20/20高三數(shù)學(xué)教案：直線和圓的方程【】鑒于大家對(duì)查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)十分關(guān)注,小編在此為大家整理了此文高三數(shù)學(xué)教案：直線和圓的方程,供大家參考!本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：直線和圓的方程第八章直線和圓的方程高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率的計(jì)算公式.3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.4.掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.5.掌握用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).6.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行線間的距離.7.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.8.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.9.能用直線和圓的方程解決簡(jiǎn)單的問題.10.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.11.了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.本章重點(diǎn)：1.傾斜角和斜率的概念;2.根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直;3.直線的點(diǎn)斜式方程、一般式方程;4.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo);5.點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離的求法;6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程;7.能根據(jù)給定直線,圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;8.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和代數(shù)方法解決幾何問題.本章難點(diǎn)：1.直線的斜率與它的傾斜角之間的關(guān)系;2.根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系;3.直線方程的應(yīng)用;4.點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo);5.圓的方程的應(yīng)用;6.直線與圓的方程的綜合應(yīng)用.本章內(nèi)容常常與不等式、函數(shù)、向量、圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合起來考查.直線和圓的考查,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬于容易題和中檔題;如果和圓錐曲線一起考查,難度比擬大.同時(shí),對(duì)空間直角坐標(biāo)系的考查難度不大,一般為選擇題或者填空題.本章知識(shí)點(diǎn)的考查側(cè)重考學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力,以及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的能力等.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)8.1直線與方程典例精析題型一直線的傾斜角【例1】直線2xcos-y-3=0,6,3]的傾斜角的變化范圍是()A.[3]B.[3]C.[2]D.[4,23]【解析】直線2xcos-y-3=0的斜率k=2cos,由于6,3],所以12cos32,k=2cos[1,3].設(shè)直線的傾斜角為,那么有tan[1,3],由于[0,),所以4,3],即傾斜角的變化范圍是[3],應(yīng)選B.【點(diǎn)撥】利用斜率求傾斜角時(shí),要注意傾斜角的范圍.【變式訓(xùn)練1】M(2m+3,m),N(m-2,1),當(dāng)m時(shí),直線MN的傾斜角為銳角;當(dāng)m=時(shí),直線MN的傾斜角為直角;當(dāng)m時(shí),直線MN的傾斜角為鈍角.【解析】直線MN的傾斜角為銳角時(shí),k=m-12m+3-m+2=m-1m+5m-5或m直線MN的傾斜角為直角時(shí),2m+3=m-2直線MN的傾斜角為鈍角時(shí),k=m-12m+3-m+2=m-1m+5-5題型二直線的斜率【例2】A(-1,-5),B(3,-2),直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍,求直線l的斜率.【解析】由于A(-1,-5),B(3,-2),所以kAB=-2+53+1=34,設(shè)直線AB的傾斜角為,那么tan=34,l的傾斜角為2,tan2=2tan1-tan2=2341-(34)2=247.所以直線l的斜率為247.【點(diǎn)撥】直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個(gè)概念,應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)概念,扎實(shí)地記住計(jì)算公式,傾斜角往往會(huì)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起.【變式訓(xùn)練2】設(shè)是直線l的傾斜角,且有sin+cos=15,那么直線l的斜率為()A.34B.43C.-43D.-34或-43【解析】選C.sin+cos=15sincos=-1225sin=45,cos=-35或cos=45,sin=-35(舍去),故直線l的斜率k=tan=sincos=-43.題型三直線的方程【例3】求滿足以下條件的直線方程.(1)直線過點(diǎn)(3,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距相等;(2)直線過點(diǎn)(2,1),且原點(diǎn)到直線的距離為2.【解析】(1)當(dāng)截距為0時(shí),直線過原點(diǎn),直線方程是2x-3y=0;當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)方程為xa+ya=1,把(3,2)代入,得a=5,直線方程為x+y-5=0.故所求直線方程為2x-3y=0或x+y-5=0.(2)當(dāng)斜率不存在時(shí),直線方程x-2=0合題意;當(dāng)斜率存在時(shí),那么設(shè)直線方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,所以|1-2k|k2+1=2,解得k=-34,方程為3x+4y-10=0.故所求直線方程為x-2=0或3x+4y-10=0.【點(diǎn)撥】截距可以為0,斜率也可以不存在,故均需分情況討論.【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過點(diǎn)P(3,-4),且橫、縱截距互為相反數(shù)的直線方程.【解析】當(dāng)橫、縱截距都是0時(shí),設(shè)直線的方程為y=kx.因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(3,-4),所以-4=3k,得k=-43.此時(shí)直線方程為y=-43x.當(dāng)橫、縱截距都不是0時(shí),設(shè)直線的方程為xa+y-a=1,因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(3,-4),所以a=3+4=7.此時(shí)方程為x-y-7=0.綜上,所求直線方程為4x+3y=0或x-y-7=0.題型四直線方程與最值問題【例4】過點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△ABO的面積最小時(shí),求直線l的方程.【解析】方法一：設(shè)直線方程為xa+yb=1(a0,b0),由于點(diǎn)P在直線上,所以2a+1b=1.2a(2a+1b2)2=14,當(dāng)2a=1b=12時(shí),即a=4,b=2時(shí),1a1b取最大值18,即S△AOB=12ab取最小值4,所求的直線方程為x4+y2=1,即x+2y-4=0.方法二：設(shè)直線方程為y-1=k(x-2)(k0),直線與x軸的交點(diǎn)為A(2k-1k,0),直線與y軸的交點(diǎn)為B(0,-2k+1),由題意知2k-10,k0,1-2k0.S△AOB=12(1-2k)2k-1k=12[(-1k)+(-4k)+4]12[2(-1k)(-4k)+4]=4.當(dāng)-1k=-4k,即k=-12時(shí),S△AOB有最小值,所求的直線方程為y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.【點(diǎn)撥】求直線方程,假設(shè)直線過定點(diǎn),一般考慮點(diǎn)斜式;假設(shè)直線過兩點(diǎn),一般考慮兩點(diǎn)式;假設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸相交,一般考慮截距式;假設(shè)一條非具體的直線,一般考慮一般式.【變式訓(xùn)練4】直線l：mx-(m2+1)y=4m(mR).求直線l的斜率的取值范圍.【解析】由直線l的方程得其斜率k=mm2+1.假設(shè)m=0,那么k=0;假設(shè)m0,那么k=1m+1m12m1m=12,所以0假設(shè)m0,那么k=1m+1m=-1-m-1m-12(-m)(-1m)=-12,所以-120.綜上,-1212.總結(jié)提高1.求斜率一般有兩種類型：其一,直線上兩點(diǎn),根據(jù)k=y2-y1x2-x1求斜率;其二,傾斜角或的三角函數(shù)值,根據(jù)k=tan求斜率,但要注意斜率不存在時(shí)的情形.2.求傾斜角時(shí),要注意直線傾斜角的范圍是[0,).3.求直線方程時(shí),應(yīng)根據(jù)題目條件,選擇適宜的直線方程形式,從而使求解過程簡(jiǎn)單明確.設(shè)直線方程的截距式,應(yīng)注意是否漏掉過原點(diǎn)的直線;設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí),應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線.8.2兩條直線的位置關(guān)系典例精析題型一兩直線的交點(diǎn)【例1】假設(shè)三條直線l1：2x+y-3=0,l2：3x-y+2=0和l3：ax+y=0不能構(gòu)成三角形,求a的值.【解析】①l3∥l1時(shí),-a=-2②l3∥l2時(shí),-a=3③由將(-1,-1)代入ax+y=0a=-1.綜上,a=-1或a=2或a=-3時(shí),l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形.【點(diǎn)撥】三條直線至少有兩條平行時(shí)或三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形.【變式訓(xùn)練1】?jī)蓷l直線l1：a1x+b1y+1=0和l2：a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P(2,3),那么過A(a1,b1),B(a2,b2)的直線方程是.【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點(diǎn)得故A(a1,b1),B(a2,b2)的坐標(biāo)滿足方程2x+3y+1=0,即直線2x+3y+1=0必過A(a1,b1),B(a2,b2)兩點(diǎn).題型二兩直線位置關(guān)系的判斷【例2】?jī)蓷l直線l1：ax-by+4=0和l2：(a-1)x+y+b=0,求滿足以下條件的a,b的值.(1)l1l2,且l1過點(diǎn)(-3,-1);(2)l1∥l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到兩條直線的距離相等.【解析】(1)由可得l2的斜率存在,所以k2=1-a,假設(shè)k2=0,那么1-a=0,即a=1.因?yàn)閘1l2,直線l1的斜率k1必不存在,即b=0,又l1過點(diǎn)(-3,-1),所以-3a+b+4=0,而a=1,b=0代入上式不成立,所以k20.因?yàn)閗20,即k1,k2都存在,因?yàn)閗2=1-a,k1=ab,l1l2,所以k1k2=-1,即ab(1-a)=-1,又l1過點(diǎn)(-3,-1),所以-3a+b+4=0,聯(lián)立上述兩個(gè)方程可解得a=2,b=2.(2)因?yàn)閘2的斜率存在,又l1∥l2,所以k1=k2,即ab=(1-a),因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等,且l1∥l2,所以l1,l2在y軸的截距互為相反數(shù),即4b=b,聯(lián)立上述方程解得a=2,b=-2或a=23,b=2,所以a,b的值分別為2和-2或23和2.【點(diǎn)撥】運(yùn)用直線的斜截式y(tǒng)=kx+b時(shí),要特別注意直線斜率不存在時(shí)的特殊情況.求解兩條直線平行或垂直有關(guān)問題時(shí),主要是利用直線平行和垂直的充要條件,即斜率相等或斜率互為負(fù)倒數(shù).【變式訓(xùn)練2】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0,a),B(b,0),C(c,0).點(diǎn)P(0,p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)),這里a,b,c,p均為非零實(shí)數(shù),設(shè)直線BP,CP分別與邊AC,AB交于點(diǎn)E,F,某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為(1b-1c)x+(1p-1a)y=0,那么直線OF的方程為.【解析】由截距式可得直線AB：xb+ya=1,直線CP：xc+yp=1,兩式相減得(1c-1b)x+(1p-1a)y=0,顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程,又原點(diǎn)O也滿足此方程,故所求直線OF的方程為(1c-1b)x+(1p-1a)y=0.題型三點(diǎn)到直線的距離【例3】△ABC中,A(1,1),B(4,2),C(m,m)(1【解析】因?yàn)锳(1,1),B(4,2),所以|AB|=(4-1)2+(2-1)2=10,又因?yàn)橹本€AB的方程為x-3y+2=0,那么點(diǎn)C(m,m)到直線AB的距離即為△ABC的高,設(shè)高為h,那么h=|m-3m+2|12+(-3)2,S=12|AB|h=12|m-3m+2|,令m=t,那么1由圖象可知,當(dāng)t=32時(shí),S有最大值18,此時(shí)m=32,所以m=94.【點(diǎn)撥】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離時(shí),直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,用處理代數(shù)問題的方法解決.【變式訓(xùn)練3】假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)分別在直線l1：x-y-5=0,l2：x-y-15=0上移動(dòng),求P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值.【解析】方法一：因?yàn)镻1、P2分別在直線l1和l2上,所以(①+②)2,得x1+x22-y1+y22-10=0,所以P1P2的中點(diǎn)P(x1+x22,y1+y22)在直線x-y-10=0上,點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線x-y-10=0的距離d=102=52.所以,點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為52.方法二：設(shè)l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線.令l：x-y-c=0,那么5解得c=10.所以l的方程為x-y-10=0.由題意知,P1P2的中點(diǎn)P在直線l上,點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線l的距離d=102=52,所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為52.總結(jié)提高1.求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí),主要是利用兩直線平行或垂直的條件,即斜率相等或互為負(fù)倒數(shù).假設(shè)出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.2.學(xué)會(huì)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等根本的數(shù)學(xué)方法和思想.特別是注意數(shù)形結(jié)合思想方法,根據(jù)題意畫出圖形不僅易于找到解題思路,還可以防止漏解和增解,同時(shí)還可以充分利用圖形的性質(zhì),挖掘出某些隱含條件,找到簡(jiǎn)捷解法.3.運(yùn)用公式d=|C1-C2|A2+B2求兩平行直線之間的距離時(shí),要注意把兩直線方程中x、y的系數(shù)化成分別對(duì)應(yīng)相等.8.3圓的方程典例精析題型一求圓的方程【例1】求經(jīng)過兩點(diǎn)A(-1,4),B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程.【解析】方法一：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,那么圓心為(-D2,-E2),由得即解得D=0,E=-2,F=-9,所求圓的方程為x2+y2-2y-9=0.方法二：經(jīng)過A(-1,4),B(3,2)的圓,其圓心在線段AB的垂直平分線上,AB的垂直平分線方程為y-3=2(x-1),即y=2x+1.令x=0,y=1,圓心為(0,1),r=(3-0)2+(2-1)2=10,圓的方程為x2+(y-1)2=10.【點(diǎn)撥】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程都有三個(gè)參數(shù),只要求出a、b、r或D、E、F,那么圓的方程確定,所以確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件.【變式訓(xùn)練1】一圓過P(4,-2)、Q(-1,3)兩點(diǎn),且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為43,求圓的方程.【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,①將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得令x=0,由①得y2+Ey+F=0,④由|y1-y2|=43,其中y1、y2是方程④的兩根.所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48,⑤解②、③、⑤組成的方程組,得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4,故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.題型二與圓有關(guān)的最值問題【例2】假設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=3.求：(1)yx的最大值和最小值;(2)y-x的最小值;(3)(x-4)2+(y-3)2的最大值和最小值.【解析】(1)yx=y-0x-0,即連接圓上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率,因此yx的最值為過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)該直線的斜率,設(shè)yx=k,y=kx,kx-y=0.由|2k|k2+1=3,得k=3,所以yx的最大值為3,yx的最小值為-3.(2)令x-2=3cos,y=3sin,[0,2).所以y-x=3sin-3cos-2=6sin(4)-2,當(dāng)sin(4)=-1時(shí),y-x的最小值為-6-2.(3)(x-4)2+(y-3)2是圓上點(diǎn)與點(diǎn)(4,3)的距離的平方,因?yàn)閳A心為A(2,0),B(4,3),連接AB交圓于C,延長(zhǎng)BA交圓于D.|AB|=(4-2)2+(3-0)2=13,那么|BC|=13-3,|BD|=13+3,所以(x-4)2+(y-3)2的最大值為(13+3)2,最小值為(13-3)2.【點(diǎn)撥】涉及與圓有關(guān)的最值問題,可借助圖形性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合求解,一般地：①形如U=y-bx-a形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題;②形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動(dòng)圓半徑的最值問題.【變式訓(xùn)練2】實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=3(y0).試求m=y+1x+3及b=2x+y的取值范圍.【解析】如圖,m可看作半圓x2+y2=3(y0)上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(-3,-1)連線的斜率,b可以看作過半圓x2+y2=3(y0)上的點(diǎn)且斜率為-2的直線的縱截距.由圖易得3-363+216,-2315.題型三圓的方程的應(yīng)用【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(xR)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;(2)求圓C的方程;(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.【解析】(1)令x=0,得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0,b),由題意b0,且0,解得b1且b0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,這與x2+2x+b=0是同一個(gè)方程,故D=2,F=b.令x=0,得y2+Ey+F=0,此方程有一個(gè)根為b,代入得出E=-b-1.所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(3)圓C必過定點(diǎn),證明如下：假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0不依賴于b),將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程,并變形為x20+y20+2x0-y0+b(1-y0)=0,(*)為使(*)式對(duì)所有滿足b0)的b都成立,必須有1-y0=0,結(jié)合(*)式得x20+y20+2x0-y0=0,解得或經(jīng)檢驗(yàn)知,點(diǎn)(0,1),(-2,1)均在圓C上,因此圓C過定點(diǎn).【點(diǎn)撥】此題(2)的解答用到了代數(shù)法求過三點(diǎn)的圓的方程,表達(dá)了設(shè)而不求的思想.(3)的解答同樣運(yùn)用了代數(shù)的恒等思想,同時(shí)問題表達(dá)了較強(qiáng)的探究性.【變式訓(xùn)練3】(2019安徽)動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),12秒旋轉(zhuǎn)一周.時(shí)間t=0時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(12,32),那么當(dāng)012時(shí),動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]【解析】選D.由題意知角速度為26,故可得y=sin(3),012,32或326t+52,所以01或712.所以單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]和[7,12].總結(jié)提高1.確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件,選標(biāo)準(zhǔn),定參數(shù)是解題的根本方法.一般來講,條件涉及圓上的多個(gè)點(diǎn),可選擇一般方程;條件涉及圓心和半徑,可選圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.解決與圓有關(guān)的問題,應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.解決與圓有關(guān)的最值問題時(shí),可根據(jù)代數(shù)式子的幾何意義,借助于平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合解決.也可以利用圓的參數(shù)方程解決最值問題.8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系典例精析題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例1】圓的方程x2+y2=2,直線y=x+b,當(dāng)b為何值時(shí),(1)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).【解析】方法一：(幾何法)設(shè)圓心O(0,0)到直線y=x+b的距離為d,d=|b|12+12=|b|2,半徑r=2.當(dāng)d所以當(dāng)-2當(dāng)d=r時(shí),直線與圓相切,|b|2=2,b=2,所以當(dāng)b=2時(shí),直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).方法二：(代數(shù)法)聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組消去y得2x2+2bx+b2-2=0,=16-4b2.當(dāng)0,即-2當(dāng)=0,即b=2時(shí),有一個(gè)公共點(diǎn).【點(diǎn)撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時(shí),要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì),又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的根本關(guān)系,養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣.【變式訓(xùn)練1】圓2x2+2y2=1與直線xsin+y-1=0(R,k2,kZ)的位置關(guān)系是()A.相離B.相切C.相交D.不能確定【解析】選A.易知圓的半徑r=22,設(shè)圓心到直線的距離為d,那么d=1sin2+1.因?yàn)?kZ.所以0sin21,所以22r,所以直線與圓相離.題型二圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例2】如果圓C：(x-a)2+(y-a)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)在單位圓O：x2+y2=1上.當(dāng)圓C與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),符合題意,故應(yīng)滿足2-12+1,所以1所以-322【變式訓(xùn)練2】?jī)蓤A(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P,Q兩點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2),那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(-1,1),(2,-2),那么過它們圓心的直線方程為x-(-1)2-(-1)=y-1-2-1,即y=-x.根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對(duì)稱.故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn),即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,-1).題型三圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦的問題【例3】點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2+y2+4x-12y+24=0.(1)假設(shè)直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為43,求l的方程;(2)求圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)如圖,AB=43,D是AB的中點(diǎn),那么AD=23,AC=4,在Rt△ADC中,可得CD=2.設(shè)所求直線的斜率為k,那么直線的方程為y-5=kx,即kx-y+5=0.由點(diǎn)C到直線的距離公式|-2k-6+5|k2+1=2,得k=34,此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0.又直線l的斜率不存在時(shí),也滿足題意,此時(shí)的方程為x=0.所以所求直線為x=0或3x-4y+20=0.(也可以用弦長(zhǎng)公式求解)(2)設(shè)圓C上過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x,y),因?yàn)镃DPD,所以=0,即(x+2,y-6)(x,y-5)=0,化簡(jiǎn)得軌跡方程x2+y2+2x-11y+30=0.【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)有關(guān)問題時(shí),注意運(yùn)用平方差法,即設(shè)弦AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)為(x0,y0),由得k=y1-y2x1-x2=-x1+x2y1+y2=-x0y0.該法常用來解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問題.【變式訓(xùn)練3】圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,那么四邊形ABCD的面積為()A.106B.206C.306D.406【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+(y-4)2=25,過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦為AC=10,最短弦為BD=252-12=46,S=12ACBD=206.總結(jié)提高1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種,用幾何法解題時(shí)要注意抓住圓的幾何特征,因此常常要比代數(shù)法簡(jiǎn)捷.例如,求圓的弦長(zhǎng)公式比擬復(fù)雜,利用l=2R2-d2(R表示圓的半徑,d表示弦心距)求弦長(zhǎng)比代數(shù)法要簡(jiǎn)便.2.處理直線與圓,圓與圓的位置關(guān)系,要全面地考查各種位置關(guān)系,防止漏解,如設(shè)切線為點(diǎn)斜式,要考慮斜率不存在的情況是否合題意,兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況.3.處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí),特別是有關(guān)交點(diǎn)問題時(shí),為防止計(jì)算量過大,常采用設(shè)而不求的方法.8.5直線與圓的綜合應(yīng)用典例精析題型一直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例1】圓C：(x-1)2+(y-2)2=25及直線l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)求證：不管m為何值,直線l恒過定點(diǎn);(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;(3)求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的弦長(zhǎng)及此時(shí)直線的方程.【解析】(1)證明：直線方程可寫作x+y-4+m(2x+y-7)=0,由方程組可得所以不管m取何值,直線l恒過定點(diǎn)(3,1).(2)由(3-1)2+(1-2)2=55,故點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi),即不管m取何值,直線l總與圓C相交.(3)由平面幾何知識(shí)可知,當(dāng)直線與過點(diǎn)M(3,1)的直徑垂直時(shí),弦|AB|最短.|AB|=2r2-|CM|2=225-[(3-1)2+(1-2)2]=45,此時(shí)k=-1kCM,即-2m+1m+1=-1-12=2,解得m=-34,代入原直線方程,得l的方程為2x-y-5=0.【點(diǎn)撥】解決弦長(zhǎng)問題時(shí),可利用弦長(zhǎng)的幾何意義求解.【變式訓(xùn)練1】假設(shè)函數(shù)f(x)=-1beax的圖象在x=0處的切線l與圓C：x2+y2=1相離,那么P(a,b)與圓C的位置關(guān)系是()A.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.不能確定【解析】選B.f(x)=-1beaxf(x)=-abeaxf(0)=-ab.又f(0)=-1b,所以切線l的方程為y+1b=-ab(x-0),即ax+by+1=0,由l與圓C：x2+y2=1相離得1a2+b2a2+b21,即點(diǎn)P(a,b)在圓內(nèi),應(yīng)選B.題型二和圓有關(guān)的對(duì)稱問題【例2】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱,又滿足=0.(1)求m的值;(2)求直線PQ的方程.【解析】(1)曲線方程可化為(x+1)2+(y-3)2=9,是圓心為(-1,3),半徑為3的圓.因?yàn)辄c(diǎn)P,Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱,所以圓心(-1,3)在直線x+my+4=0上,代入得m=-1.(2)因?yàn)橹本€PQ與直線y=x+4垂直,所以設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),那么直線PQ的方程為y=-x+b.將直線y=-x+b代入圓的方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,=4(4-b)2-42(b2-6b+1)0,解得2-32x1+x2=b-4,x1x2=b2-6b+12,y1y2=(-x1+b)(-x2+b)=b2-b(x1+x2)+x1x2=b2+2b+12,因?yàn)?0,所以x1x2+y1y2=0,即b2-6b+12+b2+2b+12=0,得b=1.故所求的直線方程為y=-x+1.【點(diǎn)撥】平面向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容,解題時(shí),一方面要能夠正確地分析用向量表達(dá)式給出的題目的條件,將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系,另一方面還要善于運(yùn)用向量的運(yùn)算解決問題.【變式訓(xùn)練2】假設(shè)曲線x