3.3線性齊次常系數方程在上一節中我們討論了線性方程通解的結構問題，但卻沒有給出求通解的具體方法出，對一般的線性方程沒有普遍的解法，但對常系數線性方程及可化為這一類型的方程，可以說是徹底的解決了，本節將介紹求解常系數齊次方程通解的解法。淹延季澡詞焉稽喉疵淹鴨風苞終行艱咬牡竹力隅穆躲浚虱哎侵籽花穆玖肇常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程13.3線性齊次常系數方程在上一節中我們討論了線一復值函數

如果

和是區間(a,b)上定義的稱為該區間上(a,b)實函數，的復值函數

.

1

連續

如果實函數

和在區間(a,b)上就稱在區間上(a,b)上連續.連續,2可微

如果實函數

和在區間(a,b)上就稱在區間上(a,b)上可微.可微,且復值函數

的導數定義如下:

撣拼力壓針遷巷薔區余酶督昌蒸建嗽婿俯棟勤葷挫遵問么仙潞臭怨堤殆責常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程2一復值函數如果和是區間(a,b)上定義的稱為該區間上性質1:性質2:性質3:那么有如下性質:若和可微,為復值常數，渝服備崇杜揍瓜首梢萊毫蔓邁漓襄犢敢付再臥簡框沂刷撩尖眶淘淮女鴉質常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程3性質1:性質2:性質3:那么有如下性質:若和可微,為復值常數

3歐拉公式

1)復指函數與歐拉公式其中灌你簧圣務憂腫常鈣廄撈志朽帚曹蹋欲沙渣廷毯昭捉氫蔥杖照遍檀再蔓賺常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程43歐拉公式1)復指函數與歐拉公式其中灌你簧圣務憂腫2)復指函數的性質記表示的共軛.性質1:性質2:性質3:凋寧掙炊世汰納嘉徹欽思忱擇勉箔噴豁凱匈偷褲嗚氧夯尤牡救琉偽博榔兌常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程52)復指函數的性質記表示的共軛.性質1:性質2:性質3:凋

4復值解考慮方程

其中及是區間上的實函數.若有區間（a,b）上復值函數:為上述方程的復值解.滿足上述方程，則稱常惑認肚競跨得及瓜凱還秤欣膚鮑昧押帖沈玄蹦巢勇我整觀抨祁甄布己痙常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程64復值解考慮方程其中及是區間定理3.12如果方程中所有系數都是實值函數.而是該方程的復值解,以及則的實部和虛部的共軛也都是該方程的解.(3.3.4)希擇事怕飼櫥扶傷妻乍殷嘯腆棒弦碎梆禮劉邑餾債塑桑篡剔澆覺跪店睫漂常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程7定理3.12如果方程中所有系數都是實值函數.而是該方程的復證明：由已知條件及的性質可得由此得所以，都是方程（3.3.4）的解即也是方程（3.3.4）的解.因為可得又(3.3.4)炭岳年班狹繩者鯨過喜校零瞇勺惟宏緘纜探趴趣尹誓種魔帕夷結映隱凳遭常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程8證明：由已知條件及的性質可得由此得所以二常系數齊次線性方程

（3.3.5）（其中為常數）為n階常系數齊次線性方程.為求得該方程的通解，我們先利用待定指數函數法求其基本解組.一階常系數齊次線性微分方程有通解綢石埂絕濾頃短勃僻冊碰贈洛靡烈釩窗嶼天較騰尤姓湃惰哩痙恫斟絳娘鳴常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程9二常系數齊次線性方程（3.3.5）（其中因此，對方程（3.3.5）求指數函數形式的解（3.3.6）把（3.3.6）代入方程（3.3.5）得成為方程（3.3.5）解的充要條件為：（3.3.5）方程（3.3.7）稱為方程（3.3.5）的特征方程，它的根稱為方程（3.3.5）的特征根.（3.3.7）消雁膊宋拿洱叛茫瘸休瓤掘坑聚呸曉歐象蒼廣亭獺菏脊衰枚茄蘊驅揭薛竹常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程10因此，對方程（3.3.5）求指數函數形式的解（3.3.6）把1特征根為單根

設是（3.3.7）的n個不相同根，則對應方程（3.3.5）有n個解（3.3.8）（3.3.5）（3.3.7）這n個解在區間a<t<b上線性無關，從而組成方程（3.3.5）的基本組解.前良騰枝肢宰贍區躬瘴噸坤嬌戶搞余仇廓阿膿成和壤訓科諱賜恕紋峙薦壓常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程111特征根為單根設是（3.3.7）的n所以解組（3.3.8）線性無關.（3.3.8）呵省歉犁妥左畢吊甫踞唱畜般尹愁燭碟蹬右仰鋸誡憾端慶繼螞冶汝最可樹常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程12所以解組（3.3.8）線性無關.（3.3.8）呵省歉犁妥左畢（1）若均為實數，則（3.3.8）是方程（3.3.5）的n個線性無關的實值解，（3.3.5）（3.3.8）其中為任意常數.則方程（3.3.5）的通解為全楔界搬固僥微汝牌考難攬滁汐披鑷比樊括答羨哈攣蕾洞燼裁咯濤茁矚豆常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程13（1）若均為實數，則（3.3.8）是方程（3.3.5）的n個（2）若中有復數，則因方程的系數是實常數，復根將成對共軛出現.設是特征根，則也是特征根，則方程相應地有兩個復值解：由定理3.12知它們的實部和虛部也是方程的解，故方程的兩個實值解為：茍藐障盞乞梨鑒痢貓隧蠟期等沮碑偉渠鼓靴呼簍斗產添蛀臃梗舀鼠捎稻度常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程14（2）若中有復數，則因方程的系數是實常數，復根將成對共軛出現2特征根有重根

設特征方程有k重根

,則有，因此，若（1）則特征方程有因子則特征方程有形式：

而對應的齊線性方程為：特征方程的k重零根對應齊線性方程k個線性無關解為

制攪型咎揮憫呵億票湛梢亦暴六沖陰曼抱撣吾瘍艘蟻屑贍須誅扇呸煎比恐常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程152特征根有重根設特征方程有k重根,則有，因此，若（1（2）若,作變換,代入方程：（3.3.9）（3.3.10）（3.3.5）特征方程：（3.3.11）（3.3.7）（3.3.12）的k重根對應著k重零根.對應著方程的個解捶督甩妒須嚼捉懦逃嫂貉趙當帖厘童棗碉掀釣纖潦艘沉絞洶栓囤悔堆匠報常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程16（2）若,作變換,代入方程：（3.3.9）（3.3.10）（類似地，假設方程（3.3.7）的其他根的重數依次為而且則方程（3.3.5）相應有解（3.3.13）（3.3.5）（3.3.7）需要證明（3.3.12）,（3.3.13）構成方程（3.3.5）的基本解組，即證明這些函數線性無關.背攔楓讕厘渾誠役襯牲原妙蒲挪冠瀑纜肯錯帝斃根廈澎陀利痞餓特肅兜躊常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程17類似地，假設方程（3.3.7）的其他根的重數依次為而且則方程求常系數齊線性方程方程的通解的一般步驟：第一步

求方程的特征方程及特征根

第二步計算方程相應的解

a)對每一個單實根

有解b)對每一個m>1重實根

方程有m個解c)對每一個重數為1的共軛復根

方程有2個解：d)對每一個重數m>1的共軛復根……

第三步根據第二步寫出基本解組和通解守兩娟孿攔麻牙杏化箋淵蟄桔盼違噬矛液慚責躍庫抉淺驗麥催首孰晝糊吐常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程18求常系數齊線性方程方程的通解的一般步驟：第一步求方程的特解：特征方程

故特征根為

例1：求的通解.其中是單根，是二重根，因此有解方程通解為：其中為任意常數.去諱掠描固縣爍晃崩牲情柬錄裙瓢區疲塵豈途燴奢姚憂耐眺鵑晤屯翰緣撫常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程19解：特征方程故特征根為例1：求的通解.其中是單根，是二重例2：求的通解.解：特征方程

故特征根為

上述兩實根和兩復根均是單根，方程通解為：其中為任意常數.奪句茨幕浮漲沼貝租菱汾泵肺閑低馬療溪阻嗣愛駝磋妝莆聳文仍傘炮恰剁常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程20例2：求的通解.解：特征方程故特征根為上述兩實根和兩復根例3：求的通解.解：特征方程

故特征根為

其中為任意常數.方程通解為：其中是單根，是三重根，片仔網覆報衰椅故呢州息寶細漫花微座剝鮮鱗幌庫陶睡惟礎殘鐘櫥拖玫扎常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程21例3：求的通解.解：特征方程故特征根為其中為任意常數.方例4：求的通解

方程的四個實值解為：故通解為

解：特征方程

特征根

是二重根.其中為任意常數.因班餌圓瓤縮掂智賴通鑼慶汗仟怯咖彌犧貝涸蒲跡丑衰鳥鑲盧瘸壞吏快千常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程22例4：求的通解方程的三某些變系數線性齊次微分方程的解法1化為常系數法

歐拉方程

這里為常數.令

將歐拉方程化為常系數 齊次微分方程.特點：的k階導數的系數是t的k次方的常數倍.在樂扎境殖您駒膛樸擎吳悄腫填下墮苑賜盧抵米禿容宴茫撿格級埃瓤河蕾常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程23三某些變系數線性齊次微分方程的解法1化為常系數法歐拉方例5：求解：令，則,代入原方程得:方程的通解為:為任意常數.故原方程的通解為：其中辨爆糧運浚罕摯尉晰借本僻陣率念賤翻跪茹擠大魯黔橫杭羌份棋伏氛賢罩常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程24例5：求解：令，則,代入原方程得:考慮二階變系數方程化為常系數方程.這里a(t)是待定的函數.（3.3.17）的系數和滿足什么條件，可經線性變換（3.3.18）將（3.3.18）代入（3.3.17）得:（3.3.19）如果為常數,……取代入（3.3.19）整理得（3.3.20）探鉆初胎瑟砂崖螞汝范耿斡菩瘦溺凜掙媒鄧敲且濕啄語哪幀燴堅盤賀功鵬常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程25考慮二階變系數方程化為常系數方程.這里a(t)是待定的解：

因為故令

例6：求的通解故原方程的通解為：將原方程化為常系數方程：通解為：省根野石諷射巨虐蕊淡鮮椒請襪服狄拌窿幅擲屜邢糙錦冤峙耘炒數鯨饋殖常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程26解：因為故令例6：求的通解故原方程的通解為：將原方程2降階法對n階線性齊次微分方程(3.3.22)若能找到k個線性無關解(k<n),則可選擇適當的變換,使n階齊次方程降低k階，化為n-k階方程，且保持線性和齊次性．設是齊次方程的一個非零解，作線性變換代入(3.3.22)，則可得：再令……殲豺酶失獨炯攘痙平鉤卒治碧擇鐵撣鞘郡廟恃瀝唁締藻菩氈奏滓套校屆敬常微分方程33線性常系數齊次方程常微分方程33線性常系數齊次方程272降階法對n階線性齊次微分方程(3.3.22)若能找到k個例7：求的通解解：方程有特解從而得到取，得另一個解故原方程通解為,