必修二高中數學立體幾何專題——空間幾何角和距離地計算..必修二高中數學立體幾何專題——空間幾何角和距離地計算..必修二高中數學立體幾何專題——空間幾何角和距離地計算..標準合用立體幾何專題：空間角和距離的計算一線線角1．直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=900，點D1，F1分別是A1B1和A1C1的中點，若BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成角的余弦值。B1C1D1F11BCA2．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=900，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥面ABCD，PD與底面成300角，（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；（2）若AE⊥PD，求異面直線AE與CD所成角的大小；PEBCA

D二．線面角1．正方體ABCD-A1BCD1中，E，F分別為BB、CD的中點，且正方體的棱長為2，（1）111求直線D1F和AB和所成的角；（2）求D1F與平面AED所成的角。D11A1B1EFDCAB文案大全標準合用2．在三棱柱A1B1C1-ABC中，四邊形AA1B1B是菱形，四邊B1C1形BCCB是矩形，CB⊥AB，AB=4，CB=3，∠ABB=600，1111111A1求AC1與平面BCC1B1所成角的大小。BCA三．二面角1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中點，（1）證明AB1∥平面DBC1；（2）設AB1⊥BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角的大小。B1C11BCDA2．ABCD是直角梯形，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，，（1）求面SCD與面SBA所成的二面角的大小；（2）求SC與面ABCD所成的角。SADB

C3．已知A1B1C1-ABC是三棱柱，底面是正三角形，∠A1AC=600，∠A1AB=450，求二面角文案大全標準合用B—AA1—C的大小。B1C11BCA四空間距離計算（點到點、異面直線間距離）1.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中點，DP交AC于M，B1P交BC1于N，（1）求證：MN上異面直線AC和BC1的公垂線；（2）求異面直線AC和BC1間的距離；11A1B1NDCMA

PB（點到線，點到面的距離）2．點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥面ABCD，Q為線段AP的中點，AB=3，CB=4，PA=2，求（1）點Q到直線BD的距離；（2）點P到平面BDQ的距離；文案大全標準合用3．邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC=600，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求E到平面PBC的距離。（線到面、面到面的距離）4.已知斜三棱柱A1B1C1-ABC的側面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C，（1）求側棱AA1與底面ABC所成角的大小；（2）求側面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小；（3）求側棱B1B和側面A1ACC1距離；B1C1A1BCA5．正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，且平面ABCD、ABFE互相垂直，點M在文案大全標準合用AC上搬動，點N在BF上搬動，若CM=NB=a（0a2），（1）求MN的長；（2）當a為何值時，MN的長最小；立體幾何中的向量問題空間角與距離基礎自測1.已知兩平面的法向量分別為m=（0，1，0），n=（0，1，1），則兩平面所成的二面角為.答案45°或135°2.二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，則該二面角的大小為.答案60°3.以下列圖，在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于.答案1554.以下列圖，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCO—A′B′C′D′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為.答案2a25.（2008·福建理，6）以下列圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為.答案105例1（2008·海南理，18）以下列圖，已知點P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對角線BD′上,∠PDA=60°.(1)求DP與CC′所成角的大小;(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.解以下列圖，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標系D—xyz.則DA=（1，0，0），CC=(0,0,1).連接BD,B′D′.文案大全O—xyz，標準合用在平面BB′D′D中,延長DP交B′D′于H.設DH=(m,m,1)(m＞0),由已知〈DH,DA〉=60°,由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH,DA〉,可得2m=m21.2解得m=2,所以DH=（2,2,1）.22220211202(1)由于cos〈DH,CC〉=2=12,2所以〈DH,CC〉=45°,即DP與CC′所成的角為45°.(2)平面AA′D′D的一個法向量是DC=(0,1,0).2021101由于cos〈DH,DC〉=22=,122所以〈DH,DC〉=60°,可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.例2在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分別為AB、SB的中點，以下列圖.求點B到平面CMN的距離.解取AC的中點O，連接OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.以下列圖，建立空間直角坐標系則B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22），M（1，3，0），N（0，3，2）.∴CM=（3，3，0），MN=（-1，0，2），MB=（-1，3，0）.設n=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量，CMn3x3y0則n-x2z，取z=1，MN0文案大全標準合用則x=2,y=-6,∴n=（2，-6，1）.nMB2.∴點B到平面CMN的距離d=4n3例3（16分）以下列圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，點F是PB的中點，點E在邊BC上搬動.1）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的地址關系，并說明原由；2）求證：無論點E在BC邊的哪處，都有PE⊥AF；3）當BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°.1）解當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行.∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，∴EF∥PC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，∴EF∥平面PAC.4分2）證明以A為坐標原點建立以下列圖的空間直角坐標系則P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，1，1），D（3，0，0）.2設BE=x，則E（x，1，0），11PE·AF=（x，1，-1）（·0，，）=0，∴PE⊥AF.10分3）解設平面PDE的法向量為m=(p,q,1),由（2）知PD=（3，0，-1），PE=（x，1，-1）mPD0，得m=1x12分由,1,1.mPE033而AP=（0，0，1），依題意PA與平面PDE所成角為45°,2mAP∴sin45°==，2mAP∴1=114分,1x221133得BE=x=3-2或BE=x=3+2＞3（舍去）.故BE=3-2時，PA與平面PDE所成角為45°.16分文案大全標準合用1.以下列圖，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直徑，AB=AC=6，OE∥AD.1）求二面角B-AD-F的大小；2）求直線BD與EF所成的角的余弦值.解（1）∵AD與兩圓所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依題意可知，ABFC是正方形，∴∠BAF=45°.即二面角B—AD—F的大小為45°;（2）以O為原點，CB、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（以下列圖），則O（0，0，0），A（0，-32，0），B（32，0，0），D（0，-32，8），E（0，0，8），F（0，32，0），∴BD=（-32，-32，8），EF=（0，32，-8）.cos〈BD,EF〉=BDEF=01864=-82.BDEF1008210設異面直線BD與EF所成角為，則cos=|cos〈BD,EF〉|=8210.即直線BD與EF所成的角的余弦值為82.102.已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長為22，側棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點.1）求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；2）求點D1到平面B1EF的距離.1）證明建立以下列圖的空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（22，22，0），E（22，2，0），F（2，22，0），D1（0，0，4），B1（22，22，4）.EF=（-2，2，0），DB=（22，22，0），DD1=（0，0，4），∴EF·BD=0，EF·DD1=0.文案大全標準合用∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD=D，∴EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（2）解由（1）知DB=（22，22，0），11EF=（-2，2，0），B1E=（0，-2，-4）.設平面B1EF的法向量為n,且n=(x,y,z)則n⊥EF,n⊥B1E即n·EF=（x，y，z）（·-2，2，0）=-2x+2y=0，n·B1E=（x，y，z）（·0，-2，-4）=-2y-4z=0，令x=1,則y=1,z=-2,∴n=(1,1,-2)44∴D1到平面B1EF的距離D1B1n22221617.d===n2171212243.以下列圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E為PD的中點.1）求直線AC與PB所成角的余弦值；2）在側面PAB內找一點N，使NE⊥平面PAC，并求出N點到AB和AP的距離.解方法一（1）建立以下列圖的空間直角坐標系，則A、B、C、D、P、E的坐標為A（0，0，0），B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、1E(0，，1)，從而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）.設AC與PB的夾角為，則cos=ACPB=3=37，ACPB2714∴AC與PB所成角的余弦值為37.14（2）由于

N點在側面

PAB內，故可設

N點坐標為（

x,0,z）,則

NE=（-x，1，1-z），由

NE⊥平面

PAC2可得文案大全標準合用NEAP0x,1,1z(0,0,2)02,，即1NEAC0x,z(3,1,0)0,12z10,∴x3化簡得3x1620z1即N點的坐標為（3，0，1），從而N點到AB、AP的距離分別為1，3.66方法二（1）設AC∩BD=O，連接OE，AE，BD，則OE∥PB，∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角.在△AOE中，AO=1，OE=1PB=7152，AE=PD=，222∴由余弦定理得17537cos∠EOA=447,21142即AC與PB所成角的余弦值為3714.(2)在平面ABCD內過D作AC的垂線交AB于F,則∠ADF=.連接PF,則在Rt△ADF中,6DF=AD=23,cosADF33AF=AD·tan∠ADF=.3設N為PF的中點，連接NE，則NE∥DF.∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥平面PAC，從而NE⊥平面PAC.∴N點到AB的距離為1AP=1，213N點到AP的距離為AF=.26一、填空題1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中點,則sin〈DB1,CM〉的值等于.文案大全標準合用210答案152.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則點O到平面ABC1D1的距離為.2答案43.（2008·全國Ⅰ理，11）已知三棱柱ABC—A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于.答案234.P是二面角—AB—棱上的一點，分別在、平面上引射線PM、PN，若是∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角—AB—的大小為.答案90°5.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為.35答案106.以下列圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是.答案60°7.以下列圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為.4答案58.正四棱錐S—ABCD中,O為極點在底面上的射影,P為側棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是.答案30°二、解答題9.以下列圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點.求AB與平面BDF所成角的正弦值.解以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立以下列圖的空間直角坐標系，則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.∴BD=（0，2，1），DF=（1，-2，0）.設平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），∵n⊥DF，n⊥BD，nDF0∴nBD0(2,a,b)(1,2,0)0即0(2,a,b)(0,2,1)文案大全標準合用解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.設AB與平面BDF所成的角為，則法向量n與BA的夾角為-，2∴cos（-）=BAn2,0,02,1,22==,2BAn233即sin=22,故AB與平面BDF所成角的正弦值為.3310.在五棱錐P—ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.1）求證：PA⊥平面ABCDE；2）求二面角A—PD—E的余弦值.（1）證明以A點為坐標原點，以AB、AE、AP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系A—xyz，則由已知得A（0，0，0），P（0，0，2a），B（2a，0，0），C（2a，a，0），D（a，2a，0），E（0，2a，0）.AP=（0，0，2a），AB=（2a，0，0），AE=（0，2a，0），AP·AB=0·2a+0·0+2a·0=0，AP⊥AB.同理AP⊥AE.又∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE.2）解設平面PAD的法向量為m=(1,y,z),1則m·AD=0，得a+2ay=0，∴y=-.2又m·AP=0，得2az=0，∴z=0.1∴m=（1，-，0）.再設平面PDE的法向量為n=(x,1,z),而ED=（a，0，0），PD=（a，2a，-2a），則n·ED=0，得ax=0，∴x=0.又n·PD=0，得ax+2a-2az=0，∴z=1.∴n=（0，1，1）.令二面角A—PD—E的平面角為，mn12=10則cos=-=5，mn1024文案大全標準合用故二面角A—PD—E的余弦值是10.1011.以下列圖，在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC.（1）若k=1，試求異面直線PA與BD所成角余弦值的大小；（2）當k取何值時，二面角O—PC—B的大小為？3解∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，從而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，以O為原點，建立以下列圖空間直角坐標系O—xyz.（1）設AB=a，則PA=a，PO=2a，2A（2a，0，0），B（0，2a，0），22C（-2a，0，0），P（0，0，2a），22則D（-2a，0，2a）.44∵PA=(2a，0，-2a)，BD=(-2a，-2a，2a)，22424PABD1a21a23∴cos〈PA,BD〉==44=-,PABD3a232則異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為3.32）設AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，∴OB=(0，2a，0)為平面POC的一個法向量.2不如設平面PBC的一個法向量為n=（x，y，z），∵A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(-2a，0，0)，P(0，0，h)，222∴BC=(-222a,0,-h),2a,-a,