（新高考）此卷只裝訂不密封此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數學（四）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選D．2．“方程SKIPIF1<0表示雙曲線”的一個必要不充分條件為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由方程SKIPIF1<0表示雙曲線，知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故它的一個必要不充分條件為SKIPIF1<0，故選A．3．已知復數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數單位），SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選C．4．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為2，則邊SKIPIF1<0的長有（）A．最大值SKIPIF1<0 B．最小值SKIPIF1<0 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的面積為2，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，取等號，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為2，無最大值，即SKIPIF1<0的最小值為2，無最大值，故選D．5．若函數SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值等于（）A．2 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意易知，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不在同一單調區間，又SKIPIF1<0，一定有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選A．6．若直線SKIPIF1<0始終平分圓SKIPIF1<0的周長，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．10【答案】B【解析】由直線SKIPIF1<0始終平分圓SKIPIF1<0的周長，則直線必過圓SKIPIF1<0的圓心，由圓的方程可得圓SKIPIF1<0的圓心坐標SKIPIF1<0，代入直線SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0表示點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的平方，由點到直線的距離公式得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選B．7．函數SKIPIF1<0的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以定義域關于原點對稱，又由SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0為偶函數，排除B、D項；當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，排除C項，所以只有A選項適合，故選A．8．已知三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如圖所示：三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為長方體SKIPIF1<0的外接球，設球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，故選D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．《高中數學課程標準》（2017版）給出了數學學科的六大核心素養，為了比較甲乙兩名高中同學的數學核心素養水平，現以六大素養為指標對二人進行了測驗，根據測驗結果繪制了雷達圖，圖中每項指標值滿分為5分，分值高者為優，則下列說法正確的是（）A．甲的數學運算素養優于乙的數學運算素養B．甲的邏輯推理素養優于乙的邏輯推理素養C．甲的六個核心素養中只有數學運算水平最高D．乙的六個核心素養中只有數據分析水平最高【答案】AC【解析】對于A，由圖可知數學運算，甲得5分，乙得4分，所以甲的數學運算素養優于乙的數學運算素養，所以A正確；對于B，由圖可知邏輯推理素養，甲得4分，乙得5分，所以甲的邏輯推理素養低于乙的邏輯推理素養，所以B錯誤；對于C，由圖可知甲只有數學運算素養得5分，所以甲的六個核心素養中只有數學運算水平最高，所以C正確；對于D，由圖可知乙的邏輯推理、數據分析和直觀想象都是5分，所以D錯誤，故選AC．10．函數SKIPIF1<0的圖象如圖，把函數SKIPIF1<0的圖象上所有的點向右平移SKIPIF1<0個單位長度，可得到函數SKIPIF1<0的圖象，下列結論正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0C．函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞增 D．函數SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0中心對稱【答案】BC【解析】由圖可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0矛盾，不符合；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，滿足條件，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A．由上可知A錯誤；B．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故B正確；C．令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，此時單調遞增區間為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故C正確；D．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是對稱中心，故D錯誤，故選BC．11．在數列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為“和等比數列”．設SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，則下列對“和等比數列”的判斷中正確的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A正確，B錯誤；SKIPIF1<0，故C正確，D錯誤，故選AC．12．已知函數SKIPIF1<0對于任意SKIPIF1<0，均滿足SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0，下列結論正確的為（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恰有兩個零點 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有三個零點C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恰有四個零點 D．不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0恰有四個零點【答案】ABC【解析】由SKIPIF1<0可知函數SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱．令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，作出函數SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：令SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0的零點個數為函數SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象的交點個數，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0為偶函數，且函數SKIPIF1<0的圖象恒過定點SKIPIF1<0，當函數SKIPIF1<0的圖象過點SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．過點SKIPIF1<0作函數SKIPIF1<0的圖象的切線，設切點為SKIPIF1<0，對函數SKIPIF1<0求導得SKIPIF1<0，所以，函數SKIPIF1<0的圖象在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，切線過點SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則切線斜率為SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的圖象與函數SKIPIF1<0的圖象相切．若函數SKIPIF1<0恰有兩個零點，由圖可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，A選項正確；若函數SKIPIF1<0恰有三個零點，由圖可得SKIPIF1<0，B選項正確；若函數SKIPIF1<0恰有四個零點，由圖可得SKIPIF1<0，C選項正確，D選項錯誤，故選ABC．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知二項式SKIPIF1<0的展開式中，所有項的系數之和為64，則該展開式中的常數項是______．【答案】1215【解析】∵二項式SKIPIF1<0的展開式中，所有項的系數之和為64，∴令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的展開式的通項公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式的常數項為SKIPIF1<0，故答案為1215．14．某醫院傳染病科室有5名醫生，4名護士，現從這9名醫護人員中選取5名參加醫院組織的運動會，要求其中至少有2名醫生，2名護士，則不同的選取方法有______種．【答案】SKIPIF1<0【解析】符合題意的情況有兩種：SKIPIF1<0名醫生、SKIPIF1<0名護士和SKIPIF1<0名醫生、SKIPIF1<0名護士．選取SKIPIF1<0名醫生、SKIPIF1<0名護士的方法有：SKIPIF1<0種；選取SKIPIF1<0名醫生、SKIPIF1<0名護士的方法有：SKIPIF1<0種，綜上所述：滿足題意的選取方法共有SKIPIF1<0種，故答案為SKIPIF1<0．15．已知x，y滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最大值是最小值的2倍，則滿足條件的可行域的面積是_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】先畫出x，y滿足SKIPIF1<0的可行域如圖所示，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，平移直線SKIPIF1<0，當直線過點SKIPIF1<0時，目標函數SKIPIF1<0有最小值，且SKIPIF1<0；當直線過點SKIPIF1<0時，目標函數SKIPIF1<0有最大值，且SKIPIF1<0，依題意，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以可行域的面積為SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0．16．過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為_______，離心率為_______．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線方程為SKIPIF1<0，將兩個方程聯立，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的中垂線上，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0漸近線方程為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）若函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0取最大值時，判斷SKIPIF1<0的形狀；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊的中點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）SKIPIF1<0是等邊三角形；（2）SKIPIF1<0．【解析】因為SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等邊三角形．（2）解：取SKIPIF1<0邊的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由余弦定理得SKIPIF1<0．18．（12分）設數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）令SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由已知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，各項累加可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②①－②，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．19．（12分）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在棱SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：由已知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）假設在棱SKIPIF1<0上存在一點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0和（1），易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，以SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0．20．（12分）從SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日開始，支付寶用戶可以通過“SKIPIF1<0掃福字”和“參與螞蟻森林”兩種方式獲得福卡（愛國福、富強福、和諧福、友善福，敬業福），除夕夜SKIPIF1<0，每一位提前集齊五福的用戶都將獲得一份現金紅包．某高校一個社團在年后開學后隨機調查了SKIPIF1<0位該校在讀大學生，就除夕夜SKIPIF1<0之前是否集齊五福進行了一次調查（若未參與集五福的活動，則也等同于未集齊五福），得到具體數據如下表：是否集齊五福性別是否合計男SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0女SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0合計SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）根據如上的列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過SKIPIF1<0的前提下，認為“集齊五福與性別有關”？（2）計算這SKIPIF1<0位大學生集齊五福的頻率，并據此估算該校SKIPIF1<0名在讀大學生中集齊五福的人數；（3）以（2）中的頻率作為概率，從該校的SKIPIF1<0名在讀大學生中隨機選取SKIPIF1<0名，記這SKIPIF1<0名大學生集齊五福的人數為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數學期望SKIPIF1<0及方差SKIPIF1<0．參考公式：SKIPIF1<0．附表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】（1）不能，詳見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】（1）根據列聯表中的數據，得到SKIPIF1<0的觀測值為SKIPIF1<0，故不能在犯錯誤的概率不超過SKIPIF1<0的前提下，認為“集齊五福與性別有關”．（2）這80位大學生集齊五福的頻率為SKIPIF1<0，據此估算該校10000名在讀大學生中集齊五福的人數為SKIPIF1<0．（3）從該校的SKIPIF1<0名在讀大學生中隨機選取SKIPIF1<0名，每個學生集齊五福的概率為SKIPIF1<0，隨機變量SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．21．（12分）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距為2，實軸長為4．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設過點SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸重合的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，試問在SKIPIF1<0軸上是否存在一個點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，詳見解析．【解析】（1）因為焦距為2，長軸長為4，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸重合，所以設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<