1、第38講 空間幾何體的結構特征及表面積與體積（講）思維導圖知識梳理eq avs4al(1.簡單幾何體,1多面體的結構特征) 名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行且相似側棱互相平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側面形狀平行四邊形三角形梯形特殊的四棱柱eq x(四棱柱)eq o(,sup7(底面為),sdo5(平行四邊形)eq x(aal( 平行,六面體)eq o(,sup7(側棱垂直),sdo5(于底面)eq x(aal(直平行,六面體)eq o(,sup7(底面為),sdo5(矩形)eq x(長方體)eq o(,sup7(底面),sdo5(邊長相等)eq x(正四

2、棱柱)eq o(,sup7(側棱與底面),sdo5(邊長相等)eq x(正方體)多面體的關系：eq x(棱柱)eq o(,sup7(一個底面退化),sdo5(為一個點)eq x(棱錐)eq o(,sup7(用平行于底面的),sdo5(平面截得)eq x(棱臺)(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面長度相等且相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側面展開圖矩形扇形扇環2直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法(2)規則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中

3、平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半3圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側2rlS圓錐側rlS圓臺側(rr)l4空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側S底Veq f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側S上S下Veq f(1,3)(S上S下eq r(S上S下)h球S4R2Veq f(4,3)R3題型歸納題型1 空間幾何體的結構特征【例1-1】給出下列命題：在圓柱的上、

4、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等其中正確命題的個數是()A0B1C2 D.3【解析】不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等【答案】A【跟蹤訓練1-1】下列命題正確的是()A兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多

5、面體是棱臺C直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體是圓臺D用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形【解析】如圖所示，可排除A、B選項對于D選項只有截面與圓柱的母線平行或垂直，截得的截面才為矩形或圓，否則截面為橢圓或橢圓的一部分，故選C. 【答案】C【跟蹤訓練1-2】(多選)給出下列命題，其中真命題是()A棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形B若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直C在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D存在每個面都是直角三角形的四面體【解析】A不正確，根據棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，

6、但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則三個側面構成的三個二面角都是直二面角；C正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個面都是直角三角形 【答案】BCD【名師指導】辨別空間幾何體的2種方法定義法緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本要素，根據定義進行判定反例法通過反例對結構特征進行辨析，要說明一個結論是錯誤的，只需舉出一個反例即可題型2 空間幾何體的表面積【例2-1】(1)(2019四川瀘州一診)在梯形ABCD中，ABCeq f(,2)，AD

7、BC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A(5eq r(2)B(4eq r(2)C(52eq r(2) D.(3eq r(2) (2)(2020河南周口模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直線A1C與側面AA1B1B所成的角為30，則該三棱柱的側面積為()A44eq r(2)B44eq r(3)C12 D.84eq r(2) 解析(1)在梯形ABCD中，ABCeq f(,2)，ADBC，BC2AD2AB2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑

8、為AB1，高為BC2的圓柱挖去一個底面半徑為AB1，高為BCAD211的圓錐，該幾何體的表面積S122121eq r(1212)(5eq r(2).故選A.(2)連接A1B.因為AA1底面ABC，則AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直線A1C與側面AA1B1B所成的角為CA1B30.又AA1AC2，所以A1C2eq r(2)，BCeq r(2).又ABBC，則ABeq r(2)，則該三棱柱的側面積為2eq r(2)22244eq r(2).答案(1)A(2)A【跟蹤訓練2-1】在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40 cm，母線長最短50 cm，最長8

9、0 cm，則斜截圓柱的側面面積S_cm2.【解析】將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側面展開圖為矩形由題意得所求側面展開圖的面積Seq f(1,2)(5080)(40)2 600(cm2)【答案】2 600【名師指導】求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規則幾何體的表面積時通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，

10、再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積題型3 空間幾何體的體積【例3-1】(2019江蘇南通聯考)已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長均為2，點D在棱AA1上，則三棱錐DBB1C1的體積為_ 解析如圖，取BC中點O，連接AO.正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長均為2，AC2，OC1，則AOeq r(3).AA1平面BCC1B1，點D到平面BCC1B1的距離為eq r(3).又Seq avs4al(BB1C1)eq f(1,2)222，Veq avs4al(DBB1C1)eq f(1,3)2eq r(3)eq f(2r(3),3).答案eq f(2r(3),3)【例3-2】(1)(2019全

11、國卷)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型如圖，該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為_g. (2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為_解析(1)由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6 cm和4 cm，故V挖去的四棱錐eq f(1,3)eq f(1,2)46312(cm

12、3)又V長方體664144(cm3)，所以模型的體積為V長方體V挖去的四棱錐14412132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質量為1320.9118.8(g)(2)如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，BF，易求得EGHFeq f(1,2)，AGGDBHHCeq f(r(3),2)，則BHC中BC邊的高heq f(r(2),2).SAGDSBHCeq f(1,2)eq f(r(2),2)1eq f(r(2),4)，V多面體VEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHCeq f(1,3)eq f(r(2),4)eq f(1,2)2eq f(r(2)

13、,4)1eq f(r(2),3).答案(1)118.8(2)eq f(r(2),3)【例3-3】如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為() A.eq f(r(3),12) B.eq f(r(3),4)C.eq f(r(6),12) D.eq f(r(6),4)解析易知三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積，又三棱錐AB1BC1的高為eq f(r(3),2)，底面積為eq f(1,2)，故其體積為eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(r(3),2)eq f(r(3),12).答案A【跟蹤訓練3-1】如圖，正四

14、棱錐PABCD的底面邊長為2eq r(3) cm，側面積為8eq r(3) cm2，則它的體積為_cm3.【解析】記正四棱錐PABCD的底面中心為點O，棱AB的中點為H，連接PO，HO，PH，則PO平面ABCD，因為正四棱錐的側面積為8eq r(3) cm2，所以8eq r(3)4eq f(1,2)2eq r(3)PH，解得PH2，在RtPHO中，HOeq r(3)，所以PO1，所以VPABCDeq f(1,3)S正方形ABCDPO4 cm3. 【答案】4【跟蹤訓練3-2】如圖，已知體積為V的三棱柱ABCA1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一點，則四棱錐PAA1C1C的體積為_【解

15、析】如圖，把三棱柱ABCA1B1C1補成平行六面體A1D1B1C1ADBC.設P到平面AA1C1C的距離為h，則Veq avs4al(PAA1C1C)eq f(1,3)Seq avs4al(AA1C1C)heq f(1,3)Veq avs4al(AA1C1CDD1B1B)eq f(1,3)2Veq avs4al(ABCA1B1C1)eq f(2V,3).【答案】eq f(2V,3)【名師指導】求空間幾何體的體積的常用方法公式法對于規則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解割補法把不規則的圖形分割成規則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾

16、何體，便于計算其體積等體積法一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解等體積法也稱等積轉化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，特別是三棱錐的體積題型4 與球有關的切、接問題【例4-1】(2019全國卷)已知三棱錐PABC的四個頂點在球O的球面上，PAPBPC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，CEF90，則球O的體積為()A8eq r(6) B4eq r(6)C2eq r(6) D.eq r(6)解析法一：E，F分別是PA，AB的中點，EFPB.CEF90

17、，EFEC，PBEC，又三棱錐PABC為正三棱錐，PBAC，從而PB平面PAC，三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直ABC是邊長為2的正三角形，PAPBPCeq r(2)，則球O是棱長為eq r(2)的正方體的外接球，設球O的半徑為R，則2Req r(3)eq r(2)，Req f(r(6),2)，球O的體積Veq f(4,3)R3eq r(6).故選D.法二：令PAPBPC2x(x0)，則EFx，連接FC，由題意可得FCeq r(3).在PAC中，cosAPCeq f(4x24x24,24x2)eq f(2x21,2x2).在PEC中，EC2PC2PE22PCPEcosEPC4x2x222xxe

18、q f(2x21,2x2)x22，在FEC中，CEF90，FC2EF2EC2，即x22x23，xeq f(r(2),2)，PAPBPC2xeq r(2).ABBCCA2，三棱錐PABC的三個側面為等腰直角三角形，PA，PB，PC兩兩垂直，故球O是棱長為eq r(2)的正方體的外接球，設球O的半徑為R，則2Req r(3)eq r(2)，Req f(r(6),2)，球O的體積Veq f(4,3)R3eq r(6).故選D.答案D【例4-2】(1)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq f(V1,V2)的值是_(2)

19、已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq r(3)，內有一個球與四個面都相切，則棱錐的內切球的半徑為_解析(1)設圓柱內切球的半徑為R，則由題設可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故eq f(V1,V2)eq f(R22R,f(4,3)R3)eq f(3,2).(2)如圖，過點P作PD平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE，ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線，D為ABC的中心AB2eq r(3)，SABC3eq r(3)，DE1，PEeq r(2).S表3eq f(1,2)2eq r(3)eq r(2)3eq r(3)3eq r(6)3eq r(3).PD1，三棱錐的體積Veq f(1,3)3eq r(3)1eq r(3).設球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，則req