1、10/7/2022虛位移原理110/3/2022虛位移原理1引言分析靜力學: 考慮約束的限制運動方面，通過主動力在約束所容許的微小位移上的元功靜力學分為剛體靜力學和分析靜力學剛體靜力學（幾何靜力學）: 用幾何的方法研究剛體的平衡.直接研究主動力和約束反力的關系2引言分析靜力學:靜力學分為剛體靜力學和分析靜力學剛體靜力學（ 選取研究對象，取分離體；剛體靜力學解題步驟 進行受力分析，畫受力圖； 建立平衡方程； 求解平衡方程。用虛位移原理處理平衡問題只在需要求解約束反力（包括內力）時，才有針對性地解除約束無須解除全部約束!3 選取研究對象，取分離體；剛體靜力學解題步驟 進行受 約束的定義質點系分為自

2、由質點系和非自由質點系 約束方程非自由質點系受到的預先給定的限制稱為約束用數學方程來表示的限制條件稱為約束方程如1 約束 虛位移 虛功4 約束的定義質點系分為自由質點系和非自由質點系 約束方程幾何約束和運動約束幾何約束-只限制質點或質點系在空間的位置xyolMlABxoy實例r 約束的分類5幾何約束和運動約束幾何約束-只限制質點或質點系在空間的定常約束和非定常約束定常約束非定常約束f (x , y , z ) = 0f (x , y , z ，t )=0 xyolMv穩定約束不穩定約束如如-約束方程中不顯含時間 t 的約束 。-約束方程中顯含時間 t的約束。在任意瞬時t，其約束方程為6定常約束

3、和非定常約束定常約束非定常約束f (x , y ,-如果約束不僅限制質點在某一方向的運動，而且能限制其在相反方向的運動，稱之為雙面約束，或固執約束-如果約束僅限制質點在某一方向的運動，稱之為單面約束，或非固執約束雙面約束和單面約束雙面約束單面約束如單擺剛性擺桿約束不可伸長的繩約束雙面約束單面約束約束方程分別為：7-如果約束不僅限制質點在某一方向的運動，而且能限制-約束方程中不含導數或可積分為有限形式。完整約束和非完整約束完整約束非完整約束本章只討論： 完整的、定常的、 雙面的、幾何約束！-約束方程總是微分形式。8-約束方程中不含導數或可積分為有限形式。完整約束二、虛位移在某瞬時，質點系在約束所

4、允許的條件下，可能實現的、任何無限小的位移稱為虛位移在穩定幾何約束下，質點系無限小的實位移是其虛位移之一虛位移的特點：虛位移僅與約束條件有關，是純粹的幾何量與實位移相比：虛位移是無限小的位移；實位移可為無限小，也可為有限值虛位移是假想的位移，與時間、力、質點系的運動情況無關9二、虛位移在某瞬時，質點系在約束所允許的條件下，可能實現的、虛位移常用r、 x、s、等表示；-等時變分算子符號（變分符號）；-表示無限小的變更； 的運算規則與微分算子“d ”的 運算規則相同。 說明關于符號10虛位移常用r、 x、s、等表示；-等時變AB三、虛功質點或質點系所受的力在虛位移上所作的功稱為虛功，用W 表示。

5、W = F rB力偶 M 的虛功： W = M 力 F 的虛功： = Fr cosFrmMxoyF于是，rB W = F r11AB三、虛功質點或質點系所受的力在虛位移上所作的功稱為虛功，2 虛位移原理 具有完整、雙面、定常、理想約束的質點系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是： 所有作用于該質點系上的主動力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。 矢量表達式為 坐標分解式為虛功原理虛功方程靜力學普遍方程122 虛位移原理 具有完整、雙面、定常、理想約束 虛位移原理的應用研究平衡狀態1、確定主動力之間的關系或平衡位置2、求解其內力或約束反力13 虛位移原理的應用研究平衡狀態1、確定主動力之間的關

6、系或螺旋千斤頂中，旋轉手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面內作用一垂直手柄的力P=160N，試求舉起重物B的重量。不計各處摩擦。WAolPPPPB14螺旋千斤頂中，旋轉手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。WAolPPPPB千斤頂受理想約束，給P力點A虛位移rA = l由虛功方程Pl W rB =0rB : = h : 2，相應地W力點B有rBWF =0可知，當P=160N時，能舉起50.27KN的重物，是P 的314倍！rA rB15WAolPPPPB千斤頂受理想約束，給P力點A虛位移rA 曲柄滑塊機構如圖，已知曲柄OA = r，連桿AB = l，曲柄上作用力偶M，

7、滑塊上作用力P，求系統在圖示位置平衡時，M與P的關系。ABxoyPM16曲柄滑塊機構如圖，已知曲柄OA = r，連桿AB = l，曲 給OA以虛位移 ，由 WF = 0PrB M = 0 求虛位移間的關系法一:投影定理rAAB=rBAB r cos90()=rB cosMABxoyP且rA= r 相應地滑塊B有rBrBrA90()17 給OA以虛位移 ，由 WF = 0PrB 法2用虛速度法。vAAB=vBABrOAcos90( )=vBcos 且ABxoy由速度投影定理rB90()18法2用虛速度法。vAAB=vBABrOAcMABxoyP法3方程變分法19MABxoyP法3方程變分法19圖

8、示機構中，當曲柄OC繞O軸擺動時，滑塊A沿OC滑動，從而帶動桿AB沿鉛直槽K滑動。OC=a，OK= l，在C點垂直曲柄作用一力Q，AB上作用力P沿AB方向，求機構在圖示位置平衡時力Q、P的關系。BCAOKlQPQPQP20圖示機構中，當曲柄OC繞O軸擺動時，滑塊A沿OC滑動，從而帶BCAOKlQPQPQP給桿OC以虛位移 ，虛功方程為以OC為動系，A為動點，則有虛速度合成式為B點有虛位移rB，rBAB桿作平動,于是得21BCAOKlQPQPQP給桿OC以虛位移 ，虛功方程為abPABC用虛位移原理，求 B 處的反力BNBPAB1NBC1CB、用反力代替B支座、給結構一虛位移、寫虛功方程22ab

9、PABC用虛位移原理，求 B 處的反力BNBPAB1NB已知三鉸拱上作用有集中載荷P及力偶M，求B支座的約束反力。三鉸拱是受有完全約束的系統，必須解除部分約束，賦予運動自由度，才能應用虛位移原理。 分析PMABCaaaD23已知三鉸拱上作用有集中載荷P及力偶M，求B支座的約束反力。PMaaABCaD(1)求B鉸水平約束力：給虛位移，FBxC則相應有根據虛位移原理，有(AC作定軸轉動； BCD作平面運動，瞬心為C。)解除B支座的水平約束，代之以水平反力FBx 24PMaaABCaD(1)求B鉸水平約束力：給虛位移，FBPMaaD根據虛位移原理，有（AC作定軸轉動； BCD作平面運動，瞬心為A。）

10、(2)求B支座的垂直約束反力：給虛位移則相應有解除B鉸的垂直約束，代之以垂直反力FBy解得FBy25PMaaD根據虛位移原理，有（AC作定軸轉動； BCD作平面P2P1llllABCDEqM圖示ABCD為一靜定連續梁，作用于其上的載荷M=5kN.m，P1 = P2 = 4kN，q= 2kN/m，=30，l= 2m，求支座A處的反力偶。26P2P1llllABCDEqM圖示ABCD為一靜定連續梁，解:將固定端約束解除給xA ，而令yA =0 、 A=0，則：xB =xA虛功方程為XAxAP1cosxA0(XAPlcos)xA0XA P1cos 3.46 (kN)XAYAxAxBxDxAxBxDx

11、AxBxDxAxBxDP2P1llllqABCDMEABDCP2P1EqMXAYAXAYAMAXAYAyA =0！ AB不能有轉動A=0！ A不能有豎直向位移27解:將固定端約束解除給xA ，而令yA =0 、 yByAyEyD給yA ，而令xA 、 A =0，則yA =yE =yB ，yC = 0yB = l =yD ， YAyA(YA 2ql P1sin +P2)yA0YA =2ql +P1sinP26.0 (kN)虛功方程為yByAyEyDyByAyEyD+ 2qlyE+P1sinyB P2yD0llllYAABDCEMAXAP2P1qM28yByAyEyD給yA ，而令xA 、 給 ，

12、而令xA 、yA=0，則yE = l , yB=2l ，yC = 0， MA(MA +M2ql 22lP1sin +2lP2)0虛功方程為 MA M2ql 22lP1sin2lP2 3.0 (kNm)llllyEyD =l= 2l ， M+2qlyE+P1sinyB P2yD0YAABDCEMAXAP2P1qMyDyB29 給 ，而令xA 、yA=0，則yE = lP2P1llllABCDEqM圖示ABCD為一靜定連續梁，作用于其上的載荷M=5kN.m，P1 = P2 = 4kN，q= 2kN/m，=30，l= 2m，求支座A處的反力偶。MAXAYAP2llCDXBYBYCYC30P2P1ll

13、llABCDEqM圖示ABCD為一靜定連續梁，圖示機構中各桿之間均用鉸連連接，桿長AE=BD=2l，DH = EH = l。D、E間連著一剛度系數為K、原長為l的彈簧，桿和彈簧的自重及各處摩擦均不計。今在鉸鏈H上加一力Q，使機構處于靜止平衡狀態，試確定Q與的關系。ABHEDQKC31圖示機構中各桿之間均用鉸連連接，桿長AE=BD=2l，DH ABHEDQCFFxy由 WF = 0QyyH + FxxE + FxxD = 0，求變分得各主動力作用點的坐標為彈簧的伸長量為 = 2lcosl = (2cos1) l 彈性力的大小為F = F = k = k l (2cos1) 解：解除彈簧約束，代之

14、以彈性力F、F，并視為主動力。ABHEDQKC32ABHEDQCFFxy由 WF = 0QyyH +代入虛功方程得Q3lcos 2kl(2cos 1)sin 3Qcos = 0于是得平衡時Q與應滿足的關系為：各主動力在坐標軸上的投影為ABHEDQCFFxykl(2cos 1)(2lsin )= 033代入虛功方程得Q3lcos 2kl(2cos建立虛位移之間的關系的方法1. 作圖給出機構的微小運動，直接由幾何關系來定2. 給出各主動力作用點的坐標方程，求變分，各變分間的比例。 即為虛位移間的比例；3 .“虛速度”法 （點的合成運動、平面運動基點法、速度投影法、瞬心法等）34建立虛位移之間的關系

15、的方法1. 作圖給出機構的微小運動，aADCBMOPBD圖示機構中，曲柄OA上作用一力偶，其矩為M，另外滑塊D上作用一水平力P，機構尺寸如圖。求當機構平衡時P與力偶矩M的關系。（用虛位移原理）解：虛位移分析如圖用虛位移原理35aADCBMOPBD圖示機構中，曲柄OA上作用一力偶，其PBD靜力學方法驗證DBaAMOAB、BC、CD均為二力桿對OA桿NABNABNONBCND y36PBD靜力學方法驗證DBaAMOAB、BC、CD均為二力ADCBMOE解：虛位移分析如圖用虛位移原理曲柄壓縮機如圖，在曲柄OA上作用力偶M，已知 OA = r，BDC 為一個桿， ，滑塊B上作用力F，系統在圖示位置時平衡，求M 與F 的關系。（用虛位移原理）（10分）3