1、第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)1.1離散時(shí)間信號(hào)1.2線性時(shí)不變系統(tǒng)1.3離散系統(tǒng)的差分方程1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1 離散時(shí)間信號(hào)一、常用序列1、單位采樣序列d (n)：也稱為單位脈沖序列-101231n單位采樣序列1.1 離散時(shí)間信號(hào)一、常用序列-101231n單位采樣序1.1 離散時(shí)間信號(hào)2、單位階躍序列u(n) (n)= u(n)- u(n-1)(n)與u(n)之間的關(guān)系：1.1 離散時(shí)間信號(hào)2、單位階躍序列u(n) (n)= u1.1 離散時(shí)間信號(hào)3、矩形序列RN(n)當(dāng)N=4時(shí)，R4(n)的波形如圖所示矩形序列可用單位階躍序列表示： N稱

2、為矩形序列的長(zhǎng)度RN(n)=u(n)-u(n-N)1.1 離散時(shí)間信號(hào)3、矩形序列RN(n)N稱為矩形序列的長(zhǎng)1.1 離散時(shí)間信號(hào)4、實(shí)指數(shù)序列 如果|a|1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖示 x(n)=anu(n)， a為實(shí)數(shù)1.1 離散時(shí)間信號(hào)4、實(shí)指數(shù)序列 x(n)=anu(n)1.1 離散時(shí)間信號(hào)5、正弦序列x(n) = sin(n)稱為正弦序列的數(shù)字域頻率，單位是弧度，表示序列變化的速率，或表示相鄰兩個(gè)序列值之間變化的弧度數(shù)。 xa(t)=sin(t) xa(t)|t=nT = sin(nT)x(n) = sin(n)表示凡是由模擬信號(hào)采樣得到的序列，模擬角頻率與序列的數(shù)字域頻率成線性關(guān)

3、系 T /fs因?yàn)樵跀?shù)值上，序列值與信號(hào)采樣值相等，因此得到數(shù)字頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為如果正弦序列是由模擬信號(hào)xa(t)采樣得到，那么：1.1 離散時(shí)間信號(hào)5、正弦序列x(n) = sin(n)1.1 離散時(shí)間信號(hào)6、復(fù)指數(shù)序列 式中：設(shè)=0，用極坐標(biāo)和實(shí)部虛部表示如下式： 由于n取整數(shù)，下面等式成立：復(fù)指數(shù)序列具有以2為周期的周期性，后面的研究中，頻率域只考慮一個(gè)周期 x(n) = e(+j0)n0為數(shù)字域頻率e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2x(n)=e j0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n) 1.1 離散時(shí)間信號(hào)6、復(fù)指數(shù)序列 x(n) = e(+j1.

4、1 離散時(shí)間信號(hào)7、用單位采樣序列來表示任意序列任意序列x(n)都可以表示成單位采樣序列的移位加權(quán)和。 即：例： 用單位采樣序列(n)表示x(n)。x(m) (n-m) =x(n), m=n 0 , 其它mx(n)n053-3abc解：x(n)=a(n+3)+b(n-3)+c(n-5)1.1 離散時(shí)間信號(hào)7、用單位采樣序列來表示任意序列x(m)1.1 離散時(shí)間信號(hào)二、序列的運(yùn)算 序列的基本運(yùn)算：序列移位(左,右)、加法、乘法、翻轉(zhuǎn)、尺度變換及卷積等。1.乘法和加法序列之間的乘法和加法，是指它的同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘和相加，如圖所示。1.1 離散時(shí)間信號(hào)二、序列的運(yùn)算 1.乘法和加法1.1

5、離散時(shí)間信號(hào)2. 移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換 x(n+n0)表示x(n)左移n0單位,x(n)的超前序列； x(nn0)表示x(n)右移n0單位，x(n)的延時(shí)序列； x(-n)則是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列； x(mn)是x(n)序列每隔m點(diǎn)取一點(diǎn)形成的，相當(dāng)于時(shí)間軸n壓縮了m倍。(尺度變換)1.1 離散時(shí)間信號(hào)2. 移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換*1.1 離散時(shí)間信號(hào)卷積和的計(jì)算圖解法(與卷積積分類似)改換變量：x(k)x(n)， h(k)h(n)折疊：h(n) h(-n)移序：h(-n) h(k-n)相乘：x(n) h(k-n)求和：把x(n) h(k-n)所得的序列相加*1.1 離散時(shí)間信號(hào)卷積和的計(jì)算*1.

6、1 離散時(shí)間信號(hào)例：已知x(k)=1,2,3,4，h(k)=2,3,1，求y(k)=x(k)*h(k)。解：*1.1 離散時(shí)間信號(hào)例：已知x(k)=1,2,3,4，*1.1 離散時(shí)間信號(hào)*1.1 離散時(shí)間信號(hào)*1.1 離散時(shí)間信號(hào)算式法(不進(jìn)位乘法)例：如前例。解：*1.1 離散時(shí)間信號(hào)算式法(不進(jìn)位乘法)例：如前例。解：1.1 離散時(shí)間信號(hào)三、序列的周期性如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使下面等式成立： 則稱序列x(n)為周期性序列。例：x(n)是周期為8的周期序列。 x(n)=x(n+N), -n周期為N)1.1 離散時(shí)間信號(hào)三、序列的周期性 x(n)=x(n+N1.1 離散時(shí)間信號(hào)一

7、般正弦序列的周期性 設(shè)： 如果：x(n+N)= x(n)，要求:0N =2k N = (2/0)k，k的取值要保證N是最小的正整數(shù)。 當(dāng)2/為整數(shù)時(shí)，令k=1，序列x(n)的周期為N= 2/0 ； 當(dāng)2/為有理數(shù)時(shí)，k總能取到一個(gè)整數(shù)，使周期N=2k/為一正整數(shù)； 當(dāng)2/為無理數(shù)時(shí)，k不管取什么整數(shù)，都不能使N=2k/為一正整數(shù)； 則x(n)是非周期序列。x(n)=Asin(0n+)x(n+N) = Asin(0(n+N)+) = Asin(0n+0N+)1.1 離散時(shí)間信號(hào)一般正弦序列的周期性x(n)=Asin(1.1 離散時(shí)間信號(hào)例：求下列兩序列的周期N=？ (1) x(n)=Acos(n

8、/4 + /7); (2) x(n)=Asin(n/5) + Bcos(n/3);解: (1)由于=/4, 2/=24/=8為整數(shù)，則周期 N=8 (2)由于1=/5, 2=/3, N1=2/1=10, N2=2/2=6 序列x(n)的周期N為N1和N2的最小公倍數(shù)，可得N=10,6=301.1 離散時(shí)間信號(hào)例：求下列兩序列的周期N=？1.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)一、離散系統(tǒng)的定義 設(shè)時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示： 其框圖如圖所示: 在時(shí)域離散系統(tǒng)中，最重要的是線性時(shí)不變系統(tǒng)，因?yàn)楹芏辔锢磉^程可用這類系統(tǒng)表

9、征。 y(n)=Tx(n) 1.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)一、離散系統(tǒng)的定義 y(n)=Tx1.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)二、線性系統(tǒng)滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè):那么線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個(gè)公式：將以上兩個(gè)公式結(jié)合起來，可表示成： y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)Tx1(n)+x2(n)= y1(n)+y2(n) Ta x1(n)= a y1(n) 線性系統(tǒng)的可加性；線性系統(tǒng)的比例性或齊次性y(n) =Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)a和b均是常數(shù)1.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)二、線性系統(tǒng) y1(n)=Tx1(1.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)三、時(shí)不變系統(tǒng) 如果系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的

10、運(yùn)算關(guān)系T在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間變化; 或者說系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的響應(yīng)與信號(hào)加于系統(tǒng)的時(shí)間無關(guān)。 或者說若系統(tǒng)的輸出隨輸入延遲而延遲同樣單位；則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，用公式表示如下：y(n) = Tx(n)y(n-n0) = Tx(n-n0)1.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)三、時(shí)不變系統(tǒng)y(n) = Tx1.2 線性時(shí)不變系統(tǒng) 【例】判斷系統(tǒng) y(n)=3x(n)+4 的線性和時(shí)不變性？解：1. 判斷線性特性 設(shè)輸入為x1(n)和x2(n)時(shí)，輸出分別為y1(n)和y2(n)，即： Tax1(n) =3ax1(n)+4; Tbx2(n)=3bx2(n)+4; 而Tax1(n)+bx2(n)=3a x1

11、(n)+3b x2(n)+4 ay1(n)+ by2(n), 所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。 2. 判斷系統(tǒng)的時(shí)不變特性 設(shè)y(n)=Tx(n) 而Tx(n-n0)= 3x(n-n0) + 4 = y(n-n0)，是時(shí)不變系統(tǒng)。 1.2 線性時(shí)不變系統(tǒng) 【例】判斷系統(tǒng) y(n)=3x(n例1.2.2 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng) ， ，其輸入序列 ，求輸出序列y(n)。解: 根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系，有 對(duì)于 例1.2.2 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng) 2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性四、系統(tǒng)的因果性定義1 ：當(dāng)n0時(shí),序列值恒等于零的序列稱之為因果序列。定義2：系統(tǒng)的輸出，只取決于n時(shí)刻以

12、及n時(shí)刻以前的輸入序列，與n時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)在物理上的可實(shí)現(xiàn)性。定理：線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足： h(n)=0，n 0結(jié)論：因此，因果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)必然是因果序列2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性四、系統(tǒng)的因果性2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性五、系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)穩(wěn)定的意義：關(guān)系到系統(tǒng)能否正常工作。定義1 ：若存在一個(gè)數(shù)M，對(duì)于任意n都滿足|x(n)|M，稱該序列有界。定義2：輸入序列有界，能保證輸出信號(hào)序列也有界的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。定理：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)絕對(duì)可和，用公式表示為

13、： 2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性五、系統(tǒng)的穩(wěn)定性2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性【例】設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n) = anu(n)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：1、因果性： 由于n 0時(shí)，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 2、穩(wěn)定性：(h(n)是否滿足絕對(duì)可和)討論：當(dāng)|a|1時(shí)， 當(dāng)|a|1時(shí)，|h(n)|，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 當(dāng)|a|1時(shí)，系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，|a|1時(shí)，系統(tǒng)因果非穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性【例】設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性【例】判斷下列系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。（課堂練習(xí)）非因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定2.5 離散

14、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性【例】判斷下列系統(tǒng)的因果穩(wěn)定1.3 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程系統(tǒng)的輸入輸出描述法：不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系的方法。 模擬系統(tǒng)，用微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。 時(shí)域離散系統(tǒng)，用差分方程描述描述輸出輸入之間的關(guān)系。 線性時(shí)不變時(shí)域離散系統(tǒng)，常用線性常系數(shù)差分方程來描述。線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述方法有: (1) 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)(2) 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(e-j) (h(n)的傅里葉變換) (第二章)(3) 系統(tǒng)的差分方程(4) 系統(tǒng)函數(shù)(h(n)的Z變換) (第二章)(5) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(第五章)1.3 時(shí)域離散系

15、統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程系統(tǒng)1.3 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程1、線性常系數(shù)差分方程 一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示： 差分方程的階數(shù)是用方程y(n-i)項(xiàng)中i的取值最大與最小之差確定的。在左式中，y(n-i)項(xiàng)i最大的取值為N，i的最小取值為零，因此稱為N階的差分方程。N式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ai和bi均為常數(shù)，式中y(n-i)和x(n-i)項(xiàng)只有一次冪，沒有相互交叉項(xiàng)，故稱為線性常系數(shù)差分方程。1.3 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程1、1.3 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程2、線性常系數(shù)

16、差分方程的求解已知系統(tǒng)的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列。求解差分方程的基本方法有以下三種：(1)經(jīng)典解法：類似模擬系統(tǒng)中求解微分方程的方法，包括齊次解和特解，由邊界條件求待定系數(shù)。(2)遞推解法：由初始條件，逐級(jí)用計(jì)算機(jī)遞推求解，只能得到數(shù)值解，不容易得到封閉解（公式解）(3)變換域方法：將差分方程變換到Z域中進(jìn)行求解，方法簡(jiǎn)單有效。1.3 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程2、1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣1.抽樣 電子開關(guān)的作用S等效一個(gè)矩形脈沖串單位沖激串1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣1.抽樣 電子開關(guān)的作用S等效一個(gè)頻域分析：根據(jù)頻域卷積定理：兩信號(hào)在時(shí)域相乘的傅里葉變

17、換等于兩個(gè)信號(hào)分別的傅里葉變換的卷積。可以推導(dǎo)得：(t)是單位沖激信號(hào)，只有當(dāng)t=nT時(shí)，才可能有非零值，因此可寫成。s=2/T，稱為采樣角頻率，單位是弧度/秒1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣頻域分析：(t)是單位沖激信號(hào)，只有當(dāng)t=nT時(shí)，才可能有表明：采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率s重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜以s為周期，進(jìn)行周期延拓而成的。1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣表明：采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角在下圖中，設(shè)xa(t)是帶限信號(hào)，最高截止頻率為c，其頻譜Xa(j)如圖所示。以s為周期進(jìn)行的周期延拓單位沖激串的頻譜頻譜混疊一般稱fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號(hào)最高頻率不超過該頻率時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，超過fs /2的頻譜會(huì)折疊回來形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊均產(chǎn)生在fs /2附近。1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣在下圖中，設(shè)xa(t)是帶限信號(hào)，最高截止頻率為c，其頻譜1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣 如果抽樣頻率fs大于或等于奈奎斯特抽樣率2fm，則一個(gè)有限帶寬的信號(hào)經(jīng)過等間隔抽樣后，由抽樣信號(hào)可以完全恢復(fù)原信號(hào)。抽樣定理1.4