PAGE中考總復習：特殊三角形—知識講解（提高）【考綱要求】【高清課堂：等腰三角形與直角三角形考綱要求】1．了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定．2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定解決簡單問題．3.會運用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有關問題．【知識網絡】【考點梳理】考點一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質：

(1)具有三角形的一切性質；

(2)兩底角相等(等邊對等角)；

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)；

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°．

要點詮釋：等邊三角形中高線，中線，角平分線三線合一，共有三條.3．判定：

(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；

(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．

要點詮釋：

(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形．考點二、直角三角形1.直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性質：

(1)直角三角形中兩銳角互余；

(2)直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；

(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°；

(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；

(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點詮釋：（1）直角三角形中，SRt△ABC=ch=ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高；（2）圓內接三角形，當一條邊為直徑時，該三角形是直角三角形．3．判定：

(1)兩內角互余的三角形是直角三角形；

(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形；

(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊．【典型例題】類型一、等腰三角形1．（2014秋?自貢期末）如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．（1）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（2）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？【思路點撥】（1）首先根據已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質可以求出∠ADO的度數，由此即可判定△AOD的形狀；（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質即可求解．【答案與解析】解：（1）∵△OCD是等邊三角形，∴OC=CD，而△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD，在△BOC與△ADC中，∵，∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC，而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°﹣60°=90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵設∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，則a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠CAO=50°，①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．所以當α為110°、125°、140°時，三角形AOD是等腰三角形．【總結升華】此題主要考查了等邊三角形的性質與判定，以及等腰三角形的性質和旋轉的性質等知識，根據旋轉前后圖形不變是解決問題的關鍵．舉一反三：【變式】把腰長為1的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個小三角形的周長是________．

【答案】.2．已知:如圖,菱形ABCD中,E、F分別是CB、CD上的點，BE=DF．

(1)求證:AE=AF．

(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．

【思路點撥】菱形的定義和性質.【答案與解析】(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D，

又∵BE=DF，∴≌．

∴AE=AF．

(2)連接AC,∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD，

∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等邊三角形．

∴,．

∴．

又∵AE=AF∴是等邊三角形．【總結升華】此題涉及到三角形全等的判定與性質，等邊三角形的判定與性質.舉一反三：【高清課堂：等腰三角形與直角三角形例4】【變式】如圖，△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，使AE=BD，連接CE、DE.求證：CE=DE.【答案】延長BD到F，使DF＝BC，連接EF，∵等邊△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等邊△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．類型二、直角三角形3．（2015秋?東海縣校級期中）如圖，△ABC中，CF⊥AB，垂足為F，M為BC的中點，E為AC上一點，且ME=MF．（1）求證：BE⊥AC；（2）若∠A=50°，求∠FME的度數．【思路點撥】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MF=BM=CM=BC，再求出ME=BM=CM=BC，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明；（2）根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠BMF+∠CME，然后根據平角等于180°列式計算即可得解．【答案與解析】（1）證明：∵CF⊥AB，垂足為F，M為BC的中點，∴MF=BM=CM=BC，∵ME=MF，∴ME=BM=CM=BC，∴BE⊥AC；（2）解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵ME=MF=BM=CM，∴∠BMF+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）=360°﹣2×130°=100°，在△MEF中，∠FME=180°﹣100°=80°．【總結升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵，難點在于（2）中整體思想的利用．4．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分別交CE，AE于點G、H.試猜測線段AE和BD的位置和數量關系，并說明理由．

【思路點撥】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,為證明全等提供了等線段的條件.【答案與解析】猜測AE＝BD，AE⊥BD.

理由如下：

∵∠ACD＝∠BCE＝90°，

∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴AC＝CD，CE＝CB．

∴△ACE≌△DCB（SAS）．

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．

∵∠AFC＝∠DFH，

∴∠DHF＝∠ACD＝90°，

∴AE⊥BD．【總結升華】兩條線段的關系包括數量關系和位置關系兩種.舉一反三：【變式】.以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn=________.【答案】.類型三、綜合運用5.（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．又∵，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=______.點P到AB邊的距離PE=________.【思路點撥】運用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關鍵．【答案與解析】（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH，∵=+，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P為BC延長線上的點時，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10．【總結升華】本題考查了等腰三角形的性質與三角形的面積，難度適中.6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，點D為AC的中點．

（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連結CF，過點F作，交直線AB于點H．判斷FH與FC的數量關系并加以證明．

（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．

【思路點撥】根據條件判斷FH=FC,要證FH=FC一般就要證三角形全等.【答案與解析】（1）FH與FC的數量關系是：．

延長交于點G，

由題意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．

∴DG∥CB．

∵點D為AC的中點，

∴點G為AB的中點，且．

∴DG為的中位線．

∴．

∵AC=BC，

∴DC=DG．

∴DC-DE=DG-DF．

即EC=FG．

∵∠EDF=90°，，

∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°．

∴∠1=∠2．

∵與都是等腰直角三角形，

∴∠DEF=∠DGA=45°．

∴∠CEF=∠FGH=135°．

∴△CEF≌△FGH．

∴FH=FC．

（2）FH與FC仍然相等．【總結升華】對于特殊三角形的判定及性質要記住并能靈活運用，注重積累解題思路和運用數學思想和方法解決問題的能力和培養.舉一反三：【高清課堂：等腰三角形與直角三角形例7】【變式】如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B,C,D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結論：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正確結論的個數是（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】D.中考總復習：全等三角形—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1．已知等邊△ABC的邊長為a，則它的面積是（）

A．a2B．a2C．a2D．a22．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四個結論中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正確的是（）A．（1）和（2）B．（2）和（3）C．（3）和（4）D．（1）和（4）3.如圖，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底邊BC上截取BD=AB，過D作DE⊥BC交AC于E，連接AD，則圖中等腰三角形的個數是（）A．1B．2C．3D．44.如圖，三角形紙片ABC中，∠B=2∠C，把三角形紙片沿直線AD折疊，點B落在AC邊上的E處，那么下列等式成立的是（）A．AC=AD+BDB．AC=AB+BDC．AC=AD+CDD．AC=AB+CD5．（2012?鎮江）邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（）A.B．C．D.6.（2014?本溪校級二模）如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（）A． B． C． D．不能確定二、填空題7．如圖，C為線段AE上一動點(不與點A，E重合)，在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ.以下五個結論：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的有______________(把你認為正確的序號都填上).8．（2015?鄂爾多斯）如圖，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，點M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點H．若MH=8cm，則BG=cm．9.若直角三角形兩直角邊的和為3，斜邊上的高為，則斜邊的長為.10.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，△BPC是等邊三角形，則△CDP的面積是_________；△BPD的面積是_________.

11．如圖，P是正三角形ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10.若將△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB，則點P與點P′之間的距離為_________，∠APB=_________.

12．.以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn=________.三、解答題13.已知：在△ABC中，∠ABC=90°，點E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點M為EC中點，連接BM，DM．

（1）如圖1，若點E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數量關系，并直接寫出你得到的結論；

（2）如圖2，若點E在BA延長線上，你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明；

（3）若點E在AB延長線上，請你根據條件畫出相應的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數量關系．14.(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點O,∠AOF＝90°.

求證：BE＝CF.

圖1

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的長.

圖2

(3)已知點E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖3,矩形ABCD由2個全等的正方形組成,求GH的長；

②如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數式表示).

圖3圖4

15．①如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，

AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面請你完成余下的證明過程）

②若將①中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由．

③若將①中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請你做出猜想：

當∠AMN=_____________°時，結論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

16.（2015秋?江陰市期中）如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．（1）出發2秒后，求△ABP的周長．（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此題采取排除法做．（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此圖中等腰三角形共4個．4.【答案】B.【解析】根據題意證得AB=AE，BD=DE，DE=EC．據此可以對以下選項進行一一判定．選B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=．故選：B．二、填空題7．【答案】①②③⑤.【解析】提示：證△ACD≌△BCE,△ACP≌△BCQ.8．【答案】4.【解析】如圖，作MD⊥BC于D，延長DE交BG的延長線于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM為等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．9．【答案】.【解析】設直角邊為a,b,斜邊為c，則+=3，，，代入即可.10．【答案】1，.【解析】∵△BPC是等邊三角形，∴∠PCD=30°做PE⊥CD,得PE=1，即△CDP的面積是=×2×1=1；根據即可推得.11．【答案】6，150°.12．【答案】.三、解答題13.【答案與解析】（1）結論：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．

理由：∵BM、DM分別是Rt△DEC、Rt△EBC的斜邊上的中線，

∴BM=DM=CE；

又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；

同理可得∠DME=2∠DCM；

∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．

（2）在（1）中得到的結論仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD

證法一：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，

∴BM=EC=MC，又點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，

∴DM=EC=MC，

∴BM=DM；

∵BM=MC，DM=MC，

∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，

∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，

即∠BMD=2∠BCD．

證法二：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，

∴BM=EC=ME；

又點M是Rt△DEC的斜邊EC的中點，

∴DM=EC=MC，

∴BM=DM；

∵BM=ME，DM=MC，

∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，

∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，

∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，

即∠BMD=2∠BCD．

（3）所畫圖形如圖所示：

圖1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；

圖2中∠BCD不存在，有BM=DM；

圖3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．

解法同（2）．14.【答案與解析】(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)解：如圖2,過點A作AM//GH交BC于M，

過點B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點O/，

則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n．15.【答案與解析】（1）