,.(由以下命題4系2)命題3設冪級數和的收斂半徑分別為和,,則ⅰ>,—Const，.ⅱ>+,.ⅲ>()(),,.3.和函數的性質:命題4設在(內.則ⅰ>在內連續;ⅱ>若級數或收斂,則在點(或)是左(或右)連續的;ⅲ>對,在點可微且有。ⅳ>對,在區間上可積,且.當級數收斂時,無論級數在點收斂與否,均有.這是因為:由級數收斂,得函數在點左連續,因此有.推論1和函數在區間內任意次可導,且有,…….由系1可見,是冪級數的和函數的必要條件是任意次可導.推論2若,則有例7驗證函數滿足微分方程.驗證：所給冪級數的收斂域為..,代入,例8求的收斂半徑與和函數．解：首先確定收斂域：；再求和函數：設，，則，其中，收斂域為。所以其中，收斂域為。所以所以從而所以所以所求和函數為例9求級數的和．提示：，而是在處的值。例10求的值．解：先求的和函數．因為，所以當時原級數收斂，當時原級數發散．當時原級數為發散，當時原級數為收斂．從而原級數的收斂域為．設其和函數為，，則，又，所以，所以課堂練習：習題中選擇1-2題五．小結7.6.5教學方法：講授法7.6.6作業安排及課后反思：作業：P54：1(2),(6),(7);2(1),(2);6課后反思：1．缺項的冪級數的收斂半徑的求法2．總結求冪級數的和函數的基本步驟7.6.7課前準備情況及其他相關特殊要求：復習函數項級數一致收斂的性質7.6.8參考資料：吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P76-P907.7教學單元七7.77.7.2教學目標：理解函數冪級數展開的條件，掌握初等函數的冪級數展開．7.7.3教學內容：第十四章冪級數——§2函數的冪級數展開式教學重點：函數的冪級數展開式；教學難點：函數的冪級數展開式；7.7.4教學過程：函數的冪級數展開（4學時）函數的冪級數展開:1、Taylor級數Taylor公式：.余項的形式:Peano型余項：，（只要求在點某鄰域內有階導數，存在）Lagrange型余項：在與之間，或.積分型余項:當函數在點的某鄰域內有階連續導數時,有.Cauchy余項:在上述積分型余項的條件下,有Cauchy余項.特別地，時，Cauchy余項為在與之間.Taylor級數:Taylor公式僅有有限項,是用多項式逼近函數.項數無限增多時,得稱此級數為函數在點的Taylor級數.要函數在點無限次可導,就可寫出其Taylor級數.稱=時的Taylor級數為Maclaurin級數,即級數。自然會有以下問題:對于在點無限次可導的函數,在的定義域內或在點的某鄰域內,函數和其Taylor級數是否相等呢?2．函數與其Taylor級數的關系例1函數在點無限次可微，求得：其Taylor級數為.該冪級數的收斂域為.僅在區間內有=.而在其他點并不相等,因為級數發散.那么,在Taylor級數的收斂點,是否必有和其Taylor級數相等呢?回答也是否定的.例2函數在點無限次可導且有，因此其Taylor級數，在內處處收斂，但除了點外,函數和其Taylor級數并不相等。另一方面，在點的某鄰域內倘有,則在點無限次可導且級數必為函數在點的Taylor級數.綜上，我們有如下結論：⑴對于在點無限次可導的函數，其Taylor級數可能除點外均發散,即便在點的某鄰域內其Taylor級數收斂，和函數也未必就是。由此可見，不同的函數可能會有完全相同的Taylor級數。⑵若冪級數在點的某鄰域內收斂于函數，則該冪級數就是函數在點的Taylor級數。于是，為把函數在點的某鄰域內表示為關于的冪級數，我們只能考慮其Taylor級數.3．函數的Taylor展開式若在點的某鄰域內函數的Taylor級數收斂且和恰為，則稱函數在點可展開成Taylor級數(自然要附帶展開區間，稱此時的Taylor級數為函數在點的Taylor展開式或冪級數展開式，簡稱函數在點可展為冪級數。當=0時,稱Taylor展開式為Maclaurin展開式。通常多考慮的是Maclaurin展開式。4。可展條件Th1（必要條件）函數在點可展在點有任意階導數.Th2（充要條件）設函數在點有任意階導數.則在區間內等于其Taylor級數(即可展)的充要條件是:對,有.其中是Taylor公式中的余項.證：把函數展開為階Taylor公式，有.Th3（充分條件）設函數在點有任意階導數，且導函數所成函數列一致有界,則函數可展.證：利用Lagrange型余項，設，則有.例3展開函數ⅰ>按冪;ⅱ>按冪.解：,,.所以，ⅰ>.可見，的多項式的Maclaurin展開式就是其本身。ⅱ>初等函數的冪級數展開式:為得到初等函數的冪級數展開式，或直接展開，或間接展開。1..(驗證對R，在區間(或)上有界,得一致有界，因此可展)..2.,.,.可展是因為在內一致有界.3.二項式的展開式:為正整數時,為多項式,展開式為其自身;為不是正整數時,可在區間內展開為=利用二項式的展開式,可得到很多函數的展開式。例如取,得，.時,,.間接展開：利用已知展開式,進行變量代換、四則運算以及微積運算,可得到一些函數的展開式，利用微積運算時，要求一致收斂。冪級數在其收斂區間內閉一致收斂，總可保證這些運算暢通無阻，4...事實上，利用上述的展開式,兩端積分，就有,.驗證知展開式在點收斂,因此,在區間上該展開式成立.5..由.兩端積分,有驗證知上述展開式在點收斂,因此該展開式在區間上成立.例4展開函數.解：.例5展開函數.解：例5（2001華東師大）設求解：因為，所以根據泰勒系數公式有：且所以例6求函數在處的冪級數展開式。解：因為，而所以課堂練習：習題中選擇1-2題三．小結7.7.5教學方法：講授法7.7.6作業安排及課后反思：作業：P63:1;2(4),(6);3(2);4(1)課后反思：總結求函數冪級數展開式的方法，特別是間接求法7.7.7課前準備情況及其他相關特殊要求：復習泰勒公式7.7.8參考資料：吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P90-P1017.8教學單元八7.8.1教學日期：7.8.2教學目標：掌握三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念，能將一些怪為同期的函數展開成傅里葉級數．7.8.3教學內容：第十五章傅立葉級數——§1傅立葉級數教學重點：Fourier級數的斂散性判定方法。函數的為周期的函數的Fourier級數展開教學難點：計算傅立葉系數7.8.4教學過程：第十五章傅里葉級數§傅里葉級數一．三角級數·正交函數系1．三角級數和三角函數系概念在科學實驗與工程技術的某些現象中，常會碰到一種周期運動．最簡單的周期運動，可用正弦函數來描寫．由所表達的周期運動也稱為簡諧振動，其中為振幅,為初相角，為角頻率，于是簡諧振動的周期是．較為復雜的周期運動，則常是幾個簡諧振動。的疊加由于簡諧振動的周期為，所以函數的周期為．對無窮多個簡諧振動進行疊加就得到函數項級數若級數收斂，則它所描述的是更為一般的周期運動現象．對于級數，我們只要討論（如果，可用代替）的情形．由于所以記，，，則級數可寫成它是由三角函數列（也稱為三角函數系）所產生的一般形式的三角級數．容易驗證，若三角級數收斂，則它的和一定是一個以為周期的函數．2．三角級數收斂性定理若級數收斂，則級數在整個數軸上絕對收斂且一致收斂．證明3．三角函數系具有特性首先容易看出性質：三角函數系中所有函數具有共同的周期．性質：在三角函數系中，任何兩個不相同的函數的乘積在上的積分都等于零，即而中任何一個函數的平方在上的積分都不等于零，即通常把兩個函數與在上可積，且的函數與稱為在上是正交的．由此，我們說三角函數系在上具有正交性，或說是正交函數系．二．以為周期的函數的傅里葉級數應用三角函數系的正交性，我們討論三角級數的和函數與級數的系數之間的關系．定理若在整個數抽上且等式右邊級數一致收斂，則有如下關系一般說，若是以為周期且在上可積的函數，則可按公式計算出，它們稱為函數（關于三角函數系）的傅里葉系數，以的傅里葉系數為系數的三角級數稱為（關于三角函數系）的傅里葉級數，記作這里記號“～”表示上式右邊是左邊函數的傅里葉級數．由定理知道：若式右邊的三角級數在整個數抽上一致收斂于其和函數，則此三角函數就是的傅里葉級數，即此時式中的記號“～”可換為等號．然而，若從以為周期且在上可積的函數出發，按公式求出其傅里葉系數并得到傅里葉級數，這時還需討論此級數是否收斂．如果收斂，是否收斂于本身．這就是下一段所要敘述的內容．三．收斂性定理下面的定理稱為傅里葉級數收斂定理定理若以為周期的函數在上按段光滑，則在每一點，的傅里葉級數收斂于在點的左、右極限的算術平均值，即．其中為的傅里葉系數．定理說明：若的導函數在上連續，則稱在上光滑．但若定義在上除了至多有有限個第一間斷點的函數的導函數在上除了至多有限個點外都存在且連續，在這有限個點上導函數的左、右極限存在，則稱在上按段光滑．根據上述定義，若函數在上按段光滑，則有如下重要性質：在上可積．在上每一點都存在，且有：在補充定義在上那些至多有限個不存在點上的值后（仍記為），在上可積．從幾何圖形上講，在區間上按段光滑函數，是由有限個光滑弧段所組成，它至多有有限個第一類間斷點與角點．收斂定理指出，的傅里葉級數在點處收斂于這一點上的左、右極限的算術平均值；而當在點連續時，則有，即此時的傅里葉級數收斂于．于是有如下推論．推論若是以為周期的連續函數，且在上按段光滑，則的傅里葉級數在上收斂于．根據收斂定理的假設，是以為周期的函數，所以系數公式中的積分區間可以改為長度為的任何區間，而不影響的值：其中為任何實數．注意：在具體討論函數傅里葉級數展開式時，常只給出函數在（或）上的解析表達式，但讀者應理解為它是定義在整個數軸上以為周期的函數．即在以外的部分按函數在上的對應關系作周期延拓．如為上的解析表達式，那么周期延拓后的函數為因此我們說函數的傅里葉級數就是指函數的傅里葉級數．四．例題例1設求的傅里葉級數展開式．解：（略）例2把下列函數展開成傅里葉級數：解：所以當時當，收斂于所以即當或時，收斂于．五．小結7.8.57.8.6作業：P76:1(1);3課后反思：總結要掌握函數的傅里葉級數展開式的方法：作周期延拓；判斷延拓后函數是否按段光滑？利用公式（10、）計算；按收斂定理寫出函數的傅里葉級數展開式．7.8.7復習已學的定積分的計算方法7.8.8吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P105-P1127.9教學單元九7.8.1教學日期：7.8.2教學目標：掌握三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念，能將一些以為同期的函數展開成傅里葉級數．7.8.3教學內容：第十五章傅立葉級數——§2以為同期的函數的展開式教學重點：函數的為周期的函數的Fourier級數展開，正（余）弦展開。教學難點：利用公式計算7.8.4教學過程：§2以2為同期的函數的展開式一．以2為同期的函數的傅里葉級數1．以2為同期的函數的傅里葉級數設是以2為同期的函數，令或則是以為同期的函數．若在上可積，則在上也可積．的傅里葉級數為（1）其中（2）（3）現在把代入（1），（2）和（3）得（4）與（5）這樣就得到的傅里葉級數和它的傅里葉系數．若在上按段光滑，則同樣可由收斂定理知：．2．求以2為同期的函數的傅里葉級數的展開式求展開式的一般方法：按（4），（5）計算系數；將求出的系數代入級數若在上按段光滑，則例1把函數展開成傅里葉級數．解：由于在（-5，5）上按段光滑，因此可以展開成傅里葉級數．于是當時當時，級數收斂于當和5時，級數收斂于課堂提問：函數在展開成傅里葉級數的系數公式是怎樣的？二．偶函數與奇函數的傅里葉級數設是以2為同期的偶函數，或是定義在上的偶函數，則在上，是偶函數，而是奇函數，因此的傅里葉系數為于是的傅里葉級數為．由于上式只含有余弦函數的項，所以上式右端的級數稱為余弦級數同理，設是以2為同期的奇函數，或是定義在上的奇函數，則得的傅里葉系數為于是的傅里葉級數為由于上式只含有正弦函數的項，所以上式右端的級數稱為正弦級數若，則偶函數所展開成的余弦級數為其中，奇函數所展開成的余弦級數為．其中，例設函數求的傅里葉級數展開式．例3把定義在上的函數（其中）展開成正弦級數．例4把在內展開成：（i）正弦數；(ii)余弦級數．解：（1）展開成正弦級數：所以的正弦級數為當時右邊級數收斂于． （2）展開成余弦級數：所以的余弦級數為當時右邊級數收斂于．把定義在上的函數作偶式延拓或作奇式延拓發到上．然后求延拓后函數的傅里葉級數．但顯然可見，對于定義在上的函數，將它展開成余弦級數或正弦級數時，可以不必作延拓而直接計算出它的傅里葉系數．四．小結7.9.57.9.6作業：p84:2;6課后反思：利用展開成傅葉級數求數項級數的和的方法7.9.7傅里葉系數公式及定積分的計算技巧7.9.8吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P112-P1207.10教學單元十7.8.1教學日期：7.8.2教學目標：理解收斂性定理證明．7.8.3教學內容：第十五章傅立葉級數——§3收斂性定理證明教學重點：收斂性定理證明教學難點：收斂性定理證明7.8.4教學過程：§3*收斂性定理證明為了證明傅里葉級數的收斂定理，先證明下面兩個預備定理．預備定理（貝塞耳不等式）若函數在上可積，則其中為的傅里葉系數，式稱為貝塞耳不等式．推論若為可積函數，則因為的左邊級數收斂，所以當時，通項，亦即有與，這就是式．這個推論也稱為黎曼一勒貝格定理．推論若為可積函數，則預備定理若是以為周期的函數，且在上可積，則它的傅里葉級數部分和可寫成當時，被積函數中的不定式由極限來確定．式也稱為的傅里葉級數部分和的積分表示式．現在證明定理（收斂定理），重述如下：若以為周期的函數在上按段光滑，則在每一點，的傅里葉級數（§1,(12)）收斂于在點的左、右極限的算術平均值，即其中為的傅里葉系數．小結7.10.57.10.6作業：p7.10.7預習課本知識內容7.10.8吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P120-PP1297.11教學單元十一7.11.1教學日期：7.11.2教學目標：理解平面點集中的一基本概念：開集、鄰域、聚點、閉集、有界點集等，理解Cauchy準則，閉域套定理、聚點定理、有限覆蓋定理，掌握二元函數的概念7.11.3教學內容：第十六章多元函數的極限與連續——§1平面點集與多元函數教學重點：二元函數的概念．教學難點：平面點集中的一基本概念7.11.4教學過程：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數一、平面點集平面點集：坐標平面上滿足某種條件P的點的集合，稱為平面點集，記為滿足的條件P}．常見平面點集:（1）全平面：．（2）半平面:,,．等．（3）以點為中心，為半徑的圓內所有點集合：（4）矩形及其內部所有點的集合：鄰域：設點為平面上一點點A的圓鄰域：點A的方鄰域：圓鄰域內有方鄰域，方鄰域內有圓鄰域，通常用“點A的鄰域”泛指這兩種形式的鄰域，記為或．點A空心鄰域：或注：的區別．二、平面點集的基本概念1．內點、外點和界點設A是R2中任意一點，E是R2任意一子集，內點：若存在點A的某個鄰域，使得，則稱點A為E的內點；全體內點的集合稱為E的內部，記作；外點：若存在點A的某個鄰域，使得，則稱點A為E的外點；界點：若存在點A的任何鄰域內既含有屬于E的點，又含有不屬于E的點，則稱點A為E的界點．例1、確定集的內點、外點集和邊界．例2、為Dirichlet函數,確定集的內點、外點和界點集．2．聚點和孤立點聚點:若在點的任何空心鄰域內都含有中的點，則稱是的聚點，聚點本身可能屬于，也可能不屬于．孤立點:若點，但不是的聚點，即存在某一正數，使得，則稱點是的孤立點．3．關系孤立點一定是界點；內點和非孤立點的界點一定是聚點；既不是聚點，又不是孤立點，則必為外點．例：，確定集的聚點集．解：的聚點集．開集和閉集開集：若平面點集所屬的每一點都是的內點（即），則稱為開集．閉集：若平面點集的所有聚點都屬于，則稱為閉集．若點集沒有聚點，這時也稱為閉集．和空集為既開又閉集．5．(以連通性分為)開區域、閉區域、區域開域:若非空開集具有連通性，即中任意兩點之間都可用一條完全含于的有限折線（由有限條直線段連接而成的折線）相連接，則稱為開域（或稱連通開集）．閉域:開域連同其邊界所成的點集稱為閉域．區域:開域、閉域，或者開域連同其一部分界點所成的點集，統稱為區域．以上常見平面點集均為區域．6.有界集與無界集有界點集:對于平面點集，若存在某一正數，使得其中是坐標原點（也可以是其他固定點），則稱是有界點集．否則就是無界點集．7.點集的直徑兩點的距離：．點集的直徑：．8.三角不等式對上任何三點,和，皆有三、點列的極限定義設為平面點列，為一固定點．若對任給的正數，存在正整數，使得當時，有，則稱點列收斂于點，記作或．例1,,．例2設為點集的一個聚點，則存在中有點列,使．四、中的完備性定理Cauchy收斂準則定理（柯西準則）平面點列收斂的充要條件是：任給正數，存在正整數，使得當時，對一切正整數，都有．2.閉集套定理定理（閉域套定理）設是中的閉域列，它滿足：,則存在唯一的點．聚點原理定理（聚點定理）設為有界無限點集，則在中至少有一個聚點．推論有界無限點列必存在收斂子列．有限復蓋定理定理（有限覆蓋定理）設為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了（即，則在中必存在有限個開域它們同樣覆蓋了（即）．五、二元函數1．二元函數的定義、記法、圖象定義設平面點集，若按照某對應法則中每一點都有唯一確定的實數與之對應，則稱為定義在上的二元函數（或稱為到的一個映射），記作且稱為的定義域；所對應的為在點的函數值，記作；全體函數值的集合為的值域，記作．通常還把的坐標稱為的自變量，而把稱為因變量．在映射意義下，上述稱為的象，稱為的原象．當把和它所對應的象一起組成三維數組時，三維歐式空間中的點集．便是二元函數的圖象．通常的圖象是一空間曲面，的定義域便是該曲面在平面上的投影．為方便起見，由式所確定的二元函數也記作，2、定義域例：求下列函數的定義域并作圖：（1）;（2）.六．小結7.10.57.10.6作業：p100:5;8(1),(6),(7),(10);9課后反思：7.10.7集合的作圖7.10.8吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P134-P1477.12教學單元十二7.11.1教學日期：7.11.2教學目標：理解掌握二元函數極限、累次極限定義與性質7.11.3教學內容：第十六章多元函數的極限與連續——§2多元函數極限教學重點：二元函數的極限教學難點：二元函數的極限不存在判定7.11.4教學過程：§2二元函數極限一．二元函數極限1．二元函數極限定義設為定義在上的二元函數，為的一個聚點，是一個確定的實數．若對任給的正數，總存在某正數，使得當時，都有則稱在上當時，以為極限，記作在對于不致產生誤解時，也可簡單地寫作當分別用坐標表示時,式也常寫作例1用“”定義驗證極限.例2用“”定義驗證極限.例3，證明證：（用極坐標變換）2。極限與子集上極限的關系定理的充要條件是：對于，只要是E的聚點，就有推論1設，是的聚點，若極限不存在，則極限也不存在．推論2設，是和的聚點，若存在極限，，但，則極限不存在．推論3極限存在對D內任一點列，但,數列收斂．推論1相當于數列與子列關系中“子列不存在極限，則數列不存在極限”．推論2相當于數列與子列關系中“若兩個子列存在不同的極限，則數列不存在極限”．推論3相當于海涅定理．通常為證明極限不存在,可證明沿某個方向的極限不存在,或證明沿某兩個方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關．但應注意，沿任何方向的極限存在且相等全面極限存在(以下例5)．例4設，證明極限不存在．例5求下列極限:（1）;（2）;（3）;（4）.3．極限的定義定義設為二元函數的定義域，的一個聚點．若對任給正數，總存在點鄰域，使得當時，都有，則稱時，存在非正常極限，記作或仿此可類似地定義：．例6驗證.二、累次極限1．累次極限的定義在上一段所研究的極限中，兩個自變量同時以任何方式趨于．這種極限也稱為重極限．在這一段里，我們要考察依一定的先后順序相繼趨于與時的極限，這種極限稱為累次極限．定義設的聚點，是的聚點，是的聚點，二元函數在集合上有定義．若對每一個，存在極限，由于此極限一般于有關，因此記作．而且進一步存在極限．則稱此極限為二元函數先對后對的累次極限，并記作．或簡記作．類似地可以定義先后對的累次極限．例7,求在點的兩個累次極限．例8,求在點的兩個累次極限．例9,求在點的兩個累次極限．2．二極限與累次極限的關系⑴兩個累次極限存在時,可以不相等．⑵兩個累次極限中的一個存在時,另一個可以不存在．例如函數在點的情況．⑶二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在．例如：例10中的函數,由，可見二重極限存在，但兩個累次極限均不存在．⑷兩個累次極限存在(甚至相等)二重極限存在．（參閱例4和例8）．綜上，二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系，但有以下確定關系：Th2若二重極限和累次極限(或另一次序)都存在，則必相等．證明推論1二重極限和兩個累次極限三者都存在時，三者相等．推論2兩個累次極限存在但不相等時，二重極限不存在．推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件，但兩個累次極限中一個存在，另一個不存在二重極限不存在．三．小結7.127.12作業：P106:1(1),(3),(5)(7);2(1),(2),4課后反思：總結二重極限、兩個累次極限的求法及存在性判定7.12一元函數極限的證明方法和極限的求法7.12吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P147-P1557.13教學單元十三7.17.13.2教學目標：7.13.3教學內容：第十六章多元函數的極限與連續——§教學重點：二元函數的連續的定義與性質教學難點：有界閉域上連續函數性質．7.1§二元函數的連續性一．二元函數的連續性概念定義設為定義在點集上的二元函數，（它或者是的聚點，或者是的孤立點）．對于任給的正數，總存在相應的正數，只要，就有則稱關于集合在點連續．在不致誤解的情況下，也稱在點連續．若在上任何點都關于集合連續，則稱為上的連續函數．由上述定義知道：若是的孤立點，則必定是關于的連續點；若是的聚點，則關于在連續等價于如果是的聚點，而式不成立（其含義與一元函數的對應情形相同），則稱是的不連續點（或稱間斷點）．特別當式左邊極限存在但不等于時，是的可去間斷點．把上節例、給出的函數在原點連續；例給出的函數在原點不連續，又若把例的函數改為其中為固定實數，亦即函數只定義在直線上．這是由于，因此，在原點沿著直線是連續的．設、，則稱（3）為函數在點的全增量．和一元函數一樣，可用增量形式來描述連續性，即當時，在點連續．如果在全增量中取，則相應的函數增量稱為偏增量，記作一般說來，函數的全增量并不等于相應的兩個偏增量之和．若一個偏增量的極限為零，例如，它表示在的兩個自變量中，當固定時，作為的一元函數在連續．同理，若，則表示在連續．容易證明：當在其定義域的內點連續時，在和都連續．但是反過來，二元函數對單個自變量都連續并不能保證該函數的連續性（除非再增加條件）．例如二元函數在原點處顯然不連續．但由于因此在原點處對和對分別都連續．若二元函數在某一點連續，則與一元函數一樣，可以證明它在這一點近旁具有局部有界性、局部保號性以及相應的有理運算的各個法則．定理（復合函數的連續性）設函數和在平面上點的某鄰域內有定義，并在點連續；函數在平面上點的某鄰域內有定義，并在點連續，其中，．則復合函數在點也連續．二、有界閉域上連續函數的性質本段討論有界閉域上多元連續函數的性質．它們可以看作是閉區間上一元連續函數性質的推廣．定理（有界性與最大、最小值定理）若函數在有界閉域上連續，則在上有界，且能取得最大與最小值．定理（一致連續性定理）若函數在有界閉域上連續，則在上一致連續．即對任何，總存在只依賴于的正數，使得對一切點、，只要，就有：．定理（介值性定理）設函數在區域上連續，若為中任意兩點，且，則對任何滿足不等式的實數，必存在點，使得．實際上，定理與中的有界閉域可以改為有界閉集.但是，介值性定理中考察的點集只能假設是一區域，這是為了保證它具有連通性，而一般的開集或閉集不一定具有這一特性，此外，由定理可知，若為區域上連續函數，則必定是一個區間（有限或無限）．例（華東師大2003年）若函數在上對連續，且存在，對，滿足，試證：在上連續．證明：，有然后利用已知條件證．所以，在上連續．課堂練習：習題中選擇1-2題三．小結7.137.13作業：P112:1(3),(4),2,4課后反思：總結一元函數與多元函數連續性的區別與聯系7.13復習一元函數的連續性7.13吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P155-P1647.14教學單元十四7.147.14.2教學目標：7.14.3教學內容：第十七章多元函數微分學——§教學重點：偏導數、全微分定義與求法．教學難點：可微條件．7.14第十七章多元函數微分學§1可微性一．可微性與全微分定義設函數在點的某領域內有定義，對于中的點，若函數在點處的全增量可表示為：=其中是僅與點有關的常數，,是較高階的無窮小量，則稱函數在點可微．并稱式中關于的線形函數為函數在點的全微分，記作由，可見是的線形主部，特別當充分小時,全微分可作為全增量的近似值，即在使用上，有時也把(1)式寫成如下形式，其中，=．考察函數在點處的可微性．二．偏導數1．偏導數的定義、記法定義設函數．若，且在的某一鄰域內有定義，則當極限（5）存在時．稱這個極限為函數在點關于的偏導數，記作或|．注意1這里符號專用于偏導數算符，與一元函數的導數符號相仿，但又有差別．注意2在上述定義中，在點存在關于（或）的偏導數，至少在（或）的偏導數，至少在（或）上必須有定義．若函數在區域上每一個點都存在對（或對）的偏導數，則得到函數在區域上對（或對）的偏導數（也簡稱偏導數），記作或（或）．也可簡單地記作或或．2。偏導數的幾何意義二元函數偏導數的幾何意義是：作為一元函數在的導數，就是曲線C在點處的切線對于軸的斜率，即與軸正向所成傾斜的正切．同樣，是平面與曲面的交線在點處的切線關于軸的斜率．3。求偏導數由偏導數的定義還知道，函數對哪一個自變量求偏導數，是先把其他自變量看作常數，從而變成一元函數的求導問題．因此第五章中有關求導的一些法則，對多元函數求偏導數仍然適用．例2求函數在點關于和關于的偏導數．例3求函數的偏導數．例4求三元函數的偏導數．例5證明函數在點連續,并求和．證：，所以在點連續．，不存在．三．可微條件1．必要條件:定理17．1（可微的必要條件）若二元函數在其定義域內一點處可微，則在該點關于每個自變量的偏導數都存在，且（1）式中的．依此函數在點的全微分（2）可惟一地表示為．與一元函數的情況一樣，由于自變量的增量等于自變量的微分，即，所以全微分又可寫為．若函數在區域上每一個點都可微，則稱函數在區域上可微，且在上全微分為．例5討論函數在原點的偏導存在性與可微性．2．充分條件定理17．2（可微的充分條件）若函數的偏導數在點的某鄰域內存在，且與在點處連續，則函數在點可微．定理17.2若在點處連續，點存在，則函數在點可微．證：，即在點可微．要求至少有一個偏導數連續并不是可微的必要條件.例5設，驗證函數在點可微，但和在點處不連續．（簡證,留為作業）．證：因此，即,在點可微，．但時,有,沿方向不存在,沿方向極限不存在；又時,，因此，不存在，在點處不連續．由關于和對稱，也在點處不連續．四．中值定理定理設函數在點的某鄰域內存在偏導數，若屬于該鄰域，則存在和使得（12）例6設在區域D內.證明在D內．五．連續、偏導數存在及可微之間的關系從可微性概念看到，函數在可微點處必連續，但在函數的連續點處不一定存在偏導數，當然它更不能保證函數在該點可微．例如，函數（圓錐）在原點連續，但在該點不存在偏導數，也不能保證函數在該點連續．例如：在原點不連續，但卻存在偏導數，且．這是因為偏導數只是刻畫了函數沿軸或軸方向的變化特征．所以這個例子只能說明在原點分別對和對必定連續，但由此并不能保證作為二元函數在原點連續．與定理17．2相仿，只有對偏導數附加適當的條件后，才能保證函數的連續性．六．可微性的幾何意義與應用1．可微性的幾何意義切平面的定義：定義3設是曲面上一點，為通過點的一個平面，曲面上的動點到定點和到平面的距離分別為d與h．若當Q在上以任何方式趨近于時恒有，則稱平面為曲面在點P處的切平面，P為切點．定理17．4曲面在點存在不平行于軸的切平面的充要條件是函數在點可微．(證略)2．切平面的求法設函數在點可微，則曲面在點處的切平面方程為（其中），法線方向數為：，法線方程為．例7試求拋物面在點處的切平面方程和法線方程．3．作近似計算和誤差估計:例8求的近似值．例9應用公式計算某三角形面積．現測得,.若測量的誤差為的誤差為.求用此公式計算該三角形面積時的絕對誤差限與相對誤差限．課堂練習：習題中選擇1-2題七．小結7.14.57.14作業:P124:1(5),(7)(9),3,5;7;9;11,12課后反思：1．總結多元函數的導數與微分的求法，2．總結多元函數的可導性與可微性的判定7.14復習一元函數的導數與微分定義與求法7.14吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P168-P1817.15教學單元十五7.15.1教學日期：7.15.2教學目標：熟悉復合函數的偏導數．7.15.3教學內容：第十七章多元函數微分學——§2復合函數微分法教學重點：復合函數求導的鏈式法則．教學難點：抽象的復合函數求導．7.15.4教學過程：§2復合函數微分法以下列三種情況介紹復合線路圖：（1）；（2）,；（3）．一．復合函數的求導法則以二元復合函數：情況為例．定理若函數，，在點可微，在點可微，則復合函數．在點可微，且它關于與的偏導數分別為稱這一公式為鏈式法則．證明：對;,;.情況可寫出相應的鏈式法則．對外元，內元,有，.例1設，而，求．例2設可微，在極坐標變換下，證明．例3設，其中，求．例4用多元復合微分法計算下列一元函數的導數：（1）；（2）．例5，求和.例6設函數可微..求、和.二．復合函數的全微分若以和為自變量的函數可微，則其全微分為．如果作為中間變量又是自變量的可微函數，則由定理17.5知道，復合函數是可微的，其全微分為由于又是的可微函數，因此同時有這就是關于多元函數的一階（全）微分形式不變性．利用微分形式的不變性，更能有條理地計算復雜函數的全微分．例7設，利用微分形式不變性求，并由此導出．課堂練習：習題中選擇1-2題三．小結7.157.15作業：作業:P132:1(1)(3),(5);2;3;8課后反思：總結多元函數的復合函數的求導公式及應用7.15復習一元函數的復合函數的求導公式7.15吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P181-P1947.16教學單元十六7.17.16.2教學目標：掌握方向導數與剃度概念．熟悉求7.16.3教學內容：第十七章多元函數微分學——§教學重點：求方向導數與剃度教學難點：方向導數與剃度的意義7.1§3方向導數與梯度一．方向導數1．方向導數的定義定義1設三元函數在點的某鄰域內有定義，為從點出發的射線，為上且含于內的任一點，以表示與兩點間的距離．若極限．存在，則稱此極限為函數在點沿方向的方向導數，記作或．對二元函數在點，可仿此定義方向導數．易見，、和是三元函數在點分別沿軸正向、軸正向和軸正向的方向導數．例1=．求在點處沿方向的方向導數。其中，（1）為方向；（2）為從點到點的方向．解：（1）為方向的射線為，即.,.因此，（2）從點到點的方向的方向數為方向的射線為：．,;．因此（略）．2．方向導數的計算定理17.6若函數在點可微，則在點處任一方向的方向導數都存在，且。其中為方向的方向余弦．例2設，求在點沿方向的方向導數．例3設，這個函數在原點不連續（當然也不可微），但在始于原點的任何射線上，都存在包含原點的充分小的一段，在這一段上的函數值為零．于是由方向導數定義，在原點處沿任何方向都有．這個例子說明：(i)函數在一點可微是方向導數存在的充分條件而不是必要條件；(ii)函數在一點連續同樣不是方向導數存在的必要條件，當然也不是充分條件。二．梯度1.梯度的定義定義2若在點存在對所有自變量的偏導數，則稱向量為函數在點的梯度，記作。向量的長度（或模）為。易見，對可微函數，方向導數是梯度在該方向上的投影．2。梯度的幾何意義:對可微函數,梯度方向是函數變化最快的方向。這是因為|．其中是與夾角.可見時取最大值，在的反方向取最小值．例4設，求在點處的梯度及它的模．3．梯度的運算性質（ⅰ）．（ⅱ）(+)=+．（ⅲ）()=+．（ⅳ）．（ⅴ）()=.證：（ⅳ）,.．課堂練習：習題中選擇1-2題三．小結7.177.17作業：P136:2,3,5課后反思：理解掌握方向導數與剃度的意義7.17預習課本知識7.17吳良森等主編《數學分析學習指導書》，P194-P1977.18教學單元十八7.18.1教學日期：7.18.2教學目標：掌握高階偏導數及極值等概念，了解泰勒公式，會求函數的極值7.18.3教學內容：第十七章多元函數微分學——§泰勒公式與極值問題教學重點：求函數極值．教學難點：泰勒公式．7.18.4教學過程：§4泰勒公式與極值問題一．高階偏導數由于的偏導函數，仍然是自變量與的函數，如果它們于與的偏導數也存在，則說函數具有二階偏導數，二元函數的二階偏導數有如下四種情形：類似地可定義更高的偏導數，的三階偏導數共有八種情形，如…….例1求函數的所有二階偏導數和．例2求函數的所有二階偏導數．注意從上面兩個例子看到，這些函數關于和的不同順序的兩個二階偏導數都相等（種既有關于又有關于的高階偏導數稱為混合偏導數），即．但這個結論并不對任何函數都成立，例如函數它的一階偏導數為。。進而求在處關于和的兩個不同順序的混合偏導數，得。由此看到，這里的在原點處的兩個二階混合偏導數與求導順序有關．那么，在什么條件下混合偏導數與求導順序無關呢？為此，我們按定義先把與表示成極限形式．由于。因此有。類似地有為使成立，必須使這兩個累次極限相等，即可以交換累次極限次序．下述定理出了使極限相等的一個充分條件．定理17.7若和都在點連續，則．這個定理的結論對元函數的混合偏導數也成立．如三元函數，若下述六元函數混合偏導數，，，，，在某一點都連續，則在這一點六個混合偏導數都相等；同樣，若二元函數在點存在直到階的連續混合偏導數，則在這一點階混合偏導數都與順序無關．今后除特別指出外，都假設相應階數的混合偏導數連續，從而混合偏導數與求導順序無關．下面討論復合函數的高階偏導數．設z是通過中間變量x,y而成為的函數，即其中．．若函數都具有連續的二階偏導數，則作為復合函數的對同樣存在二階連續偏導數，具體計算如下：，．顯然與仍是的復合函數，其中,是的函數，，，，是的函數．繼續求關于的二階偏導數=+=+．同理可得+，=例3設，求．二．中值定理和泰勒公式二元函數的中值公式和泰勒公式，與一元函數的拉格郎日公式和泰勒公式相仿，對于元函數也有同樣的公式，只是形式上更復雜一些．在敘述有關定理之前，先介紹凸區域的概念．若區域上任意兩點的連線都含于，則稱為凸區域．這就是說，若為凸區域，則對任意兩點，和一切，恒有．定理17.8（中值定理）設二元函數在凸開域上連續，在的所有內點都可微，則對內任意兩點，存在某，使得注意若是閉凸域，且對上任意兩點，及任意，都有，則對上連續，內可微的函數，只要，也存在使式成立．例如是圓域在上連續，在內可微，則必有式成立．倘若是矩形區域，那就不能保證對上任意兩點都有式成立．公式也稱為二元函數（在凸域上）的中值公式．它與定理的中值公式相比較，差別在于這里的中值點是在的連線上，而在定理17.3中與可以不相等．推論若函數在區域上存在偏導數，且，則在區域上為常量函數．定理17.9（泰勒定理）若函數在點的某鄰域內有直到階的連續偏導數，則對內任一點，存在相應的，使得=+．稱為二元函數在點的階泰勒公式。其中，．例4求在點的泰勒公式（到二階為止），并用它計算．三．極值問題多元函數的極值問題是多元函數微分學的重要應用，這里仍以二元函數為例進行討論．定義設函數在點的某鄰域內有定義．若對于任何點，成立不等式(或)，則稱函數在點取得極大（或極小）值，點稱為的極大（或極小）值點．極大值、極小值統稱極值．極大值點、極小值點統稱極值點．注意：這里所討論的極值點只限于定義域的內點．例5設，，．由定義直接知道，坐標原點是的極小值點，是的極大值點，但不是的極值點．這里因為對任何點，恒有；對任何，恒有；而對于函數，在原點的任意小鄰域內，既含有使的II、IV象限中的點，又含有使的II、IV象限中的點，所以既不是極大值又不是極小值．由定義可見，若在點取得極值，則當固定時，一元函數必定在取相同的極值．同理，一元函數在也取相同的極值．于是得到二元函數取極值的必要條件如下：定理17.10（極值必要條件）若函數在點存在偏導數，且在取得極值，則有．(8)反之，若函數在點滿足(16)，則稱點為的穩定點．定理17.01指出：若存在偏導數，則其極限點必是穩定點．但穩定點并不都是極值點，如例5中的函數，原點為其穩定點，但它在原點并不取得極值．與一元函數的情形相同，函數在偏導數不存在的點上也有可能取得極值．例如在原點沒有偏導數，但是的極小值．為了討論二元函數在點取得極值的充分條件，我們假定具有二階連續偏導數，并記（9）它稱為在的黑塞矩陣．定理17.11（極值充分條件）設二元函數在點()的某鄰域內具有二階連續偏導數，且是的穩定點．則當是正定矩陣時，在取得極小值；當是負定矩陣時，在取得極大值；當是不定矩陣時，在不取極值．根據正半定或負半定對稱所屬主子行列式的符號規則，定理17.11由又可寫成如下比較實用的形式：若函數f如定理17.11所設．是f的穩定點，則有：當時，在點取得極小值;當時，在點取得極大值;當時，f在點不能取得極值；當時，不能肯定f在點是否取得極值．例6求的的極值．例7討論在原點是否取得極值．例8討論是否存在極值．例9證明：圓的所有外切三角形