1、第一講 方差分析1.1 方差分析的概念1.2 單因素方差分析1.3 有交互作用的雙因素方差分析1.4 無交互作用的雙因素方差分析第一講 方差分析1.1 方差分析的概念 一、問題的引入 在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常會遇到需要對兩個以及兩個以上總體均值是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)，從而判斷某一種因素對我們所研究的對象是否產(chǎn)生了顯著的影響。 1.1 方差分析的概念 一、問題的引入 1.1 方差分 例1：某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無色透明。這四種飲料的營養(yǎng)含量、味道、價格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同。現(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營規(guī)模相仿的五家超級市場上收集了前一時

2、期該飲料的銷售情況，見下表，試分析飲料的顏色是否對銷售量產(chǎn)生影響。 該飲料在五家超市的銷售情況超市無色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8 例1：某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。 例2 某公司為了研究三種不同內(nèi)容的廣告宣傳對某種無季節(jié)性的大型機(jī)械的銷售量是否有顯著影響，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，一年四個季度的銷售量(單位:臺)如下: A1是強(qiáng)調(diào)運(yùn)輸方便性的廣告，A2是強(qiáng)調(diào)節(jié)省燃料的經(jīng)濟(jì)性的廣告，A3是強(qiáng)調(diào)噪音低的優(yōu)良性的廣告.試判斷:新聞廣告的類型對該種機(jī)械的

3、銷售量是否有顯著影響?若影響顯著，哪一種廣告內(nèi)容為好?廣告類型第一季度第二季度第三季度第四季度A1163176170185A2184198179190A3206191218224 例2 某公司為了研究三種不同內(nèi)容的廣告宣傳對某方差分析：在若干個能夠相互比較的資料組中，判別各組資料是否存在差異以及分析差異原因的方法和技術(shù)。方差分析由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，方差分析又稱 F 檢驗(yàn) （F test）。用于推斷多個總體均值有無差異方差分析：在若干個能夠相互比較的資料組中，判別各組資料是否存二、基本概念 1.因素又稱因子，指需要考察的引起數(shù)據(jù)變動的主要原因，通常用A、B

4、、C表示。 如：要分析飲料的顏色對銷售量是否有影響，顏色是要檢驗(yàn)的因素或因子. 又如：要分析新聞廣告的內(nèi)容對某種機(jī)械的銷售量是否有顯著影響，新聞廣告類型是所要檢驗(yàn)的因素。可以控制的試驗(yàn)條件單因素方差分析：在實(shí)驗(yàn)中考察的因素只有一個。多因素方差分析：在實(shí)驗(yàn)中考察的因素有兩個以上。雙因素方差分析：在實(shí)驗(yàn)中考察的因素有兩個。二、基本概念 1.因素又稱因子，指需要考察的引起數(shù)2.水平：因子在實(shí)驗(yàn)中的不同狀態(tài)。 如：例1中橘黃色、粉色、綠色和無色透明四種顏色就是因素的四個水平。3.交互影響：如果因子間存在相互作用，稱之為“交互影響”；如果因子間是相互獨(dú)立的，則稱為無交互影響。4.觀察值：在每個因素不同水

5、平下得到的樣本值。 如例1中每種顏色飲料的銷售量就是觀察值。2.水平：因子在實(shí)驗(yàn)中的不同狀態(tài)。3.交互影響：如果因子間存三、方差分析的基本思想比較兩類誤差 以檢驗(yàn)均值是否相等隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差 隨機(jī)誤差：在因素的同一水平(同一個總體)下，樣本的各觀察值之間的差異。 比如，同一種顏色的飲料在不同超市上的銷售量是不同的。不同超市銷售量的差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，或者說是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，稱為隨機(jī)誤差 。 三、方差分析的基本思想比較兩類誤差 以檢驗(yàn)均值是否相等 系統(tǒng)誤差：在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異。 比如，同一家超市，不同顏色飲料的銷售量也是不同的。這種差異可能是

6、由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于顏色本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差。比較的基礎(chǔ)是方差比組內(nèi)方差、組間方差 組內(nèi)方差：因素的同一水平(同一個總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差。 比如，無色飲料在5家超市銷售數(shù)量的方差。組內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差 系統(tǒng)誤差：在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值組間方差：因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差 比如，例1中橘黃色、粉色、綠色和無色透明四種顏色飲料銷售量之間的方差。組間方差既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差。方差的比較 如果不同顏色(水平)對銷售量(結(jié)果)沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時，組

7、間方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩個方差的比值就會接近1。組間方差：因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差 如果不同的水平對結(jié)果有影響，在組間方差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時組間方差就會大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會大于1。 當(dāng)這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異。 如果不同的水平對結(jié)果有影響，在組間方差中除了包含隨機(jī)四、基本假定1.每個總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本比如，每種顏色飲料的銷售量必須服從正態(tài)分布2.各個總體的方差必須相同對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的。

8、比如，四種顏色飲料的銷售量的方差都相同。 3.不同水平下的樣本相互獨(dú)立四、基本假定一、數(shù)學(xué)模型表1觀察結(jié)果水平樣本總和樣本均值總體均值1.2 單因素方差分析一、數(shù)學(xué)模型表1觀察結(jié)果水平樣本總和樣本均值總體均值1.2 假設(shè)假設(shè)單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型需要解決的問題1.檢驗(yàn)假設(shè)單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型需要解決的問題1.檢驗(yàn)假設(shè)數(shù)學(xué)模型的等價形式總平均s個水平數(shù)學(xué)模型的等價形式總平均s個水平原數(shù)學(xué)模型改寫為原數(shù)學(xué)模型改寫為檢驗(yàn)假設(shè)等價于檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)等價于檢驗(yàn)假設(shè)數(shù)據(jù)的總平均總離差平方和（總變差）二、平方和的分解數(shù)據(jù)的總平均總離差平方和（總變差）二、平方和的分解數(shù)學(xué)建模之方差分析課件誤差（

9、殘差）平方和組間離差平方和(效應(yīng)平方和)組內(nèi)平方和誤差（殘差）平方和組間離差平方和(效應(yīng)平方和)組內(nèi)平方和ST是全部觀察值與總平均值的離差平方和，反映全部觀察值的離散狀況，從而反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度。SA既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差，反映的是隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小。ST是全部觀察值與總平均值的離差平方和，反映全部觀察值的離散總誤差平方和=組間誤差平方和+組內(nèi)誤差平方和 如果組間方差明顯高于組內(nèi)方差，說明樣本數(shù)據(jù)波動的主要來源是組間方差，因子是引起波動的主要原因，可認(rèn)為因子對實(shí)驗(yàn)的結(jié)果存在顯著的影響； 反之，如果波動的主要部分來自組內(nèi)方差，則因子的影響就不明顯，沒有充足理由認(rèn)為因子對實(shí)驗(yàn)

10、或抽樣的結(jié)果有顯著作用。 判斷因子的不同水平是否對其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小。 檢驗(yàn)這種差異，需要構(gòu)造一個用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計量。總誤差平方和=組間誤差平方和+組內(nèi)誤差平方和檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域?yàn)榻M間均方差組內(nèi)均方差三、假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域?yàn)榻M間均方差組內(nèi)均方差三、假設(shè)檢驗(yàn)單因素試驗(yàn)方差分析表方差來源因素A誤差總和平方和自由度均方F比單因素試驗(yàn)方差分析表方差來源因素A誤差總和平方和自四、單因素方差分析的Matlab實(shí)現(xiàn)p=anova1(X,group)輸入：X是一個向量，從第一個總體的樣本到第r個總體的樣本依次排列，group是與X有相同長度的向量，表示X中的元素是如

11、何分組的. group中某元素等于i,表示X中這個位置的數(shù)據(jù)來自第i個總體.因此group中分量必須取正整數(shù)，從1直到r.p=anova1(X) %比較X中各列數(shù)據(jù)的均值是否相等此時輸出的p是零假設(shè)成立時，數(shù)據(jù)的概率，當(dāng)p0.05稱差異是顯著的，當(dāng)p0.01稱差異是高度顯著的.輸入X各列的元素相同，即各總體的樣本大小相等，稱為均衡數(shù)據(jù)的方差分析，不均衡時用下面的命令四、單因素方差分析的Matlab實(shí)現(xiàn)p=anova1(X,g例1 某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，隨機(jī)分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個月試驗(yàn)以后，各組魚的增重結(jié)果列于下表。表1 飼喂不

12、同飼料的魚的增（單位：10g）飼料魚的增重（xij）A131.927.931.828.435.9A224.825.726.827.926.2A322.123.627.324.925.8A427.030.829.024.528.5四種不同飼料對魚的增重效果是否顯著 ？例1 某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對魚的飼喂效果，解：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，Matlab程序如下：A=31.9 27.9 31.8 28.4 35.9 24.8 25.7 26.8 27.9 26.2 22.1 23.6 27.3 24.9 25.8 27.0 30.8 29.0 24.5 28.5; %原始數(shù)據(jù)輸入

13、 B=A; % 將矩陣轉(zhuǎn)置,Matlab中要求各列為不同水平p=anova1(B) 運(yùn)行后得到一表一圖，表是方差分析表（重要）；圖是各列數(shù)據(jù)的盒子圖，離盒子圖中心線較遠(yuǎn)的對應(yīng)于較大的F值，較小的概率p.解：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，Matlab程序如下：A=Source方差來源SS平方和df自由度MS均方差F統(tǒng)計量P值Columns(因素A組間)SSAr-1SS/(r-1)7.140.0029Error誤差（組內(nèi)）SSEn-rSS/(n-r)Total總和SSTn-1表中所列出的各項(xiàng)意義如下：因?yàn)閜=0.00291時，anova2還返回第三個p值： H0AB：因素A與因素B沒有交互效應(yīng)。解

14、釋：如果任意一個p值接近于0，則認(rèn)為相關(guān)的零假 設(shè)不成立。 雙因素方差分析的Matlab實(shí)現(xiàn)調(diào)用格式：p=anova2(數(shù)學(xué)建模之方差分析課件Matlab程序：disp1=58.2 56.2 65.3;49.1 54.1 51.6;60.1 70.9 39.2;75.8 58.2 48.7;p=anova2(disp1,1) 輸出結(jié)果：方差分析表ANOVA TableSource SS df MS F ProbFColumns 157.59 3 52.53 0.43059 0.73875Rows 223.8467 2 111.9233 0.91743 0.44912Error 731.98 6

15、 121.9967 Total 1113.4167 11 由于燃料和推進(jìn)器對應(yīng)的p值均大于0.05，所以可以接受零假設(shè)H0A和H0B，認(rèn)為燃料和推進(jìn)器對火箭的射程沒有顯著影響。 Matlab程序：輸出結(jié)果：方差分析表 由于燃料和推進(jìn)數(shù)學(xué)建模之方差分析課件Matlab程序：disp2=58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.5;56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.0;65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4;p=anova2(disp2,2)輸出結(jié)果：方差分析表ANOVA TableSou