3.1.3概率的基本性質

3.1隨機事件的概率問題提出1.兩個集合之間存在著包含與相等的關系，集合可以進行交、并、補運算，你還記得子集、等集、交集、并集和補集的含義及其符號表示嗎？

2.我們可以把一次試驗可能出現的結果看成一個集合（如連續拋擲兩枚硬幣），那么必然事件對應全集，隨機事件對應子集，不可能事件對應空集，從而可以類比集合的關系與運算，分析事件之間的關系與運算，使我們對概率有進一步的理解和認識．

概率的基本性質知識探究（一）：事件的關系與運算

在擲骰子試驗中，我們用集合形式定義如下事件：C1＝｛出現1點｝，C2＝｛出現2點｝，C3＝｛出現3點｝，C4＝｛出現4點｝，C5＝｛出現5點｝，C6＝｛出現6點｝，D1＝｛出現的點數不大于1｝，D2＝｛出現的點數大于4｝，D3＝｛出現的點數小于6｝，E＝｛出現的點數小于7｝，F＝｛出現的點數大于6｝，G＝｛出現的點數為偶數｝，H＝｛出現的點數為奇數｝，等等.思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件?思考2：如果事件C1發生，則一定有哪些事件發生？在集合中，集合C1與這些集合之間的關系怎樣描述？

思考3：一般地，對于事件A與事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特別地，不可能事件用Ф表示，它與任何事件的關系怎樣約定？

如果當事件A發生時，事件B一定發生，則BA(或AB)；任何事件都包含不可能事件.思考4：分析事件C1與事件D1之間的包含關系，按集合觀點這兩個事件之間的關系應怎樣描述？

思考5：一般地，當兩個事件A、B滿足什么條件時，稱事件A與事件B相等？

思考6：如果事件C5發生或C6發生，就意味著哪個事件發生？反之成立嗎？

若BA，且AB，則稱事件A與事件B相等，記作A=B.

思考7：事件D2稱為事件C5與事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A與事件B的并事件（或和事件）是什么含義？

當且僅當事件A發生或事件B發生時，事件C發生，則稱事件C為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作C=A∪B(或A+B).

思考8：類似地，當且僅當事件A發生且事件B發生時，事件C發生，則稱事件C為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出這樣的例子嗎？

思考9：兩個集合的交可能為空集，兩個事件的交事件也可能為不可能事件，即A∩B＝Ф，此時，稱事件A與事件B互斥，那么在一次試驗中，事件A與事件B互斥的含義怎樣理解？在上述事件中能找出這樣的例子嗎？

事件A與事件B不會同時發生.思考10：若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件，那么在一次試驗中，事件A與事件B互為對立事件的含義怎樣理解？在上述事件中能找出這樣的例子嗎？

事件A與事件B有且只有一個發生.思考11：事件A與事件B的和事件、積事件，分別對應兩個集合的并、交，那么事件A與事件B互為對立事件，對應的集合A、B是什么關系？集合A與集合B互為補集.思考12：若事件A與事件B相互對立，那么事件A與事件B互斥嗎？反之，若事件A與事件B互斥，那么事件A與事件B相互對立嗎？知識探究（二）：概率的幾個基本性質

思考1：概率的取值范圍是什么？必然事件、不可能事件的概率分別是多少？

思考2：如果事件A與事件B互斥，則事件A∪B發生的頻數與事件A、B發生的頻數有什么關系？fn(A∪B)與fn(A)、fn(B)有什么關系？進一步得到P(A∪B)與P(A)、P(B)有什么關系？

若事件A與事件B互斥，則A∪B發生的頻數等于事件A發生的頻數與事件B發生的頻數之和，且P（A∪B）＝P（A）＋P（B），這就是概率的加法公式.思考3：如果事件A與事件B互為對立事件，則P(A∪B)的值為多少？P(A∪B)與P(A)、P(B)有什么關系？由此可得什么結論？

若事件A與事件B互為對立事件，則P（A）＋P（B）＝1.思考4：如果事件A與事件B互斥，那么P（A）＋P（B）與1的大小關系如何？

P（A）＋P（B）≤1.

思考5：如果事件A1，A2，…，An中任何兩個都互斥，那么事件（A1+A2+…+An）的含義如何？

P（A1+A2+…+An）與P（A1），

P（A2），…，P（An）有什么關系？

事件（A1+A2+…+An）表示事件A1，A2，…，An中有一個發生；P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.思考6：對于任意兩個事件A、B，P（A∪B）一定比P（A）或P（B）大嗎？P（A∩B）一定比P（A）或P（B）小嗎？知識遷移

例1某射手進行一次射擊，試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對立事件？事件A：命中環數大于7環；事件B：命中環數為10環；事件C：命中環數小于6環；事件D：命中環數為6、7、8、9、10環．事件A與事件C互斥，事件B與事件C互斥，事件C與事件D互斥且對立.

例2一個人打靶時連續射擊兩次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （）至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶D

例3把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁四人，每人分得一張，那么事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A.對立事件

B.互斥但不對立事件

C.必然事件

D.不可能事件BP（C）=P（A∪B）=P（A）＋P（B）=0.5，P（D）=1-P（C）=0.5.

例4如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到紅心（事件A）的概率是，取到方片（事件B）的概率是，問：（l）取到紅色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

例5袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，已知得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率分別是多少？小結作業1.事件的各種關系與運算，可以類比集合的關系與運算，互斥事件與對立事件的概念的外延具有包含關系，即{對立事件}

{互斥事件}.2.在一次試驗中，兩個互斥事件不能同時發生，它