2020屆高中數學一輪復習人教A版離散型隨機變量分布列PPT課件(98張)【知識梳理】1.離散型隨機變量X的均值與方差已知離散型隨機變量X的分布列為，則有X=kx1x2…xi…xnP(X=k)p1p2…pi…pn【知識梳理】X=kx1x2…xi…xnP(X=k)p1p2…(1)均值(數學期望)：計算公式：EX=_______________________.

作用：反映了離散型隨機變量取值的_________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn平均水平(1)均值(數學期望)：x1p1+x2p2+…+xipi+…

(2)方差：計算公式：DX=_____________.作用：刻畫了隨機變量X與其均值EX的_____________.(3)標準差：_____.平均偏離程度(2)方差：平均偏離程度2.幾個特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點分布EX=pDX=p(1-p)二項分布EX=npDX=np(1-p)2.幾個特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點分布EX=pDX【常用結論】均值與方差(1)均值EX=xipi.(2)方差DX=(xi-EX)2pi=EX2-E2X.【常用結論】(3)若X服從兩點分布，則(DX)max=，此時p=.(4)若a，b為常數，X是隨機變量，則E(aX+b)=aEX+b，D(aX+b)=a2DX.(3)若X服從兩點分布，則(DX)max=，此時p=【基礎自測】題組一：走出誤區1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數學期望是算術平均數概念的推廣，與概率無關. (

)【基礎自測】(2)在投籃比賽中，投中1次得1分，不中得0分.如果某運動員投籃命中的概率為0.6，那么他投籃1次的得分X的均值為0.6. (

)(3)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事. (

)(2)在投籃比賽中，投中1次得1分，不中得0分.如果某運動員提示：(1)×.數學期望與概率有關.(2)√.X服從兩點分布，均值為0.6.(3)×.均值反映平均水平，方差反映穩定性.提示：2.某班有14名學生數學成績優秀，若從該班隨機找出5名學生，其中數學成績優秀的學生數X～B則E(2X+1)= (

)A.

B.

C.3

D.

2.某班有14名學生數學成績優秀，若從該班隨機找出【解析】選D.因為X～B，所以E(X)=，所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=.【解析】選D.因為X～B，所以E(X)=，3.隨機變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，則D(ξ)=_______.

【解析】設ξ=1時的概率為p，則E(ξ)=0×+1×p+2=1，解得p=.故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.答案：

3.隨機變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ=0)=，E題組二：走進教材1.(選修2-3P61·例3)已知隨機變量ξ的分布列是：則D(ξ)= (

)A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2ξ123P0.40.20.4題組二：走進教材ξ123P0.40.20.4【解析】選B.E(ξ)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2，則D(ξ)=(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.2+(3-2)2×0.4=0.8.【解析】選B.E(ξ)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.(選修2-3P62·A組T3)已知某離散型隨機變量ξ的數學期望E(ξ)=，ξ的分布列如下，則a=_______.

ξ0123Pa

b2.(選修2-3P62·A組T3)已知某離散型隨機變量ξ的數【解析】因為E(ξ)==0×a+1×+2×+3b，所以b=.因為P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1，所以a+++=1，所以a=.答案：

【解析】因為E(ξ)==0×a+1×+2×考點一均值與方差的計算【題組練透】1.已知某離散型隨機變量X服從的分布列如表，則隨機變量X的方差D(X)等于 (

)X01Pm2m考點一均值與方差的計算X01Pm2m【解析】選B.方法一：由m+2m=1得m=，所以E(X)=0×+1×=，D(X)=【解析】選B.方法一：由m+2m=1得m=，方法二：由m+2m=1得m=，根據兩點分布的期望和方差公式可得E(X)=，D(X)=方法二：由m+2m=1得m=，2.有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，從中任意抽出3張卡片，設3張卡片上的數字之和為X，則X的數學期望是 (

)A.7.8 B.8 C.16 D.15.62.有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，從中任【解析】選A.X的取值為6，9，12，相應的概率P(X=6)=P(X=9)=P(X=12)=E(X)=6×+9×+12×=7.8.【解析】選A.X的取值為6，9，12，相應的概率3.已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)的對稱軸在y軸的左側，其中a，b∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，在這些拋物線中，若隨機變量ξ=|a-b|，則D(ξ)= (

)A. B. C. D.

3.已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)的對稱軸在y軸的左側【解析】選A.對稱軸在y軸的左側(a與b同號)的拋物線有18條，ξ的可能取值為0，1，2.P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，則E(ξ)=，所以D(ξ)=【解析】選A.對稱軸在y軸的左側(a與b同號)的拋物4.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學.若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規定猜對得1分，猜不對得0分，這兩個同學各猜1次，則他們的得分之和X的數學期望為 (

)A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.14.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張【解析】選A.由題意，X=0，1，2，則P(X=0)=0.6×0.5=0.3，P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5，P(X=2)=0.4×0.5=0.2，所以E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.【解析】選A.由題意，X=0，1，2，則P(X=0)=0.6

【規律方法】求均值與方差的方法技巧技巧方法適用題型巧用特殊分布列利用相應公式直接求解兩點分布、二項分布巧借性質利用E(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)兩隨機變量有明確的線性關系利用公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2計算復雜的方差【規律方法】求均值與方差的方法技巧技巧方法適用題型巧用特殊考點二二項分布的均值與方差【典例】(1)(2017·全國卷Ⅰ)一批產品的二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數，則D(X)=_______.

考點二二項分布的均值與方差(2)(2018·湖北荊州中學模擬)為響應綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”.其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：①根據行駛里程數按1元/公里計費；(2)(2018·湖北荊州中學模擬)為響應綠色出行，某市在推②行駛時間不超過40分時，按0.12元/分計費；超過40分時，超出部分按0.20元/分計費.已知王先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間t(分)是一個隨機變量.現統計了50次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示：②行駛時間不超過40分時，按0.12元/分計費；超過40分時將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為(20，60]分.時間t/分(20，30](30，40](40，50](50，60]頻數2182010將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車①寫出王先生一次租車費用y(元)與用車時間t(分)的函數關系式；②若王先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”，設ξ表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數，求ξ的分布列和期望；①寫出王先生一次租車費用y(元)與用車時間t(分)的函數關系③若公司每月給1000元的車補，請估計王先生每月(按22天計算)的車補是否足夠上、下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由.(同一時段，用該區間的中點值作代表) 世紀金榜導學號③若公司每月給1000元的車補，請估計王先生每月(按22天【解析】(1)X～B(100，0.02)，所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案：1.96【解析】(1)X～B(100，0.02)，(2)①當20<t≤40時，y=0.12t+15，當40<t≤60時，y=0.12×40+0.20×(t-40)+15=0.2t+11.8，所以y=

(2)①當20<t≤40時，y=0.12t+15，②王先生租用一次新能源分時租賃汽車，為“路段暢通”的概率P=ξ可取0，1，2，3.P(ξ=0)=

②王先生租用一次新能源分時租賃汽車，P(ξ=1)=

P(ξ=2)=

P(ξ=3)=

ξ的分布列為ξ0123P

P(ξ=1)=ξE(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.2或依題意ξ～BE(ξ)=3×=1.2，③王先生租用一次新能源分時租賃汽車上下班，平均用車時間t=25×+35×+45×+55×=42.6(分鐘)，E(ξ)=0×+1×+2×+3×每次上下班租車的費用約為0.2×42.6+11.8=20.32(元)，一個月上下班租車費用約為20.32×22×2=894.08<1000.估計王先生每月的車補夠上下班租用新能源分時租賃汽車用.每次上下班租車的費用約為【規律方法】與二項分布有關的期望、方差的求法(1)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)=np，D(ξ)=np(1-p)求解，可大大減少計算量.【規律方法】(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同樣還可求出D(aξ+b).(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一【對點訓練】一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖.如圖所示.

【對點訓練】將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率.(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立【解析】(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，【解析】(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6，P(A2)=0.003×50=0.15，P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值為0，1，2，3，相應的概率為P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064，P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288，因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，P(X=3)=·0.63=0.216.X的分布列為因為X～B(3，0.6)，所以期望E(X)=3×0.6=1.8，方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.X0123P0.0640.2880.4320.216P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，X考點三離散型隨機變量均值、方差的求法及應用【明考點·知考法】在高考題中，離散型隨機變量均值、方差是必考的考點，試題常以解答題形式出現，考查與互斥事件、相互獨立事件概率的計算、離散型隨機變量分布列、離散型隨機變量的均值和方差的計算及其意義的實際應用.解題過程中常滲透分類與整合思想.考點三離散型隨機變量均值、方差的求法及應用命題角度1求離散型隨機變量均值、方差【典例】(2018·安徽八校聯考)已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關小組，參加某大型戶外競技類闖關活動，活動共有四關，設男生闖過命題角度1求離散型隨機變量均值、方差第一至第四關的概率依次是女生闖過第一至第四關的概率依次是第一至第四關的概率依次是女生闖過第一至(1)求男生闖過四關的概率.(2)設X表示四人沖關小組闖過四關的人數，求隨機變量X的分布列和期望. 世紀金榜導學號(1)求男生闖過四關的概率.【解析】(1)記男生四關都闖過為事件A，則P(A)=(2)記女生四關都闖過為事件B，則P(B)=由題意，知X的所有可能取值為0，1，2，3，4.【解析】(1)記男生四關都闖過為事件A，因為P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=因為P(X=0)=P(X=3)=P(X=4)=所以X的分布列為所以E(X)=X01234P

P(X=3)=X01234P【答題模板微課】本例的模板化過程：掃碼聽名師講解建模板：【答題模板微課】【解析】(1)記男生四關都闖過為事件A，則P(A)=【解析】(1)記男生四關都闖過為事件A，(2)記女生四關都闖過為事件B，則P(B)=由題意，知X的所有可能取值為0，1，2，3，4.因為P(X=0)=P(X=1)=(2)記女生四關都闖過為事件B，P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)= ………求概率P(X=2)=所以X的分布列為………………求分布列所以E(X)=……………………求均值X01234P

所以X的分布列為X01234P套模板：(2018·益陽市、湘潭市高三調考)某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況.規定一名運動員出線記1分，未出線記0分.假設甲、乙、丙出線的概率分別為他們出線與未出線是相互獨立的.套模板：(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率.(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望.(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率.【解析】(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D，則P(D)=1-P()=【解析】(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事(2)由題意可得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，則P(ξ=0)=P()=P(ξ=1)=P(A)+P()+P(C)(2)由題意可得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ξ=3)=P(ABC)= ………………求概率所以ξ的分布列為：ξ0123P

P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(………………求分布列E(ξ)=…………………求均值………………求分布列【狀元筆記】均值與方差的一般計算步驟(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取的值.(2)求X取各個值的概率，寫出分布列.(3)根據分布列，由均值的定義求出均值EX，進一步由公式DX=(xi-E(X))2pi求出DX.【狀元筆記】命題角度2離散型隨機變量均值、方差的實際應用【典例】(2018·蕪湖模擬)某市疾控中心流感監測結果顯示，自2017年11月起，該市流感活動一度出現上升趨勢，尤其是12月以來，呈現快速增長態勢，截至目前流感病毒活動度仍處于較高水平，為了預防感冒快速擴散，某校醫務室采取積極方式，對感染者進行命題角度2離散型隨機變量均值、方差的實際應用短暫隔離直到康復.假設某班級已知6位同學中有1位同學被感染，需要通過化驗血液來確定感染的同學，血液化驗結果呈陽性即為感染，呈陰性即未被感染.下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染同學為止；方案乙：先任取3個同學，將他們的血液短暫隔離直到康復.假設某班級已知6位同學中有1位同混在一起化驗，若結果呈陽性則表明感染同學為這3位中的1位，后再逐個化驗，直到能確定感染同學為止；若結果呈陰性則在另外3位同學中逐個檢測.混在一起化驗，若結果呈陽性則表明感染同學為這3位中的1位，后(1)求依方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數的概率.(2)η表示依方案甲所需化驗次數，ξ表示依方案乙所需化驗次數，假設每次化驗的費用都相同，請從經濟角度考慮哪種化驗方案最佳. 世紀金榜導學號(1)求依方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數的概率.【解析】(1)設Ai(i=1，2，3，4，5)表示依方案甲需化驗為第i次，Bj(j=2，3)表示依方案乙需化驗為第j次，P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，P(B2)=P(B3)=1-P(B2)=，【解析】(1)設Ai(i=1，2，3，4，5)表示依方案A表示方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數.P(A)=P(A2B2+A3B3)=P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=A表示方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數.(2)η的可能取值為1，2，3，4，5.ξ的可能取值為2，3.P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，Eη=1×+2×+3×+4×+5×=(次)，P(ξ=2)=P(B2)=，(2)η的可能取值為1，2，3，4，5.ξ的可能取值P(ξ=3)=P(B3)=，所以Eξ=2×+3×=(次)所以方案乙更佳.P(ξ=3)=P(B3)=，【狀元筆記】(1)D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統計中常用來描述X的分散程度.【狀元筆記】(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要的理論依據，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了【對點練·找規律】某投資公司在2017年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發生的概率分別為和；【對點練·找規律】項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，也可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合適的項目，并說明理由.項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，【解析】若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元，則X1的分布列為所以E(X1)=300×+(-150)×=200(萬元).X1300-150P

【解析】若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元，則X1的分布列若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的分布列為X2500-3000P

若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的分布列為X250所以E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(萬元).D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35000，D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140000.所以E(X2)=500×+(-300)×+0×所以E(X1)=E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資.

所以E(X1)=E(X2)，D(X1)<D(X2)，數學能力系列31——離散型隨機變量的均值與方差中體現的應用意識數學能力系列31——離散型隨機變量的均值與方差中體現的應用意【能力詮釋】應用意識指能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決相關學科、生產、生活中簡單的數學問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題.【能力詮釋】應用意識指能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決解答離散型隨機變量的均值與方差實際應用題時，要注意以下兩點：(1)明確題意，找準變量之間的關系，注意所學概率模型(相互獨立事件、二項分布等)的應用.(2)變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度，其中標準差與隨機變量本身具有相同的單位.解答離散型隨機變量的均值與方差實際應用題時，要注意以下兩點：【典例】(2018·湖南十校聯考)為響應國家“精準扶貧，產業扶貧”的戰略，進一步優化能源消費結構，某市決定在地處山區的A縣推行光伏發電項目.在該縣山區居民中隨機抽取50戶，統計其年用電量得到以下統計表.以樣本的頻率作為概率.【典例】(2018·湖南十校聯考)為響應國家“精準扶貧，產業(1)在該縣山區居民中隨機抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數為X，求X的數學期望.用電量(單位：度)(0，200](200，400](400，600](600，800](800，1000]戶數51510155用電量(0，200](200，(400，(600，(800，(2)已知該縣某山區自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發電機組，該機組所發電量除保證該村正常用電外，剩余電量國家電網以0.8元/度的價格進行收購.經測算每千瓦裝機容量的發電機組年平均發電1000度，試估計該機組每年所發電量除保證正常用電外還能為該村創造直接收益多少元？(2)已知該縣某山區自然村有居民300戶.若計劃在該村2020屆高中數學一輪復習人教A版離散型隨機變量分布列PPT課件(98張)【解析】(1)記在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶，其年用電量不超過600度為事件A，則P(A)=.由已知可得從該縣山區居民中隨機抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數為X，X服從二項分布，即X～B故E(X)=10×=6.【解析】(1)記在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶，(2)設該縣山區居民戶年均用電量為E(Y)，由抽樣可得E(Y)=100×+300×+500×+700×+900×=500(度).則該自然村年均用電量約150000度.(2)設該縣山區居民戶年均用電量為E(Y)，又該村所裝發電機組年預計發電量為300000度，故該機組每年所發電量除保證正常用電外還能剩余電量約150000度，能為該村創造直接收益150000×0.8=120000(元).又該村所裝發電機組年預計發電量為300000度，【技法點撥】解離散型隨機變量的均值和方差應用問題的方法(1)求離散型隨機變量的期望與方差關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用期望、方差公式進行計算.【技法點撥】(2)要注意觀察隨機變量的概率分布特征，若屬于二項分布，可用二項分布的期望與方差公式計算，則更為簡單.(3)在實際問題中，若兩個隨機變量X1，X2，有E(X1)=E(X2)或E(X1)與E(X2)較為接近時，就需要用D(X1)與D(X2)來比較兩個隨機變量的穩定程度.(2)要注意觀察隨機變量的概率分布特征，若屬于二項分布，可用【即時訓練】某商店舉行三周年店慶活動，每位會員交會員費50元，可享受20元的消費，并參加一次抽獎活動，從一個裝有標號分別為1，2，3，4，5，6的6只均勻小球的抽獎箱中，有放回地抽兩次球，抽得的兩球標號之和為12，【即時訓練】則獲一等獎價值為a元的禮品，標號之和為11或10，獲二等獎價值100元的禮品，標號之和小于10不得獎.(1)求各會員獲獎的概率.(2)設商店抽獎環節收益為ξ元，求ξ的分布列；假如商店打算不賠錢，a最多可設為多少元？則獲一等獎價值為a元的禮品，標號之和為11或10，獲二等獎價【解析】(1)抽兩次得標號之和為12的概率為P(A)=

抽兩次得標號之和為11或10的概率為P(B)=2×

所以各會員獲獎的概率為P(C)=P(A)+P(B)=.

【解析】(1)抽兩次得標號之和為12的概率為(2)隨機變量ξ的所有可能取值為：30-a，-70，30，ξ的分布列為：ξ30-a-7030P

(2)隨機變量ξ的所有可能取值為：30-a，-70，30，ξ由E(ξ)=(30-a)×+(-70)×+30×≥0，得a≤580元.所以a最多可設為580元.由E(ξ)=(30-a)×+(-70)×+30×2020屆高中數學一輪復習人教A版離散型隨機變量分布列PPT課件(98張)【知識梳理】1.離散型隨機變量X的均值與方差已知離散型隨機變量X的分布列為，則有X=kx1x2…xi…xnP(X=k)p1p2…pi…pn【知識梳理】X=kx1x2…xi…xnP(X=k)p1p2…(1)均值(數學期望)：計算公式：EX=_______________________.

作用：反映了離散型隨機變量取值的_________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn平均水平(1)均值(數學期望)：x1p1+x2p2+…+xipi+…

(2)方差：計算公式：DX=_____________.作用：刻畫了隨機變量X與其均值EX的_____________.(3)標準差：_____.平均偏離程度(2)方差：平均偏離程度2.幾個特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點分布EX=pDX=p(1-p)二項分布EX=npDX=np(1-p)2.幾個特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點分布EX=pDX【常用結論】均值與方差(1)均值EX=xipi.(2)方差DX=(xi-EX)2pi=EX2-E2X.【常用結論】(3)若X服從兩點分布，則(DX)max=，此時p=.(4)若a，b為常數，X是隨機變量，則E(aX+b)=aEX+b，D(aX+b)=a2DX.(3)若X服從兩點分布，則(DX)max=，此時p=【基礎自測】題組一：走出誤區1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數學期望是算術平均數概念的推廣，與概率無關. (

)【基礎自測】(2)在投籃比賽中，投中1次得1分，不中得0分.如果某運動員投籃命中的概率為0.6，那么他投籃1次的得分X的均值為0.6. (

)(3)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事. (

)(2)在投籃比賽中，投中1次得1分，不中得0分.如果某運動員提示：(1)×.數學期望與概率有關.(2)√.X服從兩點分布，均值為0.6.(3)×.均值反映平均水平，方差反映穩定性.提示：2.某班有14名學生數學成績優秀，若從該班隨機找出5名學生，其中數學成績優秀的學生數X～B則E(2X+1)= (

)A.

B.

C.3

D.

2.某班有14名學生數學成績優秀，若從該班隨機找出【解析】選D.因為X～B，所以E(X)=，所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=.【解析】選D.因為X～B，所以E(X)=，3.隨機變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，則D(ξ)=_______.

【解析】設ξ=1時的概率為p，則E(ξ)=0×+1×p+2=1，解得p=.故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.答案：

3.隨機變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ=0)=，E題組二：走進教材1.(選修2-3P61·例3)已知隨機變量ξ的分布列是：則D(ξ)= (

)A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2ξ123P0.40.20.4題組二：走進教材ξ123P0.40.20.4【解析】選B.E(ξ)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2，則D(ξ)=(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.2+(3-2)2×0.4=0.8.【解析】選B.E(ξ)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.(選修2-3P62·A組T3)已知某離散型隨機變量ξ的數學期望E(ξ)=，ξ的分布列如下，則a=_______.

ξ0123Pa

b2.(選修2-3P62·A組T3)已知某離散型隨機變量ξ的數【解析】因為E(ξ)==0×a+1×+2×+3b，所以b=.因為P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1，所以a+++=1，所以a=.答案：

【解析】因為E(ξ)==0×a+1×+2×考點一均值與方差的計算【題組練透】1.已知某離散型隨機變量X服從的分布列如表，則隨機變量X的方差D(X)等于 (

)X01Pm2m考點一均值與方差的計算X01Pm2m【解析】選B.方法一：由m+2m=1得m=，所以E(X)=0×+1×=，D(X)=【解析】選B.方法一：由m+2m=1得m=，方法二：由m+2m=1得m=，根據兩點分布的期望和方差公式可得E(X)=，D(X)=方法二：由m+2m=1得m=，2.有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，從中任意抽出3張卡片，設3張卡片上的數字之和為X，則X的數學期望是 (

)A.7.8 B.8 C.16 D.15.62.有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，從中任【解析】選A.X的取值為6，9，12，相應的概率P(X=6)=P(X=9)=P(X=12)=E(X)=6×+9×+12×=7.8.【解析】選A.X的取值為6，9，12，相應的概率3.已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)的對稱軸在y軸的左側，其中a，b∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，在這些拋物線中，若隨機變量ξ=|a-b|，則D(ξ)= (

)A. B. C. D.

3.已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)的對稱軸在y軸的左側【解析】選A.對稱軸在y軸的左側(a與b同號)的拋物線有18條，ξ的可能取值為0，1，2.P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，則E(ξ)=，所以D(ξ)=【解析】選A.對稱軸在y軸的左側(a與b同號)的拋物4.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學.若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規定猜對得1分，猜不對得0分，這兩個同學各猜1次，則他們的得分之和X的數學期望為 (

)A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.14.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張【解析】選A.由題意，X=0，1，2，則P(X=0)=0.6×0.5=0.3，P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5，P(X=2)=0.4×0.5=0.2，所以E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.【解析】選A.由題意，X=0，1，2，則P(X=0)=0.6

【規律方法】求均值與方差的方法技巧技巧方法適用題型巧用特殊分布列利用相應公式直接求解兩點分布、二項分布巧借性質利用E(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)兩隨機變量有明確的線性關系利用公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2計算復雜的方差【規律方法】求均值與方差的方法技巧技巧方法適用題型巧用特殊考點二二項分布的均值與方差【典例】(1)(2017·全國卷Ⅰ)一批產品的二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數，則D(X)=_______.

考點二二項分布的均值與方差(2)(2018·湖北荊州中學模擬)為響應綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”.其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：①根據行駛里程數按1元/公里計費；(2)(2018·湖北荊州中學模擬)為響應綠色出行，某市在推②行駛時間不超過40分時，按0.12元/分計費；超過40分時，超出部分按0.20元/分計費.已知王先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間t(分)是一個隨機變量.現統計了50次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示：②行駛時間不超過40分時，按0.12元/分計費；超過40分時將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為(20，60]分.時間t/分(20，30](30，40](40，50](50，60]頻數2182010將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車①寫出王先生一次租車費用y(元)與用車時間t(分)的函數關系式；②若王先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”，設ξ表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數，求ξ的分布列和期望；①寫出王先生一次租車費用y(元)與用車時間t(分)的函數關系③若公司每月給1000元的車補，請估計王先生每月(按22天計算)的車補是否足夠上、下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由.(同一時段，用該區間的中點值作代表) 世紀金榜導學號③若公司每月給1000元的車補，請估計王先生每月(按22天【解析】(1)X～B(100，0.02)，所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案：1.96【解析】(1)X～B(100，0.02)，(2)①當20<t≤40時，y=0.12t+15，當40<t≤60時，y=0.12×40+0.20×(t-40)+15=0.2t+11.8，所以y=

(2)①當20<t≤40時，y=0.12t+15，②王先生租用一次新能源分時租賃汽車，為“路段暢通”的概率P=ξ可取0，1，2，3.P(ξ=0)=

②王先生租用一次新能源分時租賃汽車，P(ξ=1)=

P(ξ=2)=

P(ξ=3)=

ξ的分布列為ξ0123P

P(ξ=1)=ξE(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.2或依題意ξ～BE(ξ)=3×=1.2，③王先生租用一次新能源分時租賃汽車上下班，平均用車時間t=25×+35×+45×+55×=42.6(分鐘)，E(ξ)=0×+1×+2×+3×每次上下班租車的費用約為0.2×42.6+11.8=20.32(元)，一個月上下班租車費用約為20.32×22×2=894.08<1000.估計王先生每月的車補夠上下班租用新能源分時租賃汽車用.每次上下班租車的費用約為【規律方法】與二項分布有關的期望、方差的求法(1)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)=np，D(ξ)=np(1-p)求解，可大大減少計算量.【規律方法】(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同樣還可求出D(aξ+b).(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一【對點訓練】一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖.如圖所示.

【對點訓練】將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率.(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立【解析】(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，【解析】(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6，P(A2)=0.003×50=0.15，P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值為0，1，2，3，相應的概率為P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064，P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288，因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，P(X=3)=·0.63=0.216.X的分布列為因為X～B(3，0.6)，所以期望E(X)=3×0.6=1.8，方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.X0123P0.0640.2880.4320.216P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，X考點三離散型隨機變量均值、方差的求法及應用【明考點·知考法】在高考題中，離散型隨機變量均值、方差是必考的考點，試題常以解答題形式出現，考查與互斥事件、相互獨立事件概率的計算、離散型隨機變量分布列、離散型隨機變量的均值和方差的計算及其意義的實際應用.解題過程中常滲透分類與整合思想.考點三離散型隨機變量均值、方差的求法及應用命題角度1求離散型隨機變量均值、方差【典例】(2018·安徽八校聯考)已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關小組，參加某大型戶外競技類闖關活動，活動共有四關，設男生闖過命題角度1求離散型隨機變量均值、方差第一至第四關的概率依次是女生闖過第一至第四關的概率依次是第一至第四關的概率依次是女生闖過第一至(1)求男生闖過四關的概率.(2)設X表示四人沖關小組闖過四關的人數，求隨機變量X的分布列和期望. 世紀金榜導學號(1)求男生闖過四關的概率.【解析】(1)記男生四關都闖過為事件A，則P(A)=(2)記女生四關都闖過為事件B，則P(B)=由題意，知X的所有可能取值為0，1，2，3，4.【解析】(1)記男生四關都闖過為事件A，因為P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=因為P(X=0)=P(X=3)=P(X=4)=所以X的分布列為所以E(X)=X01234P

P(X=3)=X01234P【答題模板微課】本例的模板化過程：掃碼聽名師講解建模板：【答題模板微課】【解析】(1)記男生四關都闖過為事件A，則P(A)=【解析】(1)記男生四關都闖過為事件A，(2)記女生四關都闖過為事件B，則P(B)=由題意，知X的所有可能取值為0，1，2，3，4.因為P(X=0)=P(X=1)=(2)記女生四關都闖過為事件B，P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)= ………求概率P(X=2)=所以X的分布列為………………求分布列所以E(X)=……………………求均值X01234P

所以X的分布列為X01234P套模板：(2018·益陽市、湘潭市高三調考)某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況.規定一名運動員出線記1分，未出線記0分.假設甲、乙、丙出線的概率分別為他們出線與未出線是相互獨立的.套模板：(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率.(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望.(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率.【解析】(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D，則P(D)=1-P()=【解析】(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事(2)由題意可得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，則P(ξ=0)=P()=P(ξ=1)=P(A)+P()+P(C)(2)由題意可得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ξ=3)=P(ABC)= ………………求概率所以ξ的分布列為：ξ0123P

P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(………………求分布列E(ξ)=…………………求均值………………求分布列【狀元筆記】均值與方差的一般計算步驟(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取的值.(2)求X取各個值的概率，寫出分布列.(3)根據分布列，由均值的定義求出均值EX，進一步由公式DX=(xi-E(X))2pi求出DX.【狀元筆記】命題角度2離散型隨機變量均值、方差的實際應用【典例】(2018·蕪湖模擬)某市疾控中心流感監測結果顯示，自2017年11月起，該市流感活動一度出現上升趨勢，尤其是12月以來，呈現快速增長態勢，截至目前流感病毒活動度仍處于較高水平，為了預防感冒快速擴散，某校醫務室采取積極方式，對感染者進行命題角度2離散型隨機變量均值、方差的實際應用短暫隔離直到康復.假設某班級已知6位同學中有1位同學被感染，需要通過化驗血液來確定感染的同學，血液化驗結果呈陽性即為感染，呈陰性即未被感染.下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染同學為止；方案乙：先任取3個同學，將他們的血液短暫隔離直到康復.假設某班級已知6位同學中有1位同混在一起化驗，若結果呈陽性則表明感染同學為這3位中的1位，后再逐個化驗，直到能確定感染同學為止；若結果呈陰性則在另外3位同學中逐個檢測.混在一起化驗，若結果呈陽性則表明感染同學為這3位中的1位，后(1)求依方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數的概率.(2)η表示依方案甲所需化驗次數，ξ表示依方案乙所需化驗次數，假設每次化驗的費用都相同，請從經濟角度考慮哪種化驗方案最佳. 世紀金榜導學號(1)求依方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數的概率.【解析】(1)設Ai(i=1，2，3，4，5)表示依方案甲需化驗為第i次，Bj(j=2，3)表示依方案乙需化驗為第j次，P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，P(B2)=P(B3)=1-P(B2)=，【解析】(1)設Ai(i=1，2，3，4，5)表示依方案A表示方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數.P(A)=P(A2B2+A3B3)=P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=A表示方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數.(2)η的可能取值為1，2，3，4，5.ξ的可能取值為2，3.P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，Eη=1×+2×+3×+4×+5×=(次)，P(ξ=2)=P(B2)=，(2)η的可能取值為1，2，3，4，5.ξ的可能取值P(ξ=3)=P(B3)=，所以Eξ=2×+3×=(次)所以方案乙更佳.P(ξ=3)=P(B3)=，【狀元筆記】(1)D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統計中常用來描述X的分散程度.【狀元筆記】(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要的理論依據，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了【對點練·找規律】某投資公司在2017年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發生的概率分別為和；【對點練·找規律】項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，也可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合適的項目，并說明理由.項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，【解析】若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元，則X1的分布列為所以E(X1)=300×+(-150)×=200(萬元).X1300-150P

【解析】若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元，則X1的分布列若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的分布列為X2500-3000P

若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的分布列為X250所以E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(萬元).D(X1)=(300-2