2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為的兩個零點，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．2．已知函數若對區間內的任意實數，都有，則實數的取值范圍是(）A． B． C． D．3．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．4．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發現落在正方形花紋上的米共有51粒，據此估計圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1475．已知偶函數在區間內單調遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．6．某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉識別，數據分析、機器學習、服務器開發五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種7．已知復數滿足：，則的共軛復數為（）A． B． C． D．8．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A．2 B．3 C． D．9．如果直線與圓相交，則點與圓C的位置關系是（）A．點M在圓C上 B．點M在圓C外C．點M在圓C內 D．上述三種情況都有可能10．設集合，，則()A． B．C． D．11．設、，數列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實數，使得恒成立B．對于任意，都存在實數，使得恒成立C．對于任意，都存在實數，使得恒成立D．對于任意，都存在實數，使得恒成立12．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術》第七章“盈不足”中第一題：“今有共買物，人出八，盈三錢；人出七，不足四，問人數物價各幾何？”借用我們現在的說法可以表述為：有幾個人合買一件物品，每人出8元，則付完錢后還多3元；若每人出7元，則還差4元才夠付款.問他們的人數和物品價格？答：一共有_____人；所合買的物品價格為_______元．14．在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在點P，且點P關于直線x－y＝0的對稱點Q在圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，則r的取值范圍是________．15．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(1，f(1))處的切線方程為____.16．已知是偶函數，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四棱錐，底面為邊長為2的菱形，平面，，是的中點，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若為上的動點，求與平面所成最大角的正切值．18．（12分）某企業生產一種產品，從流水線上隨機抽取件產品，統計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優等品，在的為特優品，銷售時劣質品每件虧損元，優等品每件盈利元，特優品每件盈利元，以這件產品的質量指標值位于各區間的頻率代替產品的質量指標值位于該區間的概率．（1）求每件產品的平均銷售利潤；（2）該企業主管部門為了解企業年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業近年的年營銷費用和年銷售量，數據做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統計量的值．表中，，，．根據散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程．①求關于的回歸方程；②用所求的回歸方程估計該企業每年應投入多少營銷費，才能使得該企業的年收益的預報值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，取）附：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，.（1）證明：平面；（2）若，，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知為橢圓的左、右焦點，離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線分別交橢圓于和，且，問是否存在常數，使得成等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21．（12分）設函數，（）.（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數a、m的值；（2）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍；（3）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論.22．（10分）對于很多人來說，提前消費的認識首先是源于信用卡，在那個工資不高的年代，信用卡絕對是神器，稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買，甚至于分期買，然后慢慢還！現在銀行貸款也是很風靡的，從房貸到車貸到一般的現金貸．信用卡“忽如一夜春風來”，遍布了各大小城市的大街小巷．為了解信用卡在市的使用情況，某調查機構借助網絡進行了問卷調查，并從參與調查的網友中隨機抽取了100人進行抽樣分析，得到如下列聯表（單位：人）經常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100（1）根據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關？（2）①現從所抽取的40歲及以下的網民中，按“經常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機選出4人贈送積分，求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率；②將頻率視為概率，從市所有參與調查的40歲以上的網民中隨機抽取3人贈送禮品，記其中經常使用信用卡的人數為，求隨機變量的分布列、數學期望和方差．參考公式：，其中．參考數據：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先化簡已知得,再根據題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個零點，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題．2、C【解析】分析：先求導,再對a分類討論求函數的單調區間，再畫圖分析轉化對區間內的任意實數，都有，得到關于a的不等式組，再解不等式組得到實數a的取值范圍.詳解：由題得.當a＜1時，，所以函數f（x）在單調遞減，因為對區間內的任意實數，都有，所以，所以故a≥1，與a＜1矛盾，故a＜1矛盾.當1≤a<e時，函數f(x)在[0,lna]單調遞增，在(lna,1]單調遞減.所以因為對區間內的任意實數，都有，所以，所以即令，所以所以函數g(a)在（1，e）上單調遞減，所以，所以當1≤a<e時，滿足題意.當a時，函數f(x)在(0,1)單調遞增,因為對區間內的任意實數，都有，所以,故1+1，所以故綜上所述，a∈.故選C.點睛：本題的難點在于“對區間內的任意實數，都有”的轉化.由于是函數的問題，所以我們要聯想到利用函數的性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等）來分析解答問題.本題就是把這個條件和函數的單調性和最值聯系起來，完成了數學問題的等價轉化，找到了問題的突破口.3、B【解析】

首先根據題中條件和三角形中幾何關系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因為，所以，又因為，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了三角形外心的性質，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.4、B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題5、D【解析】

首先由函數為偶函數，可得函數在內單調遞增，再由，即可判定大小【詳解】因為偶函數在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性,不同類型的數比較大小,應找一個中間數,通過它實現大小關系的傳遞，屬于中檔題.6、B【解析】

將人臉識別方向的人數分成：有人、有人兩種情況進行分類討論，結合捆綁計算出不同的分配方法數.【詳解】當人臉識別方向有2人時，有種，當人臉識別方向有1人時，有種，∴共有360種.故選：B【點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數學思想方法，屬于基礎題.7、B【解析】

轉化，為，利用復數的除法化簡，即得解【詳解】復數滿足：所以故選：B【點睛】本題考查了復數的除法和復數的基本概念，考查了學生概念理解，數學運算的能力，屬于基礎題.8、B【解析】

運行程序，依次進行循環,結合判斷框，可得輸出值.【詳解】起始階段有，，第一次循環后，，第二次循環后，，第三次循環后，，第四次循環后，，所有后面的循環具有周期性，周期為3，當時，再次循環輸出的,，此時，循環結束，輸出，故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關知識，經過幾次循環找出規律是關鍵，屬于基礎題型.9、B【解析】

根據圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點到圓的圓心的距離大于半徑．即點與圓的位置關系是點在圓外．故選：【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質，考查點到直線距離公式的應用，屬于中檔題．10、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎題.11、D【解析】

取，可排除AB；由蛛網圖可得數列的單調情況，進而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數列恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；由蛛網圖可知，存在兩個不動點，且，，因為當時，數列單調遞增，則；當時，數列單調遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點睛】本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．12、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、753【解析】

根據物品價格不變，可設共有x人，列出方程求解即可【詳解】設共有人，由題意知，解得，可知商品價格為53元.即共有7人，商品價格為53元.【點睛】本題主要考查了數學文化及一元一次方程的應用，屬于中檔題.14、【解析】

設圓C1上存在點P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個圓的方程，列出方程組，轉化成兩個新圓有公共點求參數范圍.【詳解】設圓C1上存在點P（x0，y0）滿足題意，點P關于直線x－y＝0的對稱點Q（y0，x0），則，故只需圓x2＋（y－1）2＝r2與圓（x－1）2＋（y－2）2＝1有交點即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案為：【點睛】此題考查圓與圓的位置關系，其中涉及點關于直線對稱點問題，兩個圓有公共點的判定方式.15、【解析】

求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點坐標為（1，0），

則函數在點(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，根據導數和切線斜率之間的關系是解決本題的關鍵.16、2【解析】

由偶函數性質可得，解得，再結合基本不等式即可求解【詳解】令得，所以，當且僅當時取等號.故答案為：2【點睛】考查函數的奇偶性、基本不等式，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由底面為邊長為2的菱形，平面，，易證平面，可得；（Ⅱ）連結，由（Ⅰ）易知為與平面所成的角，在中，可求得.試題解析：（Ⅰ）∵四邊形為菱形，且，∴為正三角形，又為中點，∴；又，∴，∵平面，又平面，∴，∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)連結，由（Ⅰ）知平面，∴為與平面所成的角，在中，，最大當且僅當最短，即時最大，依題意，此時，在中，，∴，，∴與平面所成最大角的正切值為．考點：1.線線垂直證明；2.求線面角.18、（1）元．（2）①②萬元【解析】

（1）每件產品的銷售利潤為，由已知可得的取值，由頻率分布直方圖可得劣質品、優等品、特優品的概率，從而可得的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；（2）①對取自然對數，得，令，，，則，這就是線性回歸方程，由所給公式數據計算出系數，得線性回歸方程，從而可求得；②求出收益，可設換元后用導數求出最大值．【詳解】解：（1）設每件產品的銷售利潤為，則的可能取值為，，．由頻率分布直方圖可得產品為劣質品、優等品、特優品的概率分別為、、．所以；；．所以的分布列為所以（元）．即每件產品的平均銷售利潤為元．（2）①由，得，令，，，則，由表中數據可得，則，所以，即，因為取，所以，故所求的回歸方程為．②設年收益為萬元，則令，則，，當時，，當時，，所以當，即時，有最大值．即該企業每年應該投入萬元營銷費，能使得該企業的年收益的預報值達到最大，最大收益為萬元．【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查隨機變量概率分布列與期望，考查求線性回歸直線方程，及回歸方程的應用．在求指數型回歸方程時，可通過取對數的方法轉化為求線性回歸直線方程，然后再求出指數型回歸方程．19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）利用線段長度得到與間的垂直關系，再根據線面垂直的判定定理完成證明；（2）以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值，計算出結果.【詳解】（1）∵，，∴，∴，∵，平面，∴平面（2）由（1）知，，又為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，∵，∴，設是平面的一個法向量則，即，取得∴∴直線與平面所成的正弦值為【點睛】本題考查線面垂直的證明以及用向量法求解線面角的正弦，難度一般.用向量方法求解線面角的正弦值時，注意直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值.20、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）由條件建立關于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；（2）①當直線的斜率不存在時，可求得，求得，②當直線的斜率存在且不為0時，設聯立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據等差中項可求得，得出結論.【詳解】（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；（2），①當直線的斜率不存在時，，此時,②當直線的斜率存在且不為0時，設,聯立消元得，設，，直線的斜率為，同理可得，所以，綜合①②，存在常數，使得成等差數列.【點睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系中的弦長公式的相關問題，當兩直線的斜率具有關系時，可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長，屬于中檔題.21、（1），；（2）；（3）不能，證明見解析【解析】

（1）求出，結合導數的幾何意義即可求解；（2）構造，則原題等價于對任意恒成立，即時，，利用導數求最值即可，值得注意的是，可以通過代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調性；（3）構造并進行求導，研究單調性，結合函數零點存在性定理證明即可.【詳解】（1），，曲線在點處的切線方程為，，解得.（2）記，整理得，由題知，對