信號與系統

1第一章信號與系統基本概念1.0信號與系統1.1信號的描述與分類1.2信號的基本特性1.3信號的基本運算1.4階躍信號和沖激信號1.5系統的描述1.6系統的特性和分類1.7信號與系統的分析方法21.0信號與系統《信號與系統》是電類相關專業的學生修的專業理論基礎課程之一隨著信息科學的應用與發展，信號與系統的問題無處不在通訊古老通訊方式：烽火、旗語、信號燈近代通訊方式：電報、電話、無線通訊現代通訊方式：計算機網絡通訊、視頻電視傳播、衛星傳輸、移動通訊3各種傳輸信號的方法：烽火、鼓聲、旗語、電信號信號按物理屬性分：電信號和非電信號,它們可以相互轉換。電話網電腦或終端調制解調器調制解調器電腦或終端收發電子郵件什么是信號？信號是消息的載體，一般隨時間變化電信號傳輸優點：容易產生，便于控制，易于處理。本課程討論電信號---簡稱“信號”1.0信號與系統41.0信號與系統系統是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。什么是系統

無線電廣播系統的組成51.0信號與系統

激勵、系統與響應之間關系61.1信號的描述與分類語音信號：聲壓隨時間變化的函數。

一維信號語音信號“你好”的波形71.1信號的描述與分類靜止的單色圖象：亮度隨空間位置變化的信號f(x,y)。二維信號單色Lena圖像81.1信號的描述與分類靜止的彩色圖象：三基色紅(R)、綠(G)、藍(B)隨空間位置變化的信號二維信號彩色圖像9信號的分類確定信號

能夠以確定的時間函數表示的信號。隨機信號

也稱為不確定信號，不是時間的確定函數。10信號的分類連續時間信號（時間變量t連續）離散時間信號抽樣信號——數字信號——時間離散幅值連續時間離散幅值離散11Ot()tf()nfn()nfn模擬信號：時間和幅值均為連續的信號。抽樣信號：時間是離散的，幅值是連續的信號。數字信號：時間和幅值均為離散的信號。()tfOt三角波離散時間信號(1)(2)(3)15On1-100sinwnt0sinW1信號的分類12連續（時間）信號正弦信號單位階躍信號延時的單邊指數信號13離散（時間）信號序列114離散（時間）信號序列215離散（時間）信號序列316

連續時間信號n012345t0連續時間信號（可包含不連續點）離散時間信號（抽樣信號）f(t)t0數字信號f(n)

(2)

(1)(1)01234n判斷下列波形是連續時間還是離散時間信號，若是離散時間信號是否為數字信號？值域連續值域不連續t<0時，f(t)=0的信號稱為有始信號17周期信號與非周期信號周期信號(periodsignal)是定義在(-∞，∞)區間，每隔一定時間T(或整數N），按相同規律重復變化的信號。連續周期信號f(t)滿足:f(t)=f(t

+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號f(k)滿足:f(k)=f(k

+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關系的最小T(或整數N)稱為該信號的周期。18周期信號與非周期信號不具有周期性的信號稱為非周期信號。19

例

判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt

解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數。（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s

，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為ω2=3rad/s

，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數2π。（2）cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數，故f2(t)為非周期信號。周期信號與非周期信號20能量信號功率信號信號（1）信號f（t）的能量將信號f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗瞬時功率為，在區間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（2）信號的功率P若信號f(t)的功率有界，即P<∞,則稱為功率有限信號，簡稱功率信號，此時E=∞。若信號f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號，此時P=0。能量信號和功率信號21能量信號和功率信號周期信號屬于功率信號時限信號為能量信號周期信號f(t)（1）信號f（t）的能量（2）信號的功率Pf(t)

f(t)存在于有限時間內221.2信號的基本特性時間特性

信號持續時間大小變化快慢幅值變化頻率特性

頻譜頻帶寬度信息特性信號包含信息調制能量特性能量譜功率譜231.3信號的基本運算重要結論：任意信號f（t）可分解為偶分量與奇分量之和相加：t0t0ttt241.3信號的基本運算相乘：ttt251.3信號的基本運算

反轉（反褶）f（－t）：信號f（t）與f（－t）以縱軸鏡像對稱平移（移位）f(t-b)b>0,f(t)右移；b<0,f(t)左移∣b∣。

1-201t1-10

t2-1b1t-1+b11+bt-1-b1-bt右移b左移b反轉平移261.3信號的基本運算尺度變換（橫坐標展縮）f（at）a為常數|a|>1表示f(t)波形在時間軸上壓縮1/|a|倍|a|<1表示f(t)波形在時間軸上擴展|a|倍快速播放慢速播放ttt27信號基本操作舉例例：已知f（t）波形，求解：方法一、先反轉后平移－201t1-102t101右移28信號基本操作舉例方法二、先平移后反轉(注意：是對t的變換！)－201t1

0

01左移右移反轉129信號基本操作舉例例：信號f(t)的波形如圖所示。畫出信號f（－2t＋4）的波形。t01234t02468t-4-224t-4-224?30信號的基本運算微分140130tttt

101340-131信號的基本運算積分f(t)=t00f(t)t32信號的基本運算

差分前向差分后向差分33信號的基本運算前向差分后向差分原始離散信號

差分34信號的基本運算

迭分351.4階躍信號和沖激信號單位階躍函數unitstepfunction

1.定義此函數在t=0處不連續，函數值未定義。36單位階躍函數unitstepfunction。2.可代替電路中的開關，故又稱為開關函數37單位階躍函數unitstepfunction3.給函數的表示帶來方便tt38單位階躍函數unitstepfunction

(a)(b)(c)39例：將圖示波形用階躍函數表示單位階躍函數unitstepfunction40單位沖激函數unitimpulsefunction（1）1、定義41單位沖激函數unitimpulsefunction或定義為：42單位沖激函數unitimpulsefunction(2)

是偶函數2.的基本性質

(1)篩選性:設f(t)為一連續函數，則有43(3)沖擊函數的積分等于階躍函數單位沖激函數unitimpulsefunction44例：求圖示波形導數單位沖激函數unitimpulsefunction45單位階躍序列定義46單位脈沖序列定義47單位脈沖序列

常見等式48思考符號函數Sgn(t)如何用來表示？

定義491.5系統的描述通信系統的一般模型系統是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。重復一下：什么是系統？50通信系統通信的主要任務：快速、準確、經濟的傳遞信號

信息傳輸技術的工作對象：信號為了完成任務必須研究：信號的特性、系統的分析方法51汽車&照相機系統汽車腳壓力汽車制動激勵作用于系統產生響應舉例：汽車系統&照相機系統照相機光信號像片點火發動汽車起動52系統模型系統模型——是系統物理特性的數學抽象，以數學表達式或具有理想特性的符號組合圖形來表示系統特性。系統模型往往具有不同形式，以電系統為例，可以是：（1）由理想元器件互聯組成的電路圖；（2）由基本運算單元如加法器、乘法器、積分器等構成的模擬框圖；（3）由節點、傳輸支路組成的信號流圖；（4）也可以是在上述電路圖、模擬框圖或信號流圖的基礎上，按照一定規則建立的用于描述系統特性的數學方程。這種數學方程也稱為系統的數學模型。53力學系統簡單力學系統在光滑平面上，質量為m的鋼性球體在水平外力f(t)的作用下產生運動。設球體與平面間的摩擦力及空氣阻力忽略不計。將外力f(t)看作是系統的激勵，球體運動速度看作是系統的響應。根據牛頓第二定律，有

激勵

響應

狀態，初始條件54RC電路系統RC電路與電容電壓ＲＣ一階動態電路。圖中電容Ｃ具有初始電壓ＵO，開關Ｋ在ｔ＝０時刻閉合，且有ＵS>UO，使電容充電。55RC電路系統的數學描述

由一階動態電路知識可知，若以電容電壓Ｕc(t)為變量，該電路的動態方程式為：其全解為：

思考：同樣的ＲＣ一階動態電路，但不含電壓源。電容Ｃ具有初始電壓Ｕ0，開關Ｋ在ｔ＝０時刻閉合，使電容放電，以電容的電壓作為系統響應，是什么引起了響應？56例:

圖示電路系統。其中，電壓源us1(t)和us2(t)是電路的激勵。若設電感中電流iL(t)為電路響應，則由基爾霍夫定律列出節點a的支路電流方程為57n階連續系統如果描述連續系統輸入輸出關系的數學模型是n階微分方程，就稱該系統為n階連續系統。當系統的數學模型為n階線性常系數微分方程時，寫成一般形式有將i1(t)和iC(t)代入式(1.5－3)，經整理后可得58離散系統例

考察一個銀行存款本息總額的計算問題。儲戶每月定期在銀行存款。設第k個月的存款額是f(k)，銀行支付月息利率為β，每月利息按復利結算，試計算儲戶在k個月后的本息總額y(k)。解：k個月后儲戶的本息總額y(k)應該包括如下三部分款項：(1)前面(k-1)個月的本息總額y(k-1)；(2)y(k-1)的月息βy(k-1)；(3)第k個月存入的款額f(k)。于是有y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)=(1+β)y(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)

要知道第一個月的初始條件y(0)59斐波那契數列一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？

斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那么這句話可以寫成如下形式：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)

即y(k)-y(k-1)-y(k-2)=0,y(1)=y(2)=1.60差分方程與連續系統類似，由n階差分方程描述的離散系統稱為n階系統。當系統的數學模型(即輸入輸出方程)為n階線性常系數差分方程時，寫成一般形式有式中，a0=1。61常用的系統基本運算單元62系統框圖例1某連續系統的輸入輸出方程為y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)試畫出該系統的框圖表示。

解將輸入輸出方程改寫為y″(t)=f(t)-a1y′(t)-a0y(t)63系統框圖例2某連續系統的輸入輸出方程為y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)試畫出該系統的框圖表示。解該系統方程是一個一般的二階微分方程。方程中除含有輸入信號f(t)外，還包含有f(t)的導函數。對于這類系統，可以通過引用輔助函數的方法畫出系統框圖。64

n階系統框圖表示

n階系統輸入輸出方程的一般形式為

n階系統框圖表示65系統建模的注意點（1）電感器的低頻等效電路電感器的高頻等效電路LRLRC1、建模是有條件的，同一物理系統，在不同的條件下，可以得到不同形式的數學模型。嚴格地說，只能得到近似的模型。

66系統建模的注意點（2）2、不同的物理系統，經過抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的數學模型。CRS(t=0)RC電路的零輸入響應：（1）Mu(t)（速度）Bu(t)(阻力）（2）物體的減速運動：（1）與（2)是形式上完全相同的數學模型67系統建模的注意點（3）

3、對于較復雜的系統，同一系統模型可有多種不同的數學表現形式。高階微分方程--------------稱為輸入/輸出方程狀態方程---------------適合于多輸入多輸出系統分析（一階微分方程組）例：若選作為輸出，則系統的狀態方程為：一階微分方程組

+e(t)-68思考電磁振蕩和簡諧振動的是否具有相同的數學表現形式？分別求出各自的數學模型，加以比較。69電路系統－本課程的主要研究對象電路與系統很難區分，只是觀點和處理問題的角度上的差別。系統分析：重點討論輸入、輸出關系或運算功能。電路分析：求解電路中各支路或回路電流及各節點的電壓。故系統也可看作是一個轉換（或一種運算）：y（t）＝T[f(t)]此圖表示系統功能的方框圖，表示單輸入、單輸出系統。T[]

f(t)輸入激勵

y(t)輸出響應輸入輸出701.6系統的分類與特性

實際上，這兩種系統常組合運用，稱為混合系統2、即時系統和動態系統（按照系統內是否含有記憶元件）3、無源系統和有源系統（按系統內是否含源）4、線性系統和非線性系統（按其特性分）5、時不變系統與時變系統（按其參數是否隨t而變）6、單輸入單輸出系統和多輸入多輸出系統（按輸入輸出信號數目）本課程主要研究：線性非時變的連續時間和離散時間系統。以后簡稱線性系統。1、連續時間系統與離散時間系統輸入、輸出都是連續時間信號，其數學模型是微分方程輸入、輸出都是離散時間信號，其數學模型是差分方程分類71

系統的本質是將輸入信號(激勵)經過傳輸、變換或處理后，在系統的輸出端得到滿足要求的輸出信號(響應)。這一過程可表示為f(·)→y(·)

y(·)：響應

f(·)：激勵系統本質響應y(t)看成是由當前輸入f(t)和0-初始狀態x(0-)共同決定的，可以表示為

零狀態響應零輸入響應全響應72如果系統的激勵f(·)數乘α(為任意常數)，其響應y(·)也數乘α，就稱該系統具有齊次性或均勻性。系統的齊次特性這一特性也可表述為：

例如電壓加于電阻上面產生的電流響應

73如果任意兩個激勵共同作用時，系統的響應均等于每個激勵單獨作用時所產生的響應之和，就稱系統具有疊加性。式中，{f1(·)，f2(·)}表示兩個激勵f1(·)、f2(·)共同作用于系統。系統的疊加特性表述為

74

如果系統同時具有齊次性和疊加性，就稱系統具有線性特性。

式中，α1、α2為任意常數，則系統具有線性特性，表示系統響應與激勵之間滿足線性關系。一個系統，如果它滿足如下三個條件，則稱之為線性系統，否則稱為非線性系統。系統的線性特性（Linear）表述為

75

條件1

響應y(·)可以分解為零輸入響應yx(·)和零狀態響應yf(·)之和，即y(·)=yx(·)+yf(·)

這一結論稱為系統響應的可分解性，簡稱分解性。通常也稱滿足分解性條件的響應y(·)為完全響應。

條件2

零輸入線性,即零輸入響應yx(·)與初始狀態x(0-)或x(0)之間滿足線性特性。線性系統條件條件3

零狀態線性，即零狀態響應yf(·)與激勵f(·)之間滿足線性特性。76例

在下列系統中，f(t)為激勵，y(t)為響應，x(0-)為初始狀態，試判定它們是否為線性系統。(1)y(t)=x(0-)f(t)(2)y(t)=x(0-)2+f(t)(3)y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4)y(t)=af(t)+b

判斷系統是否線性不滿足分解性不滿足零輸入線性不滿足零狀態線性77參數不隨時間變化的系統，稱為時不變系統或定常系統，否則稱為時變系統。一個時不變系統，由于參數不隨時間變化，故系統的輸入輸出關系也不會隨時間變化。如果激勵f(·)作用于系統產生的零狀態響應為yf(·)，那么，當激勵延遲td(或kd)接入時，其零狀態響應也延遲相同的時間，且響應的波形形狀保持相同。系統的時不變特性（TimeInvariant）78則對連續系統有

對離散系統有

一個時不變系統，若系統的時不變特性79系統的時不變特性80

例

試判斷以下系統是否為時不變系統。

(1)

yf(t)=acos［f(t)］t≥0(2)yf(t)=f(2t)t≥0

輸入輸出方程中f(t)和yf(t)分別表示系統的激勵和零狀態響應，a為常數。系統的時不變特性81解

(1)已知則其零狀態響應

故該系統是時不變系統。

設系統的時不變特性82

(2)這個系統代表一個時間上的尺度壓縮，系統輸出yf(t)的波形是輸入f(t)在時間上壓縮1/2后得到的波形。直觀上看，任何輸入信號在時間上的延遲都會受到這種時間尺度改變的影響。所以，這樣的系統是時變的。設相應的零狀態響應為

yf(t)=f(2t)t≥083圖示說明84對于線性時不變系統（LTI)具有下列特性若則系統的微分特性85

一個系統，如果激勵在t<t0(或k<k0)時為零，相應的零狀態響應在t<t0(或k<k0)時也恒為零，就稱該系統具有因果性，并稱這樣的系統為因果系統；否則，為非因果系統。系統的因果性在因果系統中，原因決定結果，結果不會出現在原因作用之前。因此，系統在任一時刻的響應只與該時刻以及該時刻以前的激勵有關，而與該時刻以后的激勵無關。所謂激勵可以是當前輸入，也可以是歷史輸入或等效的初始狀態。由于因果系統沒有預測未來輸入的能力，因而也常稱為不可預測系統。

86由于任一時刻的零狀態響應均與該時刻以后的輸入無關，因