1、 第四章 抽樣調查第一節 抽樣調查的基本問題第二節 抽樣誤差第三節 參數估計第四節 抽樣調查的組織形式 第一節 抽樣調查的基本問題一）抽樣調查的意義二）抽樣調查的應用三）抽樣調查的幾個基本概念四）抽樣推斷的理論基礎統計推斷的過程樣本總體樣本統計量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差一) 抽樣調查的意義(一)抽樣調查的概念： 抽樣調查是按隨機原則從全部研究對象中抽取部分單位進行觀察，并根據樣本的實際數據對總體的數量特征作出具有一定可靠程度的估計和判斷。 抽樣調查可分為兩種:非隨機抽樣和隨機抽樣. 主要討論隨機抽樣調查. (二) 抽樣調查的特點 1.和全面調查相比較,抽樣調查能節省人力,

2、費用和時間面且比較靈活. 3.抽樣調查要建立在隨機取樣的基礎上。 2.有些情況下,抽樣調查的結果比全面調查要準確. 4.抽樣推斷的誤差可以事先計算并加以控制。（2）應用抽樣法可對全面調查的結果加以檢驗和修正 A:許多社會經濟現象雖然可以全面調查，但同時開展抽樣調查，把兩者結合起來應用也具有重要的意義。B:全面調查不論是一次性普查，還是經常性統計報表制度，由于范圍廣、工作量大，參加人員多，就較多地存在發生登記性和計算性誤差的可能。在全面調查后，隨即抽取一部分單位重新再調查一次，將這些單位兩次調查的資料進行對照、比較，計算其差錯比率，并以此為依據對全面調查的資料加以修正，這樣就可以進一步提高全面調

3、查資料的準確性。C:另外，由于抽樣調查范圍小，可以根據需要增加一些調查項目，以便進行某項更深入的研究，以補充全面調查的不足。 （3）應用抽樣法可對總體進行假設檢驗.（4）應用抽樣法可對生產過程中產品質量進行檢查和控制.抽樣調查不但廣泛用于生產結果的核算和估計，而且也有效地應用于對成批或大量連續生產的工業產品在生產過程中進行質量控制，觀察生產工藝過程是否正常，是否存在某些系統性的偏誤，及時提供有關信息，分析可能的原因，便于采取措施，防止損失。 2）參數和統計量 （一）參數 又稱總體指標，或全及指標.根據全及總體各個單位的標志值或標志屬性計算的，反映總體某種屬性或特征的綜合指標。常用的全及指標有總

4、體平均數（或總體成數）、總體標準差（或總體方差 ）。 總體平均數： 總體方差： 總體標準差： 設總體中具有某一標志的單位數為 則總體成數為： 總體成數的方差為： (二)統計量 又稱樣本指標或抽樣指標，由樣本各單位標志值計算出來反映樣本特征，用來估計全及指標的綜合指標（抽樣指標）。統計量是樣本變量的函數，用來估計總體參數，因此與總體參數相對應，統計量有樣本平均數（或抽樣成數）、樣本標準差（或樣本方差）。樣本平均數： 樣本方差： 樣本標準差： 樣本成數： 樣本成數的方差： 對于一個問題總體是唯一確定的，所以總體指標也是唯一確定的，總體指標也稱為參數，它是待估計的數。而統計量則是隨機變量，它的取值隨

5、樣本的不同而發生變化。（三)抽樣方法 (1)重置抽樣 也稱重復抽樣、放回抽樣。它是指從總體N個單位中隨機抽取容量為n的樣本時，每次從總體中抽取一個單位，把結果登記下來后，重新返回，再從全及總體中抽取下一個樣本單位。在這種抽樣方式中，同一單位可能有多次被重復抽取的機會。(2)不重置抽樣 也稱不重復抽樣、不放回抽樣。它是指從總體N個單位中隨機抽取容量為n的樣本時，每次從總體中抽取一個單位，不再放回去，下一次則從剩下的總體單位中繼續進行抽取，如此反復構成一個樣本，就是說，每個總體單位只能被抽取一次，所以從總體中每抽取一次，總體就少一個單位，因此，先后抽出來的各個單位被抽中機會是不相等的。 (四)抽樣

6、框 又稱抽樣結構,是指對可以選擇作為樣本的總體單位列出名冊或排序編號,以確定總體的抽樣范圍和結構. (五)樣本可能數目 也稱樣本的可能數目,是指從總體N個單位中隨機抽選取n個單位構成樣本,通常有多種抽選方法,每一種抽選方法實際是n個總體單位的一種排列組合,這個組合數即稱為樣本的可能數目.2）中心極限定理是研究變量和的分布序列的極限原理。論證：如果總體變量存在有限的平均數和方差，那么不論這個總體變量的分布如何，隨著抽樣單位數的增加，抽樣平均數的分布便趨近于正態分布。這個結論對于抽煙推斷是十分重要的，因為在經濟現象中變量和的分布是普遍存在的。例如，城市用電量是千家萬戶用電量總和的分布；產品標準規格

7、的偏差是許多獨立因素之和的分布等。根據中心極限定理，我們有理由相信，這些分布都趨近于正態。在現實生活中，一個隨機變量服從于正態分布未必很多，但多個隨機變量和的分布趨近于正態分布則是普遍存在的。抽樣平均數也是一種隨機變量和的分布，因此，在抽樣單位數充分大的條件下，抽樣平均數也趨近于正態分布，這為抽樣誤差的概率估計提供了一個極為有效而方便的條件。正態分布正態分布是統計學中最重要的分布。這一分布是由阿伯拉罕德莫弗于1733年首先發表。其他幾位數學家如皮埃爾西蒙、拉普拉斯、高斯等進一步發展，為紀念高斯，正態分布也稱為高斯分布或常態分布。作用：正態分布是一種最常見的分布。許多變量的分布是正態的或近似于正

8、態分布的。只要某一隨機變量是大量相互獨立的偶然因素的和，而且每個因素的個別影響幾乎是同樣地小，那么就可以斷定這個隨機變量服從于或近似地服從于正態分布。各種統計量（如平均值）的分布，對于大樣本來說，是正態的或近似于正態的，即使它們所取的總體不是正態的也是如此。對于充分大的樣本，正態分布也是一些其他分布的極好近似。正態分布的概率密度函數：正態分布曲線是鐘型曲線，是一個對于平均值對稱的分布， 的任何一側曲線均為另一側曲線的鏡像，當x時，以x軸為其漸進線。平均數、中位數與眾數三者相等；曲線位于x軸上方，即正態密度函數處處為正；曲線與x軸所包圍的面積為1，由于正態曲線的對稱性，若由平均值處引x軸的垂線，

9、則其左右兩側面積各占總面積的50%； 如在平均值兩側離平均值三個標準差處引x軸的兩條垂線，所形成的相應面積約等于總面積的99.73%； 如在平均值兩側離平均值兩個標準差處引x軸的兩條垂線，則這兩條垂線與x軸與正態曲線所圍的面積約等于總面積的95.45%；如在平均值兩側離平均值一個標準差處引x軸的兩條垂線，則這兩條垂線與x軸與正態曲線所圍的面積約等于總面積的68.27%；268.27%99.73%95.45%13-1-2-3正態分布的 重要特征標準正態分布正態分布是一個分布族，其中一個成員與另一個成員按不同的值和值來區別。這一分布族中最重要的成員是平均值為0和標準差為1的正態分布，被稱為標準正態

10、分布N(0,1).概率密度函數可以通過以下公式將正態分布N(0,1)變換為標準正態分布： 使用此公式把原分布中任意x值變換為標準正態分布中相應的Z值，由Z值利用標準正態分布表，可以求出與原計量值集合有關的概率。 第二節 抽樣誤差一）抽樣誤差的概念二）抽樣平均誤差的意義三）抽樣平均誤差的計算四）抽樣極限誤差五）抽樣估計的可靠程度一) 抽樣誤差的概念 由于隨機抽樣的偶然因素使樣本各單位的結構不足以代表總體各單位的結構，而引起抽樣指標和全及指標之間的絕對離差。抽樣誤差的概念抽樣誤差是指樣本指標與總體指標之間的離差。具體地講，就是樣本平均數與總體平均數的離差（即 ），或樣本成數與總體成數的離差（即 ）

11、。 抽樣誤差，就是按隨機原則抽樣，所得抽樣指標和總體指標的差額，包括：抽樣平均數與總體平均數的差額 抽樣成數與總體成數的差額1、抽樣誤差是指由于抽樣的隨機性而產生的那一部分誤差，不包括調查誤差，也不包括可能發生的偏差。理解抽樣誤差有兩個要點：2、隨機誤差有兩種：實際誤差和平均誤差。二）抽樣平均誤差的意義概念：是指所有可能出現的樣本指標的標準差，也就是所有可能出現的樣本指標和總體指標的平均離差。意義：由于抽樣誤差把所有可能的抽樣指標與全及指標之間所存在的抽樣誤差的所有結果都考慮進去，概括地反映了整個抽樣過程中一切可能結果的誤差，表明抽樣平均數（或成數）與總體平均數（或成數）的平均誤差程度，因此，

12、它既可以作為衡量抽樣指標對于全及指標代表程度的一種尺度，又是計算抽樣指標與全及指標之間變異范圍的主要依據；同時，在組織抽樣調查中，也是確定抽樣單位數多少的計算依據之一。 抽樣平均誤差1、概念：抽樣平均誤差是抽樣平均數或抽樣成數的標準差。反映了抽樣平均數與總體平均數抽樣成數與總體成數的平均誤差程度。2、計算方法：(一)抽樣平均數的平均誤差(二)抽樣成數平均誤差三）抽樣平均誤差的計算樣本指標有平均指標和成數兩種。因此，抽樣誤差也有兩種：（一）平均指標抽樣誤差的計算：1、重復抽樣的計算公式 2、不重復抽樣的計算公式例題一：隨機抽選某校學生100人，調查他們的體重。得到他們的平均體重為58公斤，標準差

13、為10公斤。問抽樣推斷的平均誤差是多少？例題二：某廠生產一種新型燈泡共2000只，隨機抽出400只作耐用時間試驗，測試結果平均使用壽命為4800小時，樣本標準差為300小時，求抽樣推斷的平均誤差？例題一解:即:當根據樣本學生的平均體重估計全部學生的平均體重時,抽樣平均誤差為1公斤。例題二解:計算結果表明：根據部分產品推斷全部產品的平均使用壽命時，采用不重復抽樣比重復抽樣的平均誤差要小。已知：則：已知：則：(二)總體成數的抽樣平均誤差采用重復抽樣：采用不重復抽樣：例題三： 某校隨機抽選400名學生，發現戴眼鏡的學生有80人。根據樣本資料推斷全部學生中戴眼鏡的學生所占比重時，抽樣誤差為多大？例題四

14、：一批食品罐頭共60000桶，隨機抽查300桶，發現有6桶不合格，求合格品率的抽樣平均誤差？例題三解：已知：則：樣本成數即：根據樣本資料推斷全部學生中戴眼鏡的學生所占 的比重時，推斷的平均誤差為2%。例題四解：已知：則：樣本合格率計算結果表明：不重復抽樣的平均誤差小于重復抽樣， 但是“N”的數值越大，則兩種方法計算 的抽樣平均誤差就越接近。例 從某廠生產的10000件產品中，隨機抽取1000件進行調查，測得有85件為不合格。試求產品合格率的抽樣平均誤差。解：根據條件可知，合格率P=91.5% 1.在重復抽樣條件下 = = 0.88% 2. 在不重復抽樣條件下 =四)抽樣極限誤差含義：抽樣極限誤

15、差指在進行抽樣估計時，根據研究對象的變異程度和分析任務的要求所確定的樣本指標與總體指標之間可允許的最大誤差范圍。計算方法：它等于樣本指標可允許變動的上限或下限與總體指標之差的絕對值。= pp - Pp P ppp抽樣平均數極限誤差：抽樣成數極限誤差：五)抽樣估計的可靠程度含義：抽樣誤差的概率度是測量抽樣估計可靠程度的一個參數。用符號“ t ”表示。公式表示： t = = t （t 是極限誤差與抽樣平均誤差的比值）（極限誤差是 t 倍的抽樣平均誤差）上式可變形為： 抽樣估計的概率度是表明抽樣指標和總體指標的誤差不超過一定范圍的概率保證程度。由于抽樣指標值隨著樣本的變動而變動，它本身是一個隨機變量

16、，因而抽樣指標和總體指標的誤差仍然是一個隨機變量，并不能保證誤差不超過一定范圍這個事件是必然事件，而只能給以一定程度的概率保證。因此，就有必要來計算抽樣指標和總體指標的誤差不超過一定范圍的概率大小，即計算抽樣指標落在一定區間范圍內的概率，這種概率稱之為抽樣估計的概率度。 根據計算極限誤差的基本公式 概率度t的大小根據對推斷結果要求的把握程度來確定，即根據概率保證程度的大小來確定。概率論和數理統計證明，概率度t與概率保證程度F（t）之間存在著一定的函數關系，給定不同的t值，就可以計算出F（t）來，相反，給出一定的概率保證程度F（t），則可以根據總體的分布，獲得對應的t值。在實際應用中，因為我們所

17、研究的總體大部分為正態總體，對于正態總體而言，為了應用的方便編有“正態分布概率表”供使用時查值。根據“正態分布概率表”，已知概率度t可查得相應的概率保證程度F（t）；相反，已知概率保證程度F（t）也可查得相應的概率度t。現將幾個常用的對應數值列于下表。常用概率度與概率保證度表 概率度t 概率F(t) (%) 1.002.003.001.641.962.58 68.2795.4599.7390.0095.0099.00 例 對一批某型號的電子元件進行耐用性能檢查，按重復隨機抽樣的資料分組列表如下，要求估計耐用時數的允許誤差范圍=10.5小時，是估計該批電子元件的平均耐用時數。表耐用時數 組中值

18、抽樣檢查結果（只） 900以下9009509501000100010501050110011001150115012001200以上 87592597510251075112511751225 1263543931合計 100第一步，計算， s, :第二步，根據給定的 =10.5小時，計算總體平均數的上下限：下限= =1055.510.5=1045（小時）上限= =1055.5+10.5=1066（小時） 第三步，根據 ，查正態分布概率表得概率F（t）=95.66%。 推斷的結論是：以95.66%的概率保證程度，估計該批電子元件的耐用時數在10451066小時之間。樣本指標的抽樣分布 約有68

19、.27%處在平均值 約有95.45%處在平均值 約有99.73%處在平均值 68.27%95.45%99.73%123-1-2-3的全部數值中，即，在的一個標準偏差范圍之內；的兩個標準偏差范圍之內；的三個標準偏差范圍之內。 第三節 參數估計一）點估計的優良標準二）總體參數的估計方法三）樣本容量的確定 參數估計的一般問題 （一）參數估計（parameter estimation）就是用樣本統計量去估計總體的參數。估計量：用于估計總體參數的隨機變量如樣本均值、樣本比率、樣本方差等樣本均值就是總體均值的一個估計量參數用表示，估計量用 表示估計值：估計參數時計算出來的統計量的具體值如果樣本均值 x =

20、5600，則5600就是總體均值 的估計值 參數估計的方法矩估計法最小二乘法最大似然法順序統計量法估 計 方 法點 估 計區間估計一)點估計的優良標準 1. 無偏性：估計量抽樣分布的數學期望等于被估計的總體參數。P( )BA無偏有偏圖 有偏和無偏估計量的例子 2.一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數。AB較小的樣本容量較大的樣本容量P( )圖 兩個不同容量樣本統計量的抽樣分布 3.有效性：對同一總體參數的兩個無偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效。AB 的抽樣分布 的抽樣分布P( )圖 兩個無偏點估計量的抽樣分布（一)點估計用樣本的估計量直接作為總體參數的估計值例

21、如：用樣本均值直接作為總體均值的估計例如：用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計2.沒有給出估計值接近總體參數程度的信息點估計的方法有矩估計法、順序統計量法、最大似然法、最小二乘法等二）總體參數估計的方法 例:某燈泡廠采用新技術生產,需要了解這種燈泡的使用壽命,現隨機抽取4只燈泡,測得使用壽命分別是:1502,1455,1342,1673.試估計燈泡的平均壽命和標準差.解:樣本的平均數是 樣本標準差是 故:燈泡壽命的平均值的標準差分別是: （二)區間估計基本特點：是根據給定的概率保證程度的要求， 利用實際抽樣資料，指出總體被估計值的上 限和下限，即指出總體參數可能存在的區間 范圍，而不是

22、直接給出總體參數的估計值。 方法：x落在區間 內概率是 ， 為總體指標X的置信區間 估計置信度 置信下限 置信上限 具備要素：估計值、抽樣誤差范圍、概率保證程度 方法：根據給定條件而定 根據已給定的置信度，求抽樣區間估計。具體步驟是：第一步，抽取樣本，計算抽樣指標 ，即計算樣本平均數和抽樣成數p，作為總體指標的估計值，并計算樣本標準差s以推算抽樣平均誤差。第二步，根據給定的置信度F（t）的要求，查正態分布概率表求得概率度t值。第三步，根據概率度t和抽樣平均誤差 推算抽樣極限誤差 ，并根據抽樣極限誤差求出被估計總體指標的上下限。 區間估計的計算方法 1)計算出樣本的平均值 樣本方差 及成數 2)

23、用公式計算 3)計算出允許誤差 4)確定估計區間1） 總體均值的區間估計1.假定條件總體服從正態分布,且方差() 已知如果不是正態分布，可由正態分布來近似 (n 30)使用正態分布統計量總體均值 在1-置信水平下的置信區間為例 對我國某城市進行居民家庭人均旅游消費支出調查，隨機抽取400戶居民家庭，調查得知居民家庭人均年旅游消費支出為350元，標準差為100元，要求以95%的概率保證程度，估計該市人均年旅游消費支出額。第一步，根據抽樣資料已算得：樣本每戶年人均消費支出 =350（元）樣本標準差 = 100（元） （元）第二步，根據給定的概率保證程度F（t）=95%，查得正態分布概率表得t =

24、1.96。第三步，計算 （元）則該市居民家庭年人均旅游消費支出額：下限 = = 3509.80 = 340.20（元）上限= = 350+9.80 = 359.80（元）結論：我們可以95%得概率保證程度，估計該市居民家庭年人均旅游消費支出額在340.20元359.80元之間?！纠恳患沂称飞a企業以生產袋裝食品為主，為對產量質量進行監測，企業質檢部門經常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產品重量的分布服從正態分布，且總體標準差為10克。試估計該批產品平均重量的置信區間，置信水平為95%25袋食品的重量 112.510

25、1.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據樣本數據計算得： 總體均值在1-置信水平下的置信區間為該食品平均重量的置信區間為101.44克109.28克之 2）總體成數區間估計的計算方法 1)計算出樣本的成數 2)用公式計算 3)計算出允許誤差 4)確定估計區間例 某市電視臺為了解觀眾對某電視欄目的喜愛程度，在該市隨機對900名居民進行調查

26、，結果有540名喜歡該電視欄目，要求以90%的概率保證程度，估計該市居民喜歡該電視欄目的比率。第一步，根據抽樣資料計算：樣本喜歡程度比率第二步，根據給定的置信度F（t）= 90% ，查正態分布概率表得概率度t = 1.64。第三步，計算 ，則總體比率的上下限為：下限 = = 60% 2.67% = 57.33%上限 = = 60% + 2.67% = 62.67%結論：我們可以概率90%的保證程度，估計該市居民對此電視欄目喜愛的比率在57.33%62.67%之間。 三)影響樣本容量的因素 （一）樣本容量影響因素 總體各單位間的標志變異程度極限抽樣誤差的大小 調查結果的概率保證程度抽取樣本單位的

27、方法 （二）簡單隨機抽樣樣本容量的確定 一旦確定了置信水平（1-），Z/2的值就確定了，對于給定的的值和總體標準差，就可以確定任一希望的允許誤差所需要的樣本容量。令E代表所希望達到的允許誤差，即：由此可以推到出確定樣本容量的公式如下：簡單隨機抽樣方式的必要抽樣數目的公式例：擁有MBA學位的研究生年薪的標準差大約為4000 元，假定想要估計年薪95%的置信區間，希望允許誤差為10000 元，應抽取多大的樣本容量？解：已知 =4000，E1000，1=95%， Z/21.96，所以，應抽取的樣本容量為： 即應抽取62人作為樣本。例 對某油田的2000口油井的年產油量進行抽樣調查。根據歷史資料可知，

28、油井年產油量的標準差為200噸，若要求抽樣誤差不超過15噸，概率保證程度為95.45%，試求需要調查多少口油井解：F（t）= 95.45% t = 2根據成數區間估計公式可得樣本容量n為2)總體成數估計的樣本容量確定 其中：根據成數區間估計公式可得樣本容量n為(二)估計總體成數時樣本容量的確定 其中： 簡單隨機抽樣方式的必要抽樣數目的公式例：某社區想通過抽樣調查了解居民參加體育活動的比率，如果把誤差范圍設定在5，問如果以95的置信水平進行參數估計，需要多大的樣本？解：由于1-=0.95，=0.05，Z/2 =1.96。 因為P的值不知道，取使P（1P）達到最大值的0.5，即P取0.5，于是： 故需取385人的樣本。 第四節 抽樣調查的組織形式一）簡單隨機抽樣二）等距抽樣三）類型抽樣四）整群抽樣 一）簡單隨機抽樣 簡單隨機抽樣有兩種抽取調查單位的具體方法，即重復抽樣和不重復抽樣。 簡單隨機抽樣是指從含有N個單位的總體中，隨機抽取n個單位作為樣本，使得每一個容量為n的樣本都有相同的機會(概率)被抽中，這樣的抽樣方式也稱純隨機抽樣。簡單隨機抽樣是是最基本的抽樣方法。（1）抽簽法。 當給總體單位編號后，把號碼寫在結構無效的簽上，將簽混合均勻后即可以從中抽取。采用這種方法簡便易行，然而對較大的總體來說，編號作簽工作量很大，而且混勻有困難，所以，