shù)列.(2)由(1)得,當n≥2時,an是等差數(shù)列,公差為2,∴an=1+2(n-2)=2n-3(n≥2),又a1=1不適合上式,∴{an}的通項公式為角度2

等差數(shù)列的證明(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.分析先用an表示bn+1,bn,再驗證bn+1-bn為常數(shù),最后可求出數(shù)列{an}的通項公式.規(guī)律方法證明等差數(shù)列的方法(1)定義法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.(3)通項公式法:數(shù)列{an}的通項公式an=pn+q(p,q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數(shù)列的概念,等差中項的概念.(2)等差數(shù)列通項公式的推導.(3)等差數(shù)列通項公式的應用.(4)利用定義判斷或證明等差數(shù)列.2.方法歸納:定義法、列方程組法、累加法、公式法.3.常見誤區(qū):(1)等差數(shù)列的下標與n的取值范圍易出錯;(2)誤認為等差數(shù)列通項公式是關于n的一次函數(shù).

學以致用·隨堂檢測全達標1.(多選題)下列數(shù)列中,是等差數(shù)列的是(

)

A.1,4,7,10B.lg2,lg4,lg8,lg16C.25,24,23,22D.10,8,6,4,2答案

ABD

解析

選項A,B,D滿足等差數(shù)列的定義,是等差數(shù)列;選項C中,因為24-25≠23-24,不滿足等差數(shù)列的定義,所以不是等差數(shù)列.2.(2021廣西桂林高二期末)在等差數(shù)列{an}中,若a1=2,a2=4,則a4=(

)A.6 B.8 C.16 D.32答案

B解析

因為等差數(shù)列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,則a4=a1+3d=2+3×2=8.3.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+2,則a