第13章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.下列幾何體是旋轉體的是()①圓柱;②六棱錐;③正方體;④球體;⑤四面體.A.①④ B.②③ C.①③ D.②④答案A2.已知邊長為1的菱形ABCD中,A=π3,則用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為(A.32 B.3C.66 D.答案D解析在菱形ABCD中,AB=1,A=π3,則菱形的面積為S菱形ABCD=2S△ABD=2×12×1×1×sinπ3=32.所以用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖面積為S=23.設正方體的表面積為24,那么其外接球的體積是()A.43π B.8C.43π D.323π答案C解析設正方體的棱長為a,由題意可知,6a2=24,∴a=2.設正方體外接球的半徑為R,則3a=2R,∴R=3,∴V球=43πR3=43π4.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,有以下四個命題:①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中真命題是()A.①② B.③④ C.②④ D.①③答案D解析若α∥β,l⊥α,則l⊥β,又m?β,所以l⊥m,故①正確;若α⊥β,l⊥α,m?β,則l與m可能異面,所以②不正確;若l∥m,l⊥α,則m⊥α,又m?β,則α⊥β,所以③正確;若l⊥α,l⊥m,m?β,則α與β可能相交,故④不正確.綜上可知,選D.5.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積為()A.(60+42)π B.(60+82)πC.(56+82)π D.(56+42)π答案A解析四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成的幾何體,如圖.S表面=S圓臺下底面+S圓臺側面+S圓錐側面=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22=(60+42)π.故選6.《算數書》竹簡于20世紀80年代在湖北省張家山出土,這是我國現存最早的有系統的數學典籍,其中記載有求“禾蓋”的術:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式V≈136L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈7264L2h相當于將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為(A.15750 B.25C.237 D.答案D解析設圓錐的底面半徑為r,則圓錐的底面周長L=2πr,∴r=L2π,∴V=13πr2h=L2h12π.令L2h12π=7.若將一個真命題中的“平面”換成“直線”,“直線”換成“平面”后仍是真命題,則該命題稱為“可換命題”,下列四個命題:①垂直于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線的兩直線平行;④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是()A.①③ B.③④ C.①② D.①④答案A解析對于①,由“垂直于同一直線的兩個平面平行”知,①是“可換命題”;對于②,由“垂直于同一平面的兩平面未必平行”知,②不是“可換命題”;對于③,由“平行于同一平面的兩個平面平行”知,③是“可換命題”;對于④,由“平行于同一平面的兩直線未必平行”知,④不是“可換命題”.綜上所述,選A.8.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M為AC的中點,沿BM把它折成二面角,折后A與C的距離為1,則二面角C-BM-A的大小為()A.30° B.60° C.90° D.120°答案C解析如圖,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=2.∵M為A'C的中點,∴MC=AM=22,且CM⊥BM,AM⊥BM,∴∠CMA為二面角C-BM-A的平面角.∵AC=1,MC=MA=22,∴∠CMA=90°,故選二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.下列四個說法中,正確的有()A.若直線a,b互相平行,則直線a,b確定一個平面B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行C.若兩條直線沒有公共點,則這兩條直線是異面直線D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面答案ABD解析C項中,若兩直線無公共點,則這兩直線平行或異面.其他選項正確.10.l1,l2,l3是空間中三條不同的直線,則下列說法不正確的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面答案ACD解析對于A,通過常見的正方體中,從同一個頂點出發的三條棱兩兩垂直,A錯;對于B,∵l1⊥l2,∴l1,l2所成的角是90°,又l2∥l3,∴l1,l3所成的角是90°,∴l1⊥l3,B對;對于C,例如三棱柱中的三側棱平行,但不共面,故C錯;對于D,例如三棱錐的三側棱共點,但不共面,故D錯.故選ACD.11.如圖,在棱長均相等的四棱錐P-ABCD中,O為底面正方形的中心,M,N分別為側棱PA,PB的中點,下列結論正確的是()A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直線PD與直線MN所成角的大小為90°D.ON⊥PB答案ABD解析連接BD,圖略,顯然O為BD的中點,又N為PB的中點,所以PD∥ON,又PD?平面OMN,由線面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正確;由M,N分別為側棱PA,PB的中點,所以MN∥AB,又底面為正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,又CD?平面OMN,由線面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由選項A得PD∥平面OMN,又PD∩CD=D,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正確;因為MN∥CD,所以∠PDC為直線PD與直線MN所成的角,又因為所有棱長都相等,所以∠PDC=60°,故直線PD與直線MN所成角的大小為60°,C錯誤;因為底面為正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱長都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正確.故選ABD.12.(2020山東模考)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點,則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為9D.點C與點G到平面AEF的距離相等答案BC解析∵AD1∥EF,∴平面AEF即平面AEFD1,故A錯誤.∵A1G∥D1F,A1G?平面AEFD1,∴A1G∥平面AEFD1,即A1G∥平面AEF,故B正確.平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1,其面積為12×22+2×12+(24)

2=98,故C正確.假設點C與點G到平面AEF的距離相等,即平面AEF將CG平分,則平面AEF必過CG的中點,連接CG交EF于H(圖略),易知H不是CG三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.圓柱的高是8cm,表面積是130πcm2,則它的底面圓的半徑等于cm,圓柱的體積是cm3.

答案5200π解析設圓柱的底面圓的半徑為rcm,則S圓柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圓柱的底面圓半徑為5cm.圓柱的體積V=52π×8=200π(cm3).14.如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a?β,a⊥AB,則直線a與直線l的位置關系是.

答案平行解析∵EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l?α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a?平面β,∴EB⊥a.又a⊥AB,EB∩AB=B,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.15.如圖,在四面體P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,則PC=.

答案7解析取AB的中點E,連接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE?平面PAB,∴PE⊥平面ABC.連接CE,∴PE⊥CE.∵∠ABC=90°,AC=8,BC=6,∴AB=27,PE=PACE=BE2+BC216.(2019全國Ⅲ高考)學生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質量為g.

答案118.8解析由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為4×6-4×12×2×3=12(cm2),點O到平面BB1C1C的距離為3cm,則此四棱錐的體積為V1=13×12×3=12(cm3又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質量為0.9×132=118.8(g).四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在三棱錐A-BCD中,E,H分別是線段AB,AD的中點,F,G分別是線段CB,CD上的點,且CFBF=CG(1)四邊形EFGH是梯形;(2)AC,EF,GH三條直線相交于同一點.證明(1)∵E,H分別是邊AB,AD的中點,∴EH∥BD,且EH=12BD又CFCB∴FG∥BD,且FG=13BD因此EH∥FG且EH≠FG,故四邊形EFGH是梯形.(2)由(1)知EF,HG相交,設EF∩HG=K,∵K∈EF,EF?平面ABC,∴K∈平面ABC,同理K∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,∴K∈AC,故EF和GH的交點在直線AC上.所以AC,EF,GH三條直線相交于同一點.18.(12分)如圖,矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直,MB∥NC,MN⊥MB.(1)求證:平面AMB∥平面DNC;(2)若MC⊥CB,求證:BC⊥AC.證明(1)∵MB∥NC,MB?平面DNC,NC?平面DNC,∴MB∥平面DNC.∵四邊形AMND是矩形,∴MA∥DN.又MA?平面DNC,DN?平面DNC,∴MA∥平面DNC.又MA∩MB=M,且MA,MB?平面AMB,∴平面AMB∥平面DNC.(2)∵四邊形AMND是矩形,∴AM⊥MN.∵平面AMND⊥平面MBCN,且平面AMND∩平面MBCN=MN,∴AM⊥平面MBCN.∵BC?平面MBCN,∴AM⊥BC.∵MC⊥BC,MC∩AM=M,∴BC⊥平面AMC,∵AC?平面AMC,∴BC⊥AC.19.(12分)(2020貴州貴陽模擬)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵,將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵ABM-DCP與芻童ABCD-A1B1C1D1的組合體中,∠MAB=90°,AB=AD,A1B1=A1D1.(1)求證:直線BD⊥平面MAC;(2)已知AB=1,A1D1=2,MA=3,且三棱錐A-A1B1D1的體積V=233,臺體體積公式:V=13(S'+S'S+S)h,其中S',S分別為臺體上、下底面面積,h(1)證明由題意可知,ABM-DCP是底面為直角三角形且側棱與底面垂直的棱柱,∴AD⊥平面MAB,則AD⊥MA.又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD,AB?平面ABCD,∴MA⊥平面ABCD,∴MA⊥BD,又AB=AD,∴四邊形ABCD為正方形,得BD⊥AC.又MA∩AC=A,MA,AC?平面MAC,則BD⊥平面MAC.(2)解設芻童ABCD-A1B1C1D1的高為h,則三棱錐A-A1B1D1的體積V=13×12×2×2×h=23故該組合體的體積V1=12×1×3×1+13×(12+22+12×20.(12分)如圖①所示的等邊△ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E,F分別是AC,BC邊的中點.現將△ABC沿CD折疊,使平面ADC⊥平面BDC,如圖②所示.(1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;(2)求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比.解(1)AB∥平面DEF.理由如下:∵E,F分別為AC,BC的中點,∴AB∥EF.∵AB?平面DEF,EF?平面DEF,∴AB∥平面DEF.(2)以DA,DB,DC為棱補成一個長方體,則四面體A-DBC的外接球即為長方體的外接球.設球的半徑為R,則a2+a2+3a2=(2R)2,∴R2=54a2,于是球的體積V1=43πR3=556又VA-DBC=13S△DBC·AD=36aVE-DFC=13S△DFC·12AD=324∴V121.(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,側棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中點.(1)求異面直線AE與A1C所成角的余弦值;(2)求直線A1C與平面BCC1B1所成角的正切值.解(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,取C1B1的中點H,連A1H與HC.∵E是BC的中點,∴A1H∥AE,∠CA1H是異面直線AE與A1C所成角.∵底面ABC是等腰直角三角形,E是BC的中點,∴AE⊥BC,∴A1H⊥BC