1、全國名校高考數學復習優質專題學案匯編（附詳解）全國名校高考數學復習優質專題學案匯編（附詳解）恒成立問題參變分離法一、基礎知識：1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個字母時（一個視為變量，另一個視為參數），可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側，即不等號的每一側都是只含有一個字母的表達式。然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數：一般情況下，那個字母的范圍已知，就將其視為變量，構造關于它的函數，另一個字母（一般為所求）視為參數。3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點原則：（1）已知不等式中兩個字母是否便于進行分

2、離，如果僅通過幾步簡單變換即可達到分離目的，則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個字母的關系過于“緊密”，會出現無法分離的情形，此時要考慮其他方法。例如：G.1晨logX，匕Xes1等a1X（2）要看參變分離后，已知變量的函數解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題。（可參見”恒成立問題最值分析法“中的相關題目）4、參變分離后會出現的情況及處理方法：（假設x為自變量，其范圍設為D，/（x）為函數；a為參數，g（a）為其表達式）（1）若于（x）的值域為“,MVxeD,g（a）f（x），則只需要g（a）f（x）=mminVxeD

3、,g(x)/(%)?則只需要g(“)/(x)?則只需要g(“)/(x)=Mmaxt:,g(“)4/(x)，則只需要g(“)0/G)=MmaxBxeD,g(”)/(x),則只需要g(“)/(x),則只需要g(“)/(x)=mmin(2)若/G)的值域為金,M)VxeD,gG）/（x）?則只需要g（4）mVxeD,gG）/G），則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）VxeD,gG）/（%）?則只需要g（a）2MVxeD,gG）/G），則只需要gQ）2M（注意與（1）中對應情況進行對比）3xeD,gG）/G），則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）3%eD,gG）/（%）?則只需要3xeD,

4、gG）/G），則只需要gQ）加（注意與（1）中對應情況進行對比）3xeD,gG）/（x）?則只需要g（“）加5、多變量恒成立問題：對于含兩個以上字母（通常為3個）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量），那個是所求的參全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)數，然后通常有兩種方式處理(1)選擇一個已知變量，與所求參數放在一起與另一變量進行分離。則不含參數的一側可以解出最值(同時消去一元)，進而多變量恒成立問題就轉化為傳統的恒成立問題了。(

5、2)將參數與變量進行分離，即不等號一側只含有參數，另一側是雙變量的表達式，然后按所需求得雙變量表達式的最值即可。二、典型例題：例1:已知函數fG)=ex.衣-,若f(x)2楞恒成立，則實數a的取值范思路：首先轉化不等式，f思路：首先轉化不等式，f(x)=ex+ae-x，即ex+2V3恒成立，觀察不ex+2-Q)+23e+23max答案：a3例2：已知函數f(x)=lnx2，若f(x)x2在(1,+Q上恒成立，則a的取x值范圍是思路：恒成立的不等式為lnx_5x2，便于參數分離，所以考慮嘗試參x變分離法解：lnx-ax2oxInx_axInx-x3，其中xe(1,+s)x只需要a(xInx-x3

6、)，令g(x)=xInx-x3max夕(x)=1+lnx_3x2(導函數無法直接確定單調區間，但再求一次導即可將lnx變為1，所以二階導函數的單調性可分析，為了便于確定gG)的x符號，不妨先驗邊界值)g，(1)=一2，g“(x)=1-6x=0，(判斷單調性時一定要先看定xx義域，有可能會簡化判斷的過程)g(x)在(1,+8)單調遞減，g(x)g(1)0ng(x)在(1,+Q單調遞減/.g(x)-1答案：a-1小煉有話說：求導數的目的是利用導函數的符號得到原函數的單調性，當導函數無法直接判斷符號時，可根據導函數解析式的特點以及定義域嘗試在求一次導數，進而通過單調性和關鍵點(邊界點，零點)等確定符

7、號。例3：若對任意xeR，不等式3x2-2axx-3恒成立，則實數a的范圍是.思路：在本題中關于a,x的項僅有2ax一項，便于進行參變分離，但由于xeR，則分離參數時要對x的符號進行討論，并且利用x的符號的討論也可把絕對值去掉，進而得到a的范圍，cc3cCcc3cC33x2-2axx-o2ax0日寸，2a23x-1=2.2a2na1；當x=0時，不等式4x4x4x恒成立；當x0恒成立；當x0時，4x)max(一3I-3x+FJ-2na-1綜上所述：-1a1答案：-1a-2na-1綜上所述：-1a1答案：-1a1小煉有話說：（1）不等式含有絕對值時，可對絕對值內部的符號進行分類討論，進而去掉絕對

8、值，在本題中對X進行符號討論一舉兩得:是去掉了絕對值，二是參變分離時確定不等號的是否變號。（2）在求X解析式最值時根據式子特點巧妙使用均值不等式，替代了原有的構造函數求導出最值的方法，簡化了運算。（3）注意最后確定的范圍時是三部分取交集，因為是對x的取值范圍進行的討論，而無論X取何值，的值都要保證不等式恒成立，即要保證三段范圍下不等式同時成立，所以取交集。設函數f(x)_x2-1，3、八一+8,f4m2f(x)f(x-1)+4f(m)2J恒成立則實數機的取值范圍先將不等式進行-1-4m2(x2-1)(X-1)2-1+4(m2-1)，即f-于進行分離，考慮不等式兩邊同時除以x2，可得：VX2Jm

9、in(1VC1112一+1，eXX，便0,3-4m20即3(3m2(3m2+1)Qm2-3)0解得:),+8J(me-8,-V答案:(答案:(me8,I),+8J小煉有話說：本題不等式看似復雜，化簡后參變分離還是比較容易的，從另一個角度看本題所用不等式為二次不等式，那么能否用二次函數圖像來解決呢？并不是一個很好的辦法，因為二次項系數為關于m的表達式且過于復雜，而對稱軸的形式也不利于下一步的計算。所以在解題時要注意觀察式子的結構，能夠預想到某種方法所帶來的運算量，進而做出選擇例5:若不等式x2+2+x32xax對xe（0,4）恒成立，則實數a的取值范圍是思路:x2x2+2+x32xaxna人/、

10、x2+2+x32x令f(x)=單調遞增f(x).=f單調遞增f(x).=f(五)=2Mmina22VAmin部進行符x+x22,2x4x2c八x+2x2,0 x22xy=x+x22在(24)x，y=x+2+2-x2在Q,口單調遞減，x全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)答案：a2M例6：設正數fG)二二1，式Q二上，對任意X,X式0,+Q，不等式xex12山或恒成立，則正數k的取值范圍是()kk+1思路：先將k放置不等號一側，可得g(x)I-g(x

11、)-|,先求出式工)的最大值，g1(x)=e2.(1-x)e-x,可得g(x)k+1L1Jmax在(0,1)單調遞增，在(1,+Q單調遞減。故g(x)=g(1)=e，所以若原不max等式恒成立，只需fSe，不等式中只含k,x，可以考慮再進行一次k+11參變分離，kf(x2)ene.金f(x)，則只需e.叱，f(x)L2=2ef(x)L2=2emine2x2+111cf(x)=e2x+2:e2x一二2e，所以e.山1k答案：k1例7：已知函數f(x)=ax2-(2a+1)x+Inx,aeR,g(x)=ex-x-1，右對于任TOC o 1-5 h z意的xe(0,+。xeR，不等式f(x)g(x)

12、恒成立，求實數a的取值范圍1212思路：f(x)含有參數a，而g(x)為常系數函數，且能求出最值，所以以g(x)為入手點：若f(x)86)恒成立，則只需f(x)g(x)|。可求出121ming(x)=0，進而問題轉化為Vxe(0,4w)，ax2-(2a+1)x+Inx0恒成立,min1111此不等式不便于利用參變分離求解，考慮利用最值法分類討論解決解：fG)g(x)恒成立只需f(x)0角星得：x0g(x)在(t,0)單調遞減，在(0,+Q單調遞增二.g(x)=g(0)=0min/.Vxe(0,+s)，ax2-(2a+1)x+Inx0恒成立iiii即只需f(x)0時，令x=2a+1a0，與f(x

13、)0矛盾當a0時，2ax-10解得x1/.f(x)在(0,1)單調遞增，在(1,+Q單調遞減/.f(x)=f(1)=a-(2a+1)=a1max/.a10=a21綜上所述：ae-1,0小煉有話說：(1)在例6,例7中對于多變量恒成立不等式，都是以其中一個函數作為突破口求得最值，進而消元變成而二元不等式，再用處理恒成立的解決方法解決。(2)在本題處理f(x)0時估計f(x)函數值的變化，可發現當xf+s時，ax2-(2a+1)x0(平方比一次函數增長的快)在選取特殊值時，因為發現x1時，inx已然為正數，所以只需前面兩項相消即可，所以解方程ax2-(2a+1)x=0nx=2a士1=2+10，剛好

14、符合反例的aa全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數學復習優質專題學案匯編(附詳解)全國名校高考數學復習優質專題學案匯編（附詳解）全國名校高考數學復習優質專題學案匯編（附詳解）要求。例8：若不等式x+2盧7a（x+y）對任意正數x,y恒成立，則正數a的最小值是（）A.1B.2C.短+-D.222+1思路：本題無論分離x還是分離y都相對困難，所以考慮將x,y歸至不等號的一側，致力于去求x,y表達式的最值：x+2x+2、J2xy，max從2m入手考慮使用均值不等式：2,/2xy=2、；Ex+2ynx+人2xy2x+yx+y答案：B小煉有話說：（1）在多變量不等式恒成立問題上處理方式要根據不等式特點靈活選擇合適的方法，本題分離a與x,y很方便，只是在求二元表達式最值上需要一定的技巧。（2）本題在求x+2cxy的最大值時，還可以從表達式分子分母齊次的x+yTOC o 1-5 h zcL1+2,，2y，特點入手，同時除以x（或y）：x+2cxy=_工，在通過換元t二；yx+y1+yYxx轉化為一元表達式，再求最值即可。例9：已知函數f（x）=1lnx，如果當x1時，不等式f（x）人恒成xx1立，求實數k的取值范圍.思路：恒成立不等式為1+1nx_L，只需不